Après quelques billets de maths, il est temps de polémiser un peu ;-) Voici un texte écrit par un collègue que j'ai rencontré recemment, Bertrand Rungaldier, professeur en PCSI au Lycée Janson-de-Sailly à Paris. On pourra le lire comme complément à l'article sur la désaffection des jeunes pour les filières scientifiques de Fabien Besnard.

Les Etats généraux des Mathématiques. Le constat est alarmant. Alors que le besoin de mathématiciens n’a jamais été aussi important, la France manque de mathématiciens ; pourquoi donc les jeunes scientifiques délaissent-ils les sciences dures et notamment les Mathématiques ? Ah, voilà une question qu’elle est bonne !!
Pour ce qui est de se poser la question, gageons qu’on va se la poser, mais pour ce qui est d’apporter un semblant de réponse…
Car les doctes qui se réunissent vont prendre soin de se mettre un bandeau noir sur les yeux, de se boucher les oreilles avec de la cire et de chausser des lunettes équipées de prismes pour ne surtout pas voir la réalité en face.

Car bien avant que de se poser la question « Pourquoi les jeunes scientifiques français rechignent-ils à devenir mathématicien ? » il conviendrait de se poser à soi même la simple question « Pourquoi moi-même, j’ai choisi de faire des Mathématiques ? »
Je fais ici le pari qu’on ne posera jamais cette question car si la question fâche, la réponse tue ! S’imagine-t-on vraiment que la réponse pourrait être « parce que les mathématiques c’est utile à la vie ! » ? Peuvent-ils vraiment croire une seule seconde qu’on choisit de se lancer dans une discipline de l’extrême, et les mathématiques pures en sont une à leur façon, parce que « ça sert » ? Ou parce qu’en tant que lycéen démocrate j’ai choisi de faire des Mathématiques citoyennes et de lutter contre les inégalités de convexité ou des accroissements finis !

NON ! On se lance dans de pareilles études aussi difficiles et sélectives parce qu’on a été ébloui, émerveillé par un cours, un professeur ou un devoir en classe ou à la maison. Parce qu’à cette occasion on a vu un feu d’artifice intellectuel de concepts et de raisonnements et qu’on a été frappé par la grâce comme Saül ou par une flèche de Cupidon mais en tous cas parce qu’on a trouvé ça beau.
Alors posons maintenant la question qui tue : Croyez vous vraiment messieurs les doctes que les programmes actuels aient de quoi toucher, émerveiller et éveiller des vocations ? Cela fait vingt ans que les programmes de lycée et de collège sont vidés de leur contenus pour, disent les Inspecteurs Généraux, inciter les élèves à « faire des études scientifiques ». Et depuis vingt ans que c’est le contraire qui se produit. Plus les programmes se vident et moins il y a d’élèves voulant devenir scientifique.

Tandis que nous abaissons, que dis-je, que nous aplatissons le niveau d’exigence l’Inde ou la Chine elles augmentent le leur. Et plus elles l’augmentent et plus il y a de candidats. Etonnant non ?
Dans les années 1970-80 il y avait à peine 25000 bacheliers C par an dont presque 10.000 se lançait dans les sciences dures. Aujourd’hui ce ne sont pas moins de 125.000 à 130.000 bacheliers déclarés « scientifiques » qui quittent le lycée, et alors… les amphithéâtres de Mathématiques se vident peu à peu. Voilà la réalité.
Tant qu’à faire, pourquoi ne pas organiser une grande « tombola scientifique » : « Devenez scientifique en participant à notre jeux concours ! » On pourrait ainsi décréter 200.000 jeunes gens scientifiques chaque année. Et en moins de 10 ans il n’y aurait plus du tout d’étudiants en sciences et cela permettrait de faire des économies.

On ne devient pas alpiniste en contemplant les steppes d’Asie centrales. On devient alpiniste en regardant des sommets couronnés de blanc avec le ciel bleu sombre au dessus et le soleil et qu’on se dit « Je veux monter la haut ! ». On ne devient pas pilote de catamarans de course au large en faisant du pédalo sur un étang « parce que c’est ludique », mais en regardant la mer, déchaînée, et qu’on est aspiré par l’immensité des forces de la nature.
On ne devient pas virtuose parce qu’on a téléchargé « Au clair de la lune » joué au tam-tam sur son portable, mais parce qu’on a écouté Czyfra jouer les Etudes d’Execution Transcendantes de Liszt ou Evgeni Kissin jouer l’Appassionata ou Glenn Gould jouer des partitas de Bach. Voilà qui motive et qui peut éveiller des vocations.

Alors quand on ouvre un livre de TS de mathématiques avec ses 450 pages de « Pour prendre un bon départ », « Un peu d’histoire », « Ce qu’il faut retenir », « L’Essentiel du cours », « Travaux Dirigés », « C’est nouveau au BAC », « A quoi ça sert ? », « Exercice corrigés », « Comment utiliser le cours », « Problèmes corrigés », « Réfléchissons », « Approfondir », et pourquoi pas « Mickey et les intégrales » ou « relie les points et devine où est caché Pluto » ; où l’on découvre par hasard trois pages d’un pseudo cours avec de vagues recettes sans la moindre démonstration rigoureuse (ça ne sert à rien or « Les Maths c’est utile ! »), sans définitions précises (parce que c’est trop abstrait), sans concept (parce que c’est « élitiste »), tout cela dans un déluge de bleu, de vert, de rouge, de jaune de photos et de dessins et bientôt sans doute des pages qui clignoteront et qui feront « pin-pon » quand on les ouvre ou bien qui téléchargeront un tube sur internet parce que « c’est plus motivant pour les élèves »… alors, si l’on a réussi à se retenir de pleurer on se dit qu’à moins d’avoir des parents eux-mêmes mathématiciens, un adolescent aujourd’hui n’a aucune chance d’être un jour un tant soit peu émerveillé par les Mathématiques.

450 pages de livre et misérablement 50 pages de cours quand j’avais 1200 pages de livre et 600 pages de cours le tout avec seulement 3 heures de mathématiques en plus. 50% d’horaire en plus mais dix fois plus de connaissance. Il y avait de quoi être motivé. Et quand on me rétorque « toi, oui mais moi je n’aimais pas vraiment les maths » je réponds « alors que faisais-tu en TC ? » et là silence !

Pourquoi moi, ai-je voulu faire des mathématiques ? Parce que j’ai été ébloui par un devoir sur le groupe des fonctions arithmétiques, parce qu’en fin de premier trimestre de Maths Sup j’ai pu m’acheter le livre Théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel. Et Pourquoi ? Croyez-vous que j’avais l’âme d’un matheux ? Peut-être… mais à coup sûr parce que j’avais des connaissances qui me permettaient de mettre le nez dedans et de trouver ça beau : extension de corps, anneau, quotient, idéal premier, maximal, anneau quotient, factorisation canonique j’en passe et des meilleurs. Toutes ces connaissances qui m’ont motivé qui m’ont ébloui (moi et sans nulle doute bien d’autres) un élève de prépa rentre aujourd’hui rue d’Ulm sans en avoir la moindre trace !

Comment s’étonner qu’il n’y ait plus d’étudiant en géométrie algébrique, LA spécialité française, alors qu’un étudiant arrive en L3 sans jamais avoir vu autre chose comme espace topologique que des « parties d’un evn » tandis que de mon coté, après deux mois de Maths Sup, j’avais déjà vu des points ouverts et le fait qu’un espace était séparé si et seulement si sa diagonale est fermée.
Croit-on que l’on va inciter des étudiants à faire de la cohomologie avec un programme d’algèbre linéaire qui stipule « l’accent devra être mis sur le calcul matriciel », chose utile mais tellement « bovine » qu’elle est justement utilisée dans les ordinateurs. Doit-on rappeler aux zigés qu’un cerveau n’est pas fait en silicium et que ce qui sert à l’un est très précisément ce qui démotive l’autre ?

La vacuité des programmes de Mathématiques de lycée n’a d’égale que celle du grand vide de la constellation d’Eridan. Les sinistres crétins de l’Inspection Générale ont été jusqu’à vouloir supprimer toute la géométrie dans les nouveaux programmes de seconde. Il a fallu un tollé de la part des professeurs pour que le reste d’un embryon de géométrie soit maintenu.
« Les cons, ça osent tout, c’est même à ça qu’on les reconnaît » dit le film, et bien on a osé inscrire au programme de PCSI l’algorithme d’Euclide des polynômes (qui est une horreur) alors que les notions de PGCD et de polynôme premiers entre eux (à quoi sert précisément cet algorithme) sont hors programme ! Bref, il y a à l’heure actuelle au programme un algorithme compliqué dont le résultat est hors programme. Bref, un algorithme qui officiellement ne sert à rien !

Les programmes sont aujourd’hui tellement stupides, tellement vides, tellement insipides que Laurent Lafforgue s’il les avait eu serait sans doute entré à Solesmes pour pouvoir fréquenter un peu l’infini qu’il a pu trouver dans les EGA et dans Grothendieck.
Il faut parler un minimum l’allemand si l’on veut apprécier celui de Goethe. On pourra faire tous les films et toutes les animations sur le sage de Weimar ce n’est pas comme cela qu’on motivera réellement des étudiants. Oh certes ils diront « c’était très intéressant » mais c’en restera là. Ce n’est pas ainsi qu’on les motivera pour étudier le Faust. C’est plutôt en leur donnant un minimum de vraies connaissances.

Tous ces efforts de vulgarisations sont certes louables mais force est de constater qu’il ne fonctionnent pas et cela parce que le niveau de connaissance est tellement loin du minimum que cela fait le même effet à un élève que si on lui récitait le Mahabaratha en sanscrit. On pourrait tout aussi bien lancer une campagne de promotion avec des pom-pom girl parcourant les TS de France en scandant « Vive les maths, vive les maths, Oui, oui, oui ! » ou encore « On est foot des Maths » avec Zinedine Zidane. Cela n’y changera rien. On donne le goût de quelque chose en la faisant goûter...
A vouloir à n’importe quel prix et par pure démagogie, faire des « scientifiques » qui n’en sont pas, on a écœuré tous ceux qui étaient susceptibles de le devenir. Oh certes il restera bien quelques fils et filles de mathématiciens qui seront brillantissimes. Ce seront les arbres qui cachent le désert. La France aura peut-être encore quelques médailles Fields car celles-ci récompensent des gens d’exception, hasards de la génétiques. Mais derrière ces arbres il n’y aura plus que des dunes de sable très mou.

Lorsque parfois l’on s’exclame « mais pourquoi supprimer tel ou tel pan de programme susceptible de motiver des élèves » la réponse est toujours : « ça ne sert à rien et ceux qui aiment les mathématiques pourront apprendre cela plus tard ». Et bien non ! Ils ne l’apprennent pas ni plus tard ni jamais parce qu’ils n’éprouvent aucune envie d’étudier des choses aussi ennuyeuses et qu’ils ignorent même qu’il puisse exister des choses passionnantes.
Le cas des Mathématiques est à ce titre particulier car la matière ne peut pas se vulgariser sans se livrer à une dénaturation telle qu’il ne reste rien de la chose même. Or l’absence de connaissance n’est pas une motivation pour en acquérir. Pour motiver des adolescents à se lancer dans les Mathématioques il faudrait des programme de Lycée difficile, abstrait sélectif. Précisément ce que font Chinois, Indiens, Russes qui oh miracle ! ont des étudiants à ne savoir où les mettre.

Ci gît l’Ecole Mathématiques Française, trahie et exterminée par un Ministère qui aurait dû la défendre.

(Auteur : Bertrand Rungaldier, professeur de prépa au Lycée Janson-de-Sailly)

D'après un classement récent du Wall Street Journal, être mathématicien est le meilleur métier !

Je ne sais pas comment ce sondage a été fait mais je peux confirmer que quand j'interroge mes anciens collègues d'études de mathématiques aucun n'est mécontent de son choix d'études. Et ils travaillent aujourd'hui dans des domaines très différents, autant dans le public que dans le privé, dans des banques, des ministères, des centres de recherche, des universités, des entreprises bio-médicaux, dans le consulting, dans l'informatique... L'un parmi eux l'a résumé ainsi : En choisissant les maths je ne me suis pas fixé, car ça laissait toutes les portes ouvertes.

Quant à moi, mon choix d'études n'était pas aussi pragmatique, je me suis laissé guider par ma passion. Après avoir hésité entre les études de musique ou de biologie marine, c'étaient finalement les maths qui ont emporté. La principale raison était que je voulais comprendre et ne pas apprendre.
Le premier déclic venait lors d'un séjour à Grenoble où j'étais en classe de Seconde au Lycée Stendhal. Notre professeur était un certain Mr Fluchaire et le programme de l'époque était encore passionnant car conceptuel (ce qu'on ne peut pas dire des programmes d'aujourd'hui — lire par exemple ces lamentations). Je me rappelle en particulier du cours sur les barycentres qui m'ont fasciné.
En même temps j'étais obligé de suivre le programme en Allemagne en lisant un manuel scolaire, à savoir Anschauliche Analysis. D'ailleurs je ne connais pas de livre scolaire utilisé dans les lycées d'aujourd'hui qui est d'une même qualité (voir par exemple ces extraits 1, 2, 3 et 4).

Le deuxième déclic venait d'un ami au même lycée Stendhal ; il était plus grand (déjà en première !) et était une sorte d'exemple pour moi. Il ma racontait des choses intéressantes sur les cardinaux des ensembles, je n'y comprenais pas grande chose mais ça m'intrigait...

Enfin, le troisième déclic venait au moment quand je suis rentré en Allemagne où on nous enseignait la définition de la continuité d'une fonction avec epsilon-delta. Bien qu'on ne nous demandait pas de preuves avec des majorations compliquées c'était le concept même de cette définition qui a éveillé mon intérêt pour les maths et la logique. J'ai beaucoup aimé l'idée que la fonction définie par 1/x était continue car le quantificateur ne s'applique pas au point zéro qui n'est pas dans l'ensemble de définition... J'ai compris à cette occasion qu'on pouvait tout affirmer sur les éléments de l'ensemble vide. C'était de la pure logique !

Appel aux témoignages : Quel déclic vous a fait étudier les maths ? Racontez vos souvenirs !

Pour bien réussir un concours le mieux c'est de le préparer avec des annales. C'est aussi vrai pour le premier concours que vous passerez dans votre vie : le baccalauréat.

Le style de sujets de bac de mathématiques ne change pas soudainement d'une année à l'autre. Mais il peut être différent des exercices que vous trouvez dans votre manuel scolaire ou que votre professeur vous pose en classe. Si vous maîtrisez bien les sujets des cinq dernières années, je crois le jour du bac vous n'aurez pas de mauvaises surprises. C'est pourquoi je vous conseille de vous préparer avec des sujets corrigés de bac en mathématiques.

Il est important aussi d'apprendre à gérer son temps. Si par exemple votre épreuve de bac dure trois heures, trouvez un créneau libre de trois heures non-interrompu pour vous enfermer dans votre chambre en éteignant le téléphone, l'ordinateur, la télé et concentrez vous sur le sujet. Prenez ensuite une bonne pause afin de comparer vos solutions avec le corrigé. Après une semaine refaites le même sujet pour contrôler si vous avez retenu les méthodes du corrigé...

En général, je vous conseille une règle valable pour tous les apprentissages (musique, sport, etc.) : travaillez d'abord la justesse, puis la rapidité, et pas dans le sens inverse ! Au départ votre but n'est pas de répondre à toutes les questions mais de donner des réponses complètes et justes aux exercices que vous maîtrisez ; plus tard la rapidité viendra de façon automatique. Un correcteur préfère une copie qui traite seulement la moitié des questions mais de manière correcte à une copie qui traite toutes les questions avec la moitié des réponses fausses !

Un dernier conseil: les sujets de bac nécessitent jamais de très longs calculs. Si vous avez besoin d'une page de calcul pour prouver une question, votre solution est peut-être juste mais elle est certainement trop longue. Donc même si vous savez faire un exercice, prenez quand même le temps de survoler le corrigé afin de vous impregner d'une rédaction concise qui dégage les points importants. Cela tient en particulier pour les candidats qui aspirent à la mention au bac!

Il bien connu (voir par exemple mon billet ou celui de Fabien sur les connaissances de élèves en terminale ou encore l'article de Michel Delord sur la maîtrise générale du calcul à l’entrée en sixième) que les exigences pour passer d'une classe à l'autre du cursus scolaire ont baissé. Les lacunes ainsi accumulées deviennent presque insurmontables, de manière qu'à la fin on est obligé de donner le bac assez facilement (voir par exemple cet excellent article sur la baisse de niveau du bac de physique ou ces réflexions sur la différence de niveau du bac entre la métroploe et la Réunion).

Quelles sont les conséquences pour les études supérieures que, selon les projets politiques, devraient entamer et réussir 50% des jeunes ? Voici un constat pratique. Recemment j'étais à la cafétéria d'une université parisienne. Sur le comptoir on avait posé cette affiche :

Vu à la fac : tableau de prix pour les nuls

D'abord je me suis dit que le CROUS de Paris propose un tarif dégressif pour des commandes groupées — mais non, il s'agit simplement d'un tableau nécessaire aux nombreux étudiants qui ne savent pas calculer quatre fois six... Le socle commun pour entrer en fac, finalement à quel niveau est-il ? Faut-il introduire les nombres négatifs pour le mesurer ?

Dans un post récent mon collègue bloggeur PB a constaté qu'une trop grande partie de ses élèves en prépa ne savent pas conjuguer correctement les verbes du premier groupe au passé composé et qu'ils écrivent souvent « on a montrer que… » dans leurs copies.

Je pense que la compréhension de la structure grammaticale d'une langue est fondamentale pour l'apprentissage des mathématiques. Je la situerais au même niveau que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une structure fondamentale à connaître pour ne pas écrire de bêtises. Malheureusement l'enseignement scolaire actuel ne transmet plus cette hygiène de base, de sorte que de telles lacunes se prolongent jusqu'aux classes préparatoires...

Voici donc une «recette» permettant d'éviter l'erreur la plus fréquente : la confusion entre les terminaisons -er, -é, -ez. On peut l'appliquer sans vraiment comprendre ce que c'est un infinitif, un participe composé et une deuxième personne au pluriel (de toutes manières ceux qui comprennent ces notions ne font probablement pas d'erreurs).

L'idée est simple : remplacer le verbe du premier groupe par un autre verbe, puis se fier à la prononciation. Par exemple on a les correspondances suivantes.

montrer/apprendre/voir,    montrez/apprenez/voyez,    montré/appris/vu.

Il suffit alors de procéder par analogie. Au lieu du verbe montrer utilisez l'autre verbe (apprendre, voir, etc.), puis testez laquelle est la bonne conjuguaison en lisant à haute voix.

Quelques règles de grammaire pour les nuls

FAUX	CORRECT	DONC PAR ANALOGIE
on a apprendre que...	on a appris que...	on a montrer montré que...
vous devez apprenez...	vous devez apprendre...	vous devez montrez montrer...
je viens de vu que...	je viens de voir que...	je viens de montré montrer que...
le lemme qu'on a voir	le lemme qu'on a vu	le lemme qu'on a montrer montré
ce qu'il devait compris	ce qu'il devait comprendre	ce qu'il devait montré montrer
Quel lemme voir-vous ?	Quel lemme voyez-vous ?	Quelle femme aimer aimez-vous ?

C'est bizarre, je ne suis pas français mais je crois que je fais moins d'erreurs de conjuguaison que la moyenne des bacheliers français. Je fais des fautes sur les prépositions (par exemple je ne sais pas si on dit j'aide un élève à faire ses devoirs j'aide un élève de faire ses devois ou j'aide un élève faire ses devois) et parfois je n'utilise pas le passé correct (dans ma langue maternelle, l'allemand, on utilise de manière indifférente l'imparfait et le passé composé), mais jamais ça ne me viendrait à l'esprit d'écrire « on a montrer que… »

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Autres exemples

• calcul de prix
• calcul de prix
• calcul de prix
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

Une petite erreur de calcul d'ordre 10¹⁰

On peut lire ici et là que la dette de l'état allemand a baissé considérablement en une seule journée. En fait, la comptabilité d'une banque allemande nationalisée en 2009 lors de crise financière a fait une "petite erreur", elle a pris pour une dette ce qui était en réalité un avoir ! Du coup l'état allemand a "gagné" d'un seul coup 55,5 milliards d'euros. C'était juste une petite faute de signe...

Ce "fait divers" du monde des finances sert comme introduction à ce billet sur le niveau de math des bacheliers français d'aujourd'hui, et plus particulièrement de ceux qui se destinent à des études scientifiques. Cette année j'enseigne, entre autres, à deux groupes de première année de licence en sciences (au total une cinquantaine d'étudiants). Puisque j'ai remarqué qu'un bon nombre des étudiants ne sait pas calculer avec des pourcentages et des puissances, j'ai consacré la première semaine à cela. Ce n'est pas vraiment prévu dans un programme qui porte sur les nombres complexes, l'algèbre linéaire, etc. Mais je suis de l'avis qu'un futur chimiste ou physicien doit savoir répondre à une question comme celle-ci : "Si la demi-vie d'une certaine substance radioactive est de 30 ans, quel est le pourcentage de diminution par an?"

Exemples de copies d'étudiants en première année d'université

Au mois d'octobre j'ai posé ce contrôle (45 minutes). Toutes les questions avaient été traitées en cours et TD, avec des énoncés identiques ou similaires (voir le polycopié du cours). Ce n'est donc pas surprenant qu'il y avait quelques très bonnes notes. Mais d'autre part le nombre de copies dépourvues de sens était tellement grand que cela m'inquiète. Avant de poursuivre la lecture de ce billet vous êtes priés de vous faire une idée vous-même en consultant quelques extraits scannés ici :

Quand on corrige de telles copies on est déjà heureux si le résultat est juste, même si l'écriture mathématique qui y conduit est fausse (comme dans cet exemple). Tout le monde fait des erreurs, moi aussi. C'est humain. Mais ici c'est le type d'erreur qui est inquiétant, et leur fréquence. Il y en a trop pour s'en amuser et pour parler de "florilège". Au total il y avait 48 copies (je n'ai pas tout scanné). Les 48 étudiants sont titulaires des bacs suivants: 39 bac S, 1 bac ES, 4 bac STL et 4 bac pro. La majorité des étudiants se destinent aux études de chimie.

Remarques et questions

1. Le bac d'aujourd'hui a-t-il encore une valeur? Si oui, laquelle?
2. Que dit la Cour des comptes? Il y a un grand gâchis d'argent public si l’Éducation Nationale ne parvient pas à enseigner correctement les opérations de bases +, -, × et ÷.
3. Après le bac la gabegie continue puisqu'à la fac on met tous dans le même panier, au lieu de créer des groupes de niveau. (Il est évident qu'avec des cours additionnels de soutien on n'arrive pas à combler ces lacunes du collège.) Pour donner une image : si une école de danse mettait dans un même cours ceux qui doivent apprendre les pas de base et ceux qui exécutent déjà les passes les plus compliquées, alors tous les élèves, les avancés et les débutants, demanderaient de se faire rembourser.
4. Est-ce le rôle de l'université d'enseigner les mathématiques de niveau collège?
5. Quel rôle jouent les conseillers d'orientation? Pourquoi ces étudiants sont-ils orientés vers les études scientifiques?
6. Les programmes scolaires en sciences établis par le ministère de l’Éducation Nationale sont-ils assez stimulants au niveau intellectuel pour attirer les meilleurs élèves vers les études scientifiques (et pas vers les études de droit, de commerce, gestion, etc.)?
7. Faut-il faire des contrôles pareils? Supposez vous êtes parent d'un étudiant qui a obtenu 20 points dans ce contrôle et vous voyez le sujet du contrôle, que feriez-vous? Puisque le niveau d'abstraction de ces exercices est adapté à un élève de troisième et pas à un étudiant en première année de faculté de sciences, vous lui conseilleriez certainement de changer d'établissement.
8. Peut-on enseigner le calcul dans C et dans Rⁿ à des personnes qui ne savent pas calculer dans R?
9. Que faut-il enseigner à un public tellement hétérogène?
10. D'après discussions avec des collègues partout en France je sais que ce constat ne concerne pas seulement mon université.
11. Faut-il en parler? Ce n'est pas politiquement correct d'affirmer que pas tous les bacheliers sont prêts pour des études supérieures. Si on veut la massification de l'enseignement il faut se donner des moyens efficaces. Faire les mêmes mathématiques pour tous et laisser passer tout le monde n'est apparemment pas la bonne méthode.
12. Cette très forte hétérogénéité qui empêche un enseignement efficace (et par suite la réussite des étudiants) n'est pas un phénomène qui ne concerne que la France (voir cet article en provenance des Pays-Bas). On l'attribue en général aux "nouvelles pédagogies". En Allemagne, on fait des constats similaires, pas dans les universités mais dans les FH (sorte de IUT). Lire par exemple cette lettre ouverte qu'un professeur de mathématiques de l'IUT de Berlin adresse à ses étudiants au premier semestre. Là-bas les bons étudiants des semestres supérieurs sont payés pour revoir le programme du collège et du lycée avec certains étudiants de première année repérés au début de l'année par un test sélectif (ils ont même écrit un bon polycopié).
13. Même en prépa le niveau est devenu très hétérogène. Les profs ne savent plus sur quelle base recruter tellement la signification des notes au lycée est devenue relative. Récemment en math sup dans un grand lycée parisien, je collais deux élèves ; l'une a très vite compris un exercice qui définit le logarithme complexe (une nouvelle notion pour elle), tandis que l'autre ne savait même pas dessiner la droite d'équation x+y=1 (elle y arrivait seulement après dix minutes, après m'avoir proposé trois faux dessins). Après on lira dans la presse que la prépa humilie les élèves (Bruno Sire)... mais si on y envoie quelqu'un qui n'a aucune base pour y réussir alors n'est-ce pas prévisible que ça crée des frustrations chez un élève qui ne comprend rien tout au long de la journée?

Encore quelques précisions sur ce contrôle :
La moyenne et la médiane des résultats se situent autour de 11, mais elles auraient été un ou deux points inférieures si j'avais corrigé avec une exigence normale.
Il s'agit d'un deuxième contrôle, sorte de rattrapage d'un contrôle très mal réussi par presque tous. En fait,a semaine avant j'avais fait un premier contrôle. Mon frère, matheux qui travaille dans l'industrie d'appareils médicaux, était chez moi en visite et m'a proposé de corriger les copies. Après vingt minutes il était découragé par les copies catastrophiques et disait: "Annule ce contrôle et rends les copies avec le corrigé. Ensuite tu leur dis que la semaine prochaine il y aura un autre contrôle similaire." Ensuite, c'est lui qui a conçu le nouveau sujet, plus simple, dont il est question dans ce billet. Les exercices étaient pratiquement les mêmes que ceux du premier contrôle, seulement encore plus élémentaires. Les étudiants qui n'ont pas réussi n'ont donc soit pas envie d'apprendre, soit ils n'ont pas les capacités de comprendre le corrigé.

Aujourd'hui je propose à mes lecteurs un entretien avec Martin Andler, président de l'association Animath.

MathOMan : Qu’est-ce qu'Animath ?

Martin Andler : Animath est une association créée en 1998. Son objectif est de promouvoir les activités mathématiques « périscolaires», c’est-à-dire les activités proposées aux élèves de collège et de lycée sur la base du volontariat en dehors du temps scolaire. Animath a une vocation nationale. Nous sommes soutenus par la SMF, la SMAI, la SFDS, Femme et math, l’APMEP et l’Inspection générale de mathématiques et regroupons l’ensemble des acteurs associatifs et institutionnels de l’animation mathématique en France (les IREM, Maths en Jeans, Le CIJM, la FFJM, l’association Kangourou, Science ouverte…).

MOM : En quoi consistent les actions ?

MA : Animath organise des actions elle-même mais c’est aussi la maison commune, et nous soutenons les actions qui sont menées par nos membres. On pourrait classifier ces activités comme suit. Premièrement, les activités ponctuelles :

• Participation à un concours en temps limité : Kangourou, les rallyes mathématiques, les olympiades académiques de mathématiques, etc.
• Assister à une conférence donnée par un chercheur : les promenades mathématiques, les conférences « un texte un mathématicien » à la BNF, les interventions « les maths ça sert », visite d’une exposition mathématique dans un musée ou centre de culture scientifique.
• Participation à une journée comme « Filles et mathématiques : une équation lumineuse ».

Deuxièmement, les activités régulières :

• Participation à un club mathématique ou atelier scientifique.
• Préparation d’un projet scientifique dans le cadre de Maths en Jeans ou d’un concours de projet scientifique.

Et finalement les stages qui peuvent durer entre trois et dix jours pendant les vacances scolaires.

MOM : Mais ces activités s’adressent uniquement à des petits génies ?

MA : Non ! La seule condition est de s’intéresser aux maths. Evidemment lorsqu’il s’agit de sélectionner les types de six élèves qui représenteront la France aux Olympiades Internationales de Mathématiques (OIM) les élèves concernés sont extrêmement talentueux. Mais nous avons besoin de former chaque année des centaines de docteurs en mathématiques et des dizaines de milliers de personnes qui vont exercer des métiers à base scientifique ; et nous avons besoin aussi de penser à l’ensemble d’une classe d’âge.

MOM : Justement concernant les OIM, ça m’a toujours étonné que la France, pays de haut niveau en maths, figure en position moyenne depuis plus de vingt ans. Les dernières années les premiers rangs sont occupés par la Chine, le Vietnam, l’Iran, les Etats-Unis et la Russie.

MA : Rappelons que la participation aux OIM est réservée à des élèves de lycée. Leur moyenne d’âge est autour de 17 ans. Pendant un certain temps la France recrutait son équipe aussi parmi des élèves de maths sup. Mais il est apparu que le recrutement post-bac était non-conforme au règlement et depuis lors les résultats des français se sont nettement détériorés.

Cela dit, le règlement s’applique de la même manière à tous les pays et si nous obtenons des résultats aussi faibles (au-delà de la 30e place au classement par pays parmi une centaine de pays participants) c’est peut-être pour trois raisons : Premièrement, la scolarité en France retarde la spécialisation des élèves. La France est le seul pays où les élèves doivent étudier autant de matières (environ dix) jusqu’à la fin du lycée. Deuxièmement, nous n’avons pas actuellement un système efficace de détection des élèves talentueux en mathématiques. Et troisièmement, nous commençons seulement mettre en place une véritable préparation aux OIM.

Par contraste, beaucoup d’autres pays y compris des pays très comparables (Allemagne, Italie, Royaume Uni, Espagne) ont mis en place depuis des années un système de détection et de préparation avec des stages, des cours et des concours blancs. Dans tous ces pays les universités sont fortement impliquées dans ce processus et profitent de ces stages pour donner aux jeunes un premier contact avec des mathématiques plus avancées.

La structure qui prend en charge la participation française à l'OIM est l'Olympiade française de mathématiques (OFM), animée par Claude Deschamps. Notre rôle, ainsi que celui de certains clubs de mathématiques comme le club de mathématiques discrètes à Lyon se situe en amont de l'OFM. Nous organisons des stages de préparation olympiques destinés à des élèves qui se sont distingués dans les différents concours. Nous recevons une subvention du Ministère de l'Education Natioanle pour permettre à tous les élèves sélectionnés de participer, indépendamment de leurs ressources familiales. Le club de Lyon recrute des élèves de la région lyonnaise, mais attire également quelques élèves de la France entière pour des séances tous les quinze jours. L'OFM prend en charge chaque année en début d'année scolaire un groupe d'élèves susceptibles de faire partie de l'équipe l'été suivant.

Animath espère que l’on va progressivement se rapprocher du type d’organisation des autres pays.

Je voudrais insister sur deux points : Les résultats aux OIM ne sont pas un but en soi ; ce qui est intéressant c’est de permettre à des élèves doués de découvrir les mathématiques plus difficiles et avancées que celles qu’ils font au lycée. Puis, il ne faut pas se limiter à agir que pour quelques dizaines ou même quelques centaines de jeunes chaque année. Les besoins de formation scientifique sont bien plus globaux. Par exemple, à Hambourg il existe depuis des années un réseau de clubs mathématiques et tous les professeurs de mathématiques de moins de 50 ans ont participé à ces clubs lorsqu’ils étaient élèves eux-mêmes.

MOM : Pourquoi les mathématiques ne sont-elles pas appréciées par un grand nombre d’élèves ?

MA : Une difficulté à laquelle nous sommes tous confrontés est que l’apprentissage des math exige la maîtrise d’un certain nombre d’outils qui finissent par occuper tout l’espace-temps disponible dans l’enseignement. Du coup, les professeurs ne peuvent pas rendre compte du caractère vivant de la discipline, tant sur le plan de la recherche que sur le plan des très nombreuses applications des mathématiques. Les élèves ont l’impression que les mathématiques sont une discipline qui est morte depuis longtemps et qui n’a aucune pertinence dans les activités humaines. Nous devons changer cette perception et montrer qu’il y a une activité de recherche en math, même à ceux qui ne seront pas eux-mêmes chercheurs, et nous devons montrer que les maths ont des liens très forts avec les autres domaines des sciences, y compris les sciences sociales, et que beaucoup d’activités importantes dans la société se basent sur une vraie culture mathématique.

MOM : Pour moi personnellement ce point de vu « utilitaire » est très réducteur. J’ai choisi les études maths car je trouvais ça beau et par défi intellectuel, et beaucoup de mes camarades d’études à la fac l’ont fait pour ces mêmes raisons, tout en sachant qu’ils n’auraient pas de mal de trouver un emploi dans l’industrie une fois obtenu le diplôme.

MA : On peut dire qu’il y a deux catégories de gens. Ceux qui acceptent de jouer le jeu des mathématiques a priori : ils trouvent que les math sont belles et intéressantes en elles-mêmes. Mais il y a tous les autres qui n’accepteront de s’intéresser à une question de math que dans la mesure où cela leur permet de résoudre d’autres problème qui sont au cœur de leurs préoccupations. Même s’il est vrai que les math sont présentes un peu partout, on ne peut pas faire de leur apprentissage un préalable. A Animath, nous avons deux programmes qui cherchent à combler ce déficit dont j’ai parlé. Avec la SMF et avec le soutien du CNRS et de l’INRIA nous avons mis en place les « Promenades mathématiques ». Ce sont des conférences données par des chercheurs dans un établissement scolaire ou dans un lieu culturel au autre. La structure des promenades permet à un enseignant de collège ou de lycée de trouver assez facilement un chercheur susceptible à venir dans son établissement.
Cela est surtout intéressant pour les collèges et lycées éloignés des universités. J’encourage tous les chercheurs à proposer des conférences pour notre catalogue de promenades mathématiques, et évidemment les professeurs de lycée et de collège de nous en demander. La deuxième initiative est celle qui s’appelle « les math ça sert! ». Nos partenaires sont la SMAI et la SFDS et nous sommes soutenus par la fondation « C’Génial ». Là, il s’agit de faire venir dans les classes des ingénieurs, techniciens, gestionnaires, banquiers, architectes... qui, partant de ce qui est fait en classe à l’instant t, montrent comment cette notion de base est pertinente pour leur travail. Ce programme vient de démarrer ce printemps 2011.

MOM : Y a-t-il un concours de projets scientifique pour les lycéens en France ?

MA : Il faut bien reconnaître que la France est très en retard sur ce point. Aux Etats-Unis il existe le concours ISEF (International Science and Engineering Fair), sponsorisé par INTEL. Ce concours a été créé en 1950. En Allemagne il y a le concours « Jugend forscht » (La jeunesse fait de la recherche) qui a été créé en 1966. Ces deux concours sont portés par des fondations indépendantes qui trouvent leurs financements. Aux Etats-Unis les récompenses sont des bourses d’études très importantes. Il existe aussi un concours européen depuis un peu plus de 20 ans qui s’appelle « European Union contest for young scientists ». Tous ces concours s’adressent à des lycéens. Il s’agit pour eux d'effectuer un travail individuel ou en petits groupes (jusqu’à trois ou quatre), à longue haleine (six mois, un an ou plus) sur une question scientifique. En général le travail est suivi par un professeur de lycée, mais souvent se fait également au contact d’un chercheur. J’étais il y a deux semaines invité à Kiel pour assister à la remise des prix du concours « Jugend forscht 2011 ». Pour montrer l’importance que l’Allemagne y accorde, la cérémonie était présidée par Christian Wulff, le président de la RFA. Il y a sept catégories disciplinaires (biologie, chimie, physique, mathématiques-informatique, sciences de l’univers, sciences de l’ingénieur, enseignement professionnel). Au départ il y a environ 6000 projets qui participent aux compétition locales ; ce sont les jeunes eux-mêmes qui déterminent leur sujet, comme de vrais chercheurs, en toute liberté. Puis on en sélectionne une centaine et enfin la moitié entre eux obtient un prix. Quelques exemples de sujets de cette année : en physique, le travail du premier prix, Benjamin Walter (16 ans), portait sur l'interaction entre le coronène et une couche superficielle de germanium. Il s'est demandé s'il serait possible de produire du graphène à partir de ce matériau. En utilisant la microscopie à effet tunnel, il a pu répondre négativement à cette question, mais il a obtenu des informations très intéressantes sur les aspects géométriques et énergétiques de l'interaction coronène/germanium. En chimie, Nico Fleck (15 ans) a travaillé sur la « réaction de Finkelstein », où des molécules organiques se lient avec l'iode; il a étudié l'influence de divers catalyseurs et solutions. Il a déterminé que l'éther couronne accélère la production de canaux iodés.

Les deux projets qui on reçu les premiers prix en mathématiques : l’un était sur la généralisation du problème de coloriage de plan. Il s’agit d’une question posée par Ed Nelson : combien faut-il de couleurs pour colorier le plan en sorte qu’il n’existe pas de points à distance 1 ayant la même couleur. Cette question est encore ouverte aujourd'hui. Ils ont travaillé sur des généralisations et des variantes de ce problème. L’autre projet concernait des question de pavage du plan. La découverte du polygone de Voderberg en 1936 conduit à des formes étonnantes que ce groupe de jeunes chercheurs a explorés, en créant des modifications de la construction de Voderberg. Ils ont également étudié le problème dit de « Heesch » sur la taille des pavages.

Pour la première fois cette année deux équipes françaises ont été invitées au concours ISEF à Los Angeles début mai. Un des deux projets était en physique et avait participé aux « Olympiades la physique en France » et l’autre était un projet en mathématiques qui avait participé au concours « C’génial ». Les deux groupes ont obtenu un quatrième prix ce qui est tout à fait remarquable. Je connais bien le professeur responsable du projet de math, Francis Lauret ; il enseigne dans un collège à Miramas. Cela fait plusieurs années qu’il y anime l’atelier « Euclide » et qu’il fait travailler ses élèves dans le cadre de cet atelier. Le groupe qui a présenté le projet à Los Angeles consistait de deux élèves de 3e du collège, Marine Auriol, Clément Martinez, et d'Arnaud Vespa, un ancien élève qui est maintenant en 1ère. Le titre de leur projet était « Du record du tour du monde à la voile aux trous noirs : d’étranges géométries. Des applications concrètes des théories modernes en mathématiques. » Au départ ils avaient participé au « Vendée Globe » virtuel sur internet, où il fallait trouver la meilleur stratégie pour un skipper. Cela les a amenés d’abord à comprendre la géométrie sphérique, la physique d’un bateau à voile et la météo, mais aussi à concevoir un pilote automatique A partir de là ils se sont intéressés à des géométries non-euclidiennes plus générales, y compris la géométrie tropicale et à ses applications.

En France il existe maintenant plusieurs concours de projets scientifiques mais qui sont à bien plus petite échelle que les concours analogues dans la plupart des autres pays. Il y a le concours « Faites de la science » organisé par les UFR scientifiques. Il y a « C’Génial » organisé par Sciences à l’école. Ces deux concours concernent toutes les disciplines. Il y a aussi les « Olympiades la physique » qui contrairement aux « Olympiades de mathématiques » ne sont pas un concours en temps limité mais un concours de projet.

Il faut mentionner aussi « Maths en jeans », qui est un véritable succès depuis 22 ans ; l’idée est la même, à savoir faire travailler les élèves sur un projet mathématiques à longue haleine mais avec deux différences : premièrement le groupe peut comporter jusqu’à une trentaine d’élèves, deuxièmement il n’y a aucune notion compétitive, la récompense consiste à pouvoir présenter ses résultats au congrès « Maths en jeans ».

Concours de projets et concours en temps limité, avec ou sans compétition, sont complémentaires ; parfois des élèves participent aux deux, mais parfois les concours de projets scientifiques permettent à des élèves qui ne sont pas forcément très bons scolairement d’exprimer tout leur talent. Les concours de projet scientifique français concernent très peu d’élèves, beaucoup moins que par exemple en Allemagne. On peut se demander pourquoi. La première raison est qu’ils sont bien plus récents et qu’ils disposent d’appuis institutionnel et matériel beaucoup moins forts. Mais il y a une raison plus fondamentale : le talent qui peut s’exprimer dans un travail personnel qui dure un an ou parfois plus ne donne aucune indication sur la capacité à réussir dans les épreuves en temps limité qui sont la colonne vertébrale de la tradition française de sélection. Je trouve ça décourageant ! Dans une certaine mesure les sciences expérimentales et les sciences de l’ingénieur sont plus affectées que les mathématiques. En effet, la capacité de réussir des épreuves en temps limité en maths se rapproche plus d’une activité mathématique authentique que ça ne l’est le cas pour les sciences de l’ingénieur ou de laboratoire.

Il reste beaucoup à faire pour que nos concours de projets scientifiques atteignent le niveau de leurs homologues dans d’autres pays. Les exemples que j’ai donnés montrent que ces concours ont un sens en mathématiques. On peut à cet égard mentionner le Concours Shing Tung Yau en Chine qui est un concours de projets mathématiques qui existe depuis 2008. J’aimerais bien qu’on créé un concours de ce type là pour les mathématiques au niveau européen.

MOM : Merci pour cet entretien ! Un mot pour la fin ?

MA : Nous avons évoqué ensemble un certain nombre d'activités périscolaires mathématiques. Il y en a d'autres, comme les stages de mathématiques pendant les vacances, les initiatives spécifiques pour les filles, ou d'autres. Dans ces cas-là, on peut travailler spécifiquement en direction des jeunes des zones défavorisées, qui ont le plus besoin d'être appuyés dans leur parcours scolaire, ou en direction des filles qui ont tendance, on le sait bien, à se détourner des études scientifiques à forte intensité mathématique. Nous aurons peut-être l'occasion d'en reparler.

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, parfois une simple question de formalisme pouvait me poser des problèmes. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne rencontrent plus assez de théorie des ensembles.

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Considérons une application (synonyme de fonction) d'un ensemble X dans un ensemble Y.

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

Si vous venez de passer le bac, vous avez déjà une notion intuitive de ce que c'est une application. Mais les mathématiciens possèdent plusieurs autres points de vue pour concevoir cet objet — et chacun a sa raison d'être.

1. Point de vue y en fonction de x.
   C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
   Le schéma mental est le suivant.

   

   L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
   En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
    
2. Point de vue collection d'éléments de Y.
   On peut aussi écrire l'application f en forme de famille . On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
   En général, une famille dans Y n'est rien d'autre qu'une application
   

   

    
   où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
   Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire

   

   où est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement

   

   
    
3. Point de vue les fibres en fonction de y.
   Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté
    
   
   
   
    
   Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.
    

   

   
   L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.
    
   

Une conséquence naturelle du point de vue des fibres est la factorisation canonique, que nous allons expliquer ci-dessus et dont la quintessence se résume ainsi :

L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et a le même cardinal que l'image de l'application.

Factorisation canonique

Nous nous proposons de montrer que toute application est la composée d'une surjection, d'une bijection et d'une injection. Soit donc f une application de X vers Y. On considère son image

et l'espace des fibres

Ainsi l'espace des fibres est le quotient de X par la relation d'équivalence  ~  qui est définie par  x ~ x'  si et seulement si f(x) = f(x'). Il est clair que et sont en bijection. Plus précisément il existe une surjection , une bijection et une injection tel que le diagramme suivant commute.

En effet, il suffit de prendre pour la projection canonique sur le quotient X/~, c'est-à-dire l'application qui à chaque x dans X associe la fibre de f en f(x) ; puis pour j l'injection naturelle, et enfin pour l'application qui envoie une fibre sur l'unique élément dans Y qui est son image par f. Il est alors évident que f est la composée

.

Un avant-goût de la suite

Concevoir une application comme la collection de ses fibres est très fréquent en topologie, géométrie algébriques et théorie des singularités. On fait varier un point dans l'espace d'arrivée pour observer, dans l'espace de départ, la manière dont varie la fibre au-dessus de ce point. Un exemple très basique est l'application

 
où a,b,c sont des réels fixés non tous nuls. La collection des fibres est constituée de plans parallèles. Il s'agit donc d'un feuilletage de l'espace par plans (comme un feuilleté). Les fibres se ressemblent toutes ; on a même ce qu'on appelle une fibration globalement triviale.

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).