Les commentaires du billet un exercice de topologie sur le blog de PB soulevait quelques questions intéressantes. Une parmi elles possède la réponse suivante :

Dans une variété topologique connexe on peut relier tout couple de points distincts par un chemin injectif.

Remarquons que ce résultat ne vaut plus sur des espaces non-séparés comme la droite avec un point dédoublé (une variété topologique est séparée par définition).

Démonstration :

Rappellons d'abord que sur une variété topologique les notions connexe et connexe par arcs sont équivalentes.
Quelques notations : B(r) désigne la boule ouverte de rayon r et de centre 0 dans pour la norme euclidienne. Pour noter la boule fermée, on mettra une barre dessus.

Soit M une variété topologique de dimension n et x un point de M. Notons E le sous-ensemble de M constitué de x et de tous les points qu'on peut relier injectivement à x. Notre but est de prouver que E=M. Vu que M est connexe et que E est non-vide, il suffit de montrer que E est ouvert et fermé.

• Ouvert : Soit y un point arbitraire dans E. Dans l'atlas de la variété M il existe une carte .
  
  
  • Si alors car dans une boule on peut toujours relier injectivement deux points distincts par un segment.
  
  
  • Dans l'autre cas où x n'est pas dans U nous posons r=1/2 et nous allons prouver que On sait déjà qu'il existe un chemin injectif tel que et . L'ensemble est compact, et comme M est séparé, on déduit qu'il est fermé (voir aussi remarque 2 en bas).
    
    Par continuité l'image réciproque est fermé dans [0,1] et possède donc un plus petit élément . On a l'inégalité car
    
    Le point ne peut pas être contenu dans la boule ouverte , sinon le serait également pour assez petit, contrairement à la définition de . Donc est sur le bord de la boule . Par construction on peut relier injectivement à tout point de sans rencontrer . En juxtaposant ces deux chemins, on relie donc injectivement x à n'importe quel point de Donc est un voisinage ouvert de y contenu dans E.

    



• Fermé : Nous devons prouver que le complémentaire de E est ouvert. Soit donc y un point arbitraire dans M\E, autrement dit y est un point qui ne peut pas être relié injectivement à x. On prend une carte . Alors on sait déjà que x ne peut pas être dans U. De deux choses l'une :
  
  
  • Soit l'ouvert U est une partie de M\E — dans ce cas on a terminé.
  
  
  • Soit U n'est pas inclu dans M\E — dans ce cas il existe un point z dans l'intersection . Pour on a . Il existe un chemin injectif allant de x à z. L'ensemble

    

    est compact car c'est l'intersection d'un compact et d'un fermé. (Pour voir que est fermé on utilise, comme en haut, le fait que M est séparé.)
    Parmi tous les points du compact il existe un ayant norme minimale. Nous notons w ce point et son correspondant sur la variété (toujours via la carte ). Clairement . D'une part on a la restriction de à et d'autre part le chemin correspondant au segment [w,0] ; en juxtaposant ces deux chemins injectifs on obtient un chemin de x à y qui, par construction, est injectif. Contradiction, ce cas ne peut pas avoir lieu.

    

Remarque 1 :

L'idée de la preuve est de se ramener à l'intuition que nous avons de notre espace usuel. Quand une trajectoire passe de l'extérieur d'une boule à l'intérieur d'une boule, elle doit forcément traverser le bord de la boule, elle coule comme une rivière. Or cela n'est plus vrai dans les espaces non-séparés comme la droite à deux origines dédoublées, 0' et 0''. Quand je fais un chemin de 0' à 0'' alors je rentre directement dans l'intérieur de la boule [-1,1]'' sans passer par -1 ou par 1. Le chemin apparait miraculeusement de nul part, il jaillit comme une source...

Il est donc intéressant de voir où la preuve ne fonctionne plus dans cet exemple. Evidemment c'est au moment où on utilise le fait qu'un compact d'un espace séparé est toujours fermé. Sur la droite dédoublée l'ensemble [-1,1]'' est compact mais il n'est pas fermé, car son complémentaire n'est pas ouvert.

Remarque 2 :

On est tenté de dire que est fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue. Mais cela serait faux ! En effet, est seulement définie sur U et pas sur toute la variété M. On peut donc dire que est un fermé de l'espace U (pour la topologie induite par M), mais de là on ne peut pas conclûre directement qu'il s'agit d'un fermé de M. C'est pourquoi nous devons faire ce détour :

compact dans B(1),
donc compact dans U,
donc compact dans M,
donc fermé dans M (séparé).

Grande surprise : le mathématicien russe Grigori Perelman vient d'annoncer que sa preuve de la conjecture de Poincaré, publiée en novembre 2002 sur ArXiv (revue scientifique en ligne sans comité de lecture), est fausse. Apparemment Perelman le savait tout le temps et attendait que quelqu'un trouve l'erreur ! Maintenant il se moque de toute la communauté mathématique, qui pendant six ans était incapable de vérifier les subtilités de sa (fausse) démonstration. Aujourd'hui il va même plus loin et propose un contre-exemple à la conjecture de Poincaré ; en fait ce contre-exemple (à vérifier scrupuleusement...) est en dimension 22 et Perelman a des pistes pour la construction de contre-exemples en toute dimension supérieure.

Il semble que cette fois, pour son travail destructeur, le chercheur russe ne réfuse plus d'être récompensé :

"Mathematicians are so easily baffled — now I want the Fields medal and the money, even if I'm too old for it!"

Vous pouvez lire l'entretien complet avec cet homme d'exception ici.

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert soit une fonction holomorphe injective telle que sur toutes les intersections . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

est holomorphe sur et possède une singularité essentielle en . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme pour tout , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe et pour tout il existe une infinité de nombres complexes tels que et .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul et un Il existe alors deux réels et tels que

Pour tout posons et Alors .
Ainsi on a on a

Par conséquence, en prenant assez grand, on voit que possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
 
On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

Étienne Ghys, Jos Leys et Aurélien Alvarez ont réalisé une très belle série de films en images de synthèse sur les mathématiques. Chaque vidéo est un récit scénarisé d'un mathématicien qui raconte ses découvertes d'une manière très compréhensible. C'est bien écrit et les visualisations correspondent exactement au texte ; on prend le temps d'expliquer ce type de maths sans beaucoup de formules.

Cliquez sur l'image

Le niveau recquis des différents épisodes est très divers. Aux lycéens en terminale S je recommande l'épisode 5 qui explique de manière simple ce que c'est un nombre complexe.
En revanche, les épisodes 7 et 8 qui parlent, entre autres, de la fibration de Hopf, vont plutôt profiter aux initiés en topologie en basses dimensions.

Les maths et les échecs vont bien ensemble. Enfin c'est ce que beaucoup de gens pensent, mais si on regarde de plus près je pense que parmi les matheux il n'y en a pas beaucoup plus de joueurs d'échecs sérieux que parmi d'autres professions (c'est une conjecture de ma part, à confirmer...). Personnellement je ne joue presque jamais aux échecs, je n'en ai même pas un jeu à la maison, mais mon grand-père était un excellent joueur, champion de sa ville qui gagnait d'impressionnantes parties simultanées où il passait entre vingt tables différentes.

Evidemment un côté fascinant aujourd'hui pour les mathématiciens-informaticiens c'est de construire des machines qui gagnent contre les humains. Il n'existe qu'un nombre fini de parties d'échecs possibles, et ce fait joue en faveur des ordinateurs car il suffit d'y aller par la force brute et de stocker en mémoire toutes ces parties...

Voici un petit problème.

Combien de tours tri-dimensionnelles faut-il pour dominer un échiquier dans l'espace ?

Apparemment la question sur un pavage de rectangles posée ici il y a quelques jours est stimulante. Après la solution par produit tensoriel, voici une autre qui repose sur une activité habituellement réservée aux enfants: le coloriage. (Les matheux ne sont que de grands enfants !) Merci à David Caisson qui m'a envoyé cette solution extraite du livre Solving Mathematical Problems de Terence Tao.

L'idée de T. Tao est aussi simple que belle: on colore en vert tous les rectangles ayant un côté horizontal entier, et en rouge tous les autres rectangles. Un argument topologique de connexité nous assure alors que dans le grand rectangle on peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert ou les deux côtés horizontaux par un chemin rouge. (Pour ceux qui ne connaissent pas encore la notion de connéxité : c'est une sorte de théorème des valeurs intermédiaires qui dit que deux lignes reliant les côtés opposés se coupent forcément). Or un chemin vert consiste en la juxtaposition de rectangles verts, donc sa longueur horizontale est entière; et de manière analogue pour un chemin rouge.

Vous pouvez lire la solution complète ici.

Cette "solution" m'a laissé perplexe car sur les trois premières pages l'auteur n'avance pas beaucoup, puis au tout dernier paragraphe il évoque, sans les traiter, quelques obstacles qui pourraient éventuellement se poser. Et avec un peu d'esprit critique on trouve que la démonstration est fausse! Voici un contre-exemple.

 

 
La largeur est 4 et la hauteur est 3,5. Pourtant il n'y a pas de chaîne verte mais seulement une chaîne rouge dont on ne peut rien déduire sur la hauteur (car elle possède des décalages) ni sur la largeur (car les rectangles rouges n'ont pas de largeurs entières).

Mais Terence Tao ne serait pas Terence Tao, porteur de la Médaille Fields 2006 (sorte de prix Nobel pour mathématiciens), si l'idée de sa preuve était entièrement fausse ! En effet, après une petite recherche sur internet, je me rends sur son blog personnel et j'y trouve une liste d'errata où il corrige, entre autres, cette preuve. Voici l'amélioration qu'il apporte:

On colore les rectangles comme avant, mais seulement leurs intérieurs. Ensuite on colore en vert les côtés verticaux ouverts, et le reste en rouge.

Maintenant mon contre-exemple ne résiste plus! On peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert.


 
Pourquoi cette démonstration améliorée fonctionne-elle ? Et bien, lorsqu'on parcourt un chemin vert disons, alors chaque fois qu'on quitte un rectangle vert pour passer dans un autre, ça se fait sur un segment vertical dont l'abscisse est un entier.

Voilà donc une jolie solution purement topologique, sans analyse. Je ne pense pas qu'elle s'adapte aux dimensions supérieures.

Dans ce qui suit tous les nombres sont des nombres naturels :  0, 1, 2, 3, 4, ...

Définition.  Les multiples d'un nombre n sont les nombres 0, n, 2n, 3n, 4n, ...

Exemples :

• Les multiples de 2 sont 0, 2, 4, 6, 8, ...
• Les multiples de 3 sont 0, 3, 6, 9, 12, ...
• Les multiples de 4 sont 0, 4, 8, 12, 16, ...

On appelle les multiples de 2 aussi nombres pairs. Les non-multiples de 2 sont 1, 3, 5, 7, ... et sont appelés nombres impairs.

Notre définition donne les multiples en forme d'une liste. Mais qu'est-ce qui signifient vraiment les trois petits points dans la liste 0, n, 2n, 3n, 4n, ... ? En fait, on peut écrire les trois points car tout le monde comprend comment on doit continuer la liste : après 4n, il y a 5n, puis 6n, et de suite. Autrement dit, on a la règle suivante.

Règle 1.  Un nombre m est un multiple de n si et seulement s'il existe un k tel que m = kn.

Par exemple, le nombre m=24 est multiple du nombre n=4 car 24=k×4 avec k=6.

Il est important que ce k soit aussi un nombre naturel, comme m et n. En effet, on n'a pas le droit de dire la phrase suivante : Le nombre 3 est multiple 4 car 3=k×4 avec k=¾.

Règle 2.  Zéro est multiple de tout nombre. Tout nombre est multiple de soi-même.

Preuve : Soit n un nombre choisi. Le nombre 0 est le premier élément de la liste de multiples de n — on l'obtient en prenant k=0. Et n est le deuxième élément dans cette liste — on l'obtient en prenant k=1.

Cas particuliers :

• Les multiples de 1 sont 0, 1, 2, 3, 4, ..., c'est-à-dire, tout nombre est multiple de 1.
• Les multiples de 0 sont 0, 0, 0, 0, 0, ..., c'est-à-dire, zéro n'a que lui-même comme multiple.

Dans les exemples on voit que la liste des multiples de 4, à savoir 0, 4, 8, 12, ..., est contenue dans la liste des multiples de 2. Si on y réfléchit un peu ce n'est pas très étonnant et nous allons le formuler comme une règle général :

Règle 3.  Si m est multiple de n et si n est multiple de p alors m est aussi multiple de p.

Preuve :  Si m est multiple de n on peut l'écrire comme m = kn ;  et si n est multiple de p on peut l'écrire comme n = k'p. Alors on a m = kn = kk'p ce qui prouve que m est multiple de p.

Exemples :

• 6 est multiple de 3, donc tout multiple de 6 est aussi multiple de 3.
  La réciproque n'est pas vraie, par exemple, 9 est multiple de 3 mais pas de 6.
• Tout multiple de 12 est aussi un multiple de 3 et de 4 et de 2.
  C'est vrai car 12 est multiple de 3 et de 4 et de 2.

Beaucoup d'affirmations que nous disons dans notre langage de tous les jours, dépendent de notre point de vu. Par exemple, les deux phrases

Zoé est la fille d'Alexandre  et  Alexandre est le père de Zoé

signifient la même chose, mais de points de vue différents. C'est cette diversité qui donne de la richesse à notre langue ! En mathématiques aussi il y a des manières différentes pour exprimer une même chose ; c'est utile, pas pour une question de style, mais car en maths le changement du point de vue est souvent un outil très puissant (voir un exemple dans cet article).

Définition.  Si m est un multiple de n on dit aussi que m est divisible par n ou que n divise m ou que n est un diviseur de m.

Autrement dit, n divise m si et seulement s'il existe k entier tel que m = kn.
L'équation m = kn équivaut à k = m/n. Ainsi n divise m si et seulement si la fraction m/n est un entier (si n est non-nul).

Notation.  Pour dire n divise m on écrit souvent n | m.

Exemples

• 5 | 15.
  On dit 5 divise 15 ou 5 est un diviseur de 15 ou 15 est divisible par 5 ou 15 est un multiple de 5.
• 3 | 15.

Les affirmations suivantes se déduisent directement de ce que nous avons déjà compris sur les multiples.

• Tout nombre divise 0 car 0 est multiple de tout nombre.
  En écriture mathématique, n|0 car 0 = 0 × n.
• Tout nombre divise soi-même car tout nombre est multiple de soi-même.
  Ou encore, n|n car n = 1 × n.
• 1 divise tout nombre car tout nombre est multiple de 1.
  Ou encore, 1|n car n = n × 1.

Règle 4.  Si p|n et si n|m alors p|m. Par exemple, 15|30 et 30|3000 donc 15|3000.

Preuve :  C'est une traduction directe de la règle 3.

Question :  Qu'est-ce qui est plus grand, multiple ou diviseur ?

Réponse :  Mise à part le multiple 0, les multiples d'un nombre sont plus grands que ses diviseurs.
Par exemple, les multiples non-nuls de 12 sont 12, 24, 36, .... Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Question :  Qui sont plus nombreux, les multiples d'un nombre donné ou ses diviseurs ?

Réponse :  Un nombre non-nul possède une infinité des multiples mais seulement un nombre fini de diviseurs.
En effet, pour n non-nul, la liste des multiples de n est 0, n, 2n, 3n, ... C'est une liste infinie avec des nombres de plus en plus grands. En revanche, le plus grand diviseur de n est n lui-même, donc n possède un nombre fini de diviseurs qui se trouvent parmi les nombres 1, 2, 3, ..., n.

Trouver tous les diviseurs d'un nombre donnée n'est pas facile si ce nombre est grand. Donc il est pratique de disposer de quelques critères de divisibiltés. Ca sera l'objet du prochain billet. Finissons ce billet avec un énoncé simple et sa preuve. Ca sera l'occasion de voir le formalisme des multiples en action.

Théorème.  Un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair.

Preuve du théorème.  Fixons un nombre entier n au hasard et prouvons le théorème pour ce nombre. (Le mathématicien dit pour cela soit n un entier.) Alors il y a deux cas possibles : soit n est pair, soit n est impair.
Supposons d'abord que n est pair. Alors il existe un entier k tel que n=2k. Ainsi n²=4k² ce qui prouve que n² est un multiple de 4, et donc en particulier un nombre pair. On vient de prouver que si un nombre est pair alors son carré aussi.
Supposons maintenant que n est impair. Alors il existe un entier k tel que n=2k+1. Donc n²=(2k+1)²=4k²+4k+1, et comme les deux premiers termes de cette somme sont pairs on en déduit que n² est impair. On vient de prouver que si un nombre est impair alors son carré aussi.
Or un nombre entier est soit pair soit impair ; donc en fait on a prouvé lé théorème.

Remarque.  Le théorème peut aussi s'énoncer comme suit : un entier est impair si et seulement si son carré est impair.

Exercices.  Les quatre exercices suivants sont faciles. Il faut simplement imiter la démonstration du théorème.

1. Montrer qu'un entier est multiple de 3 si et seulement si son carré l'est.
2. Montrer qu'un entier est pair si et seulement si son cube l'est.
3. Est-il vrai qu'un entier est multiple de 4 si et seulement si son carré l'est ?
4. Est-il vrai qu'un entier est multiple de 3 si et seulement si son cube l'est ?

Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :

Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture. Etc., etc....

Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale — et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.

J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.

De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves — et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son

(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.

(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.

J'ai acheté le numéro 391 du magazine Pour la Science (mai 2010) car il y a un article sur l'harmonie musicale. Je suis plutôt déçu de cet article (j'écrirai une autre fois pourquoi), et finalement c'est un autre, même pas mentionné sur la couverture, que je trouve beaucoup plus intéressant : Les parasites manipulateurs de F. Thomas et F. Libersat. Par exemple, un certain ver parasite influence le comportement de son hôte, une petite crevette, par des sécrétions chimiques de sorte que la crevette nage en surface au lieu de se cacher sous l'eau ; la crevette devient ainsi plus facilement proie des oiseux et ça convient au ver qui peut alors poursuivre son cycle de vie dans ce nouvel hôte plus grand.
Je vous recommande la lecture de cet article, il y a plein d'autres exemples surprenants.

A ce sujet un petit exercice de prédateur-proie (la similitude s'arrête là car il n'a rien à faire avec des questions de comportements ou de manipulation).

Casse-tête : Une mouche et deux araignées se déplacent sur les arêtes d'une cube. Toutes les trois se voient et ont la même vitesse constante. Prouver que les araignées finiront par attraper la mouche.

Dans la solution que j'ai trouvée je suppose que le temps de réaction de chaque animal est nul et qu'à tout moment l'animal peut changer de direction de mouvement. J'ignore si l'énoncé reste vrai sans ces hypothèses.

Classer les gens

• Il y a trois sortes de gens au monde: ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas compter.
• Il y a deux sortes de gens au monde: ceux qui pensent que le monde peut être divisé en deux sortes de gens et ceux qui pensent que ce n'est pas possible.
• Il y a 10 sortes de gens au monde: ceux qui comprennent la notation binaire et ceux qui ne la comprennent pas.

Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ?

• Aucun. C'est laissé au lecteur en exercice.
• Aucun. Un mathématicien ne peut pas changer une ampoule, mais il peut prouver que cela est faisable.
• Un. Il la donne à un physicien et ramène ainsi le problème à un problème précédemment résolu.
• La solution est triviale.
• Un seul, une fois que vous avez réussi à lui présenter le problème dans des termes qu'il peut comprendre.

Combien faut-il d'analystes pour changer une ampoule ?
Trois. Un pour prouver l'existence, un pour prouver l'unicité et un pour déterminer les condtions initiales.

Combien faut-il d'analystes numériques pour changer une ampoule ?
3,9967 (après six itérations)

Combien faut-il de mathématiciens constructivistes pour changer une ampoule ?
Aucun. Ils ne croient pas au rotations infinitésimales.

Combien faut-il de géomètres classiques pour changer une ampoule ?
Cela ne peut pas être fait à la règle et au compas.

Combien faut-il de topologistes pour changer une ampoule ?
Un seul. Mais que fait-il du beignet ??

Combien faut-il de Bourbakistes pour changer une ampoule ?
Changer une ampoule est un cas particulier d'un problème plus général concernant l'entretien et la réparation d'un système électrique. Pour déterminer un minorant et un majorant du nombre de personnes nécessaires, nous devons vérifier si les conditions du lemme 2.1 (disponibilité du personnel) et ceux du corollaire 2.3.55 (motivation du personnel) sont vérifiées. Si et seulement si ces conditions sont réunies, on obtient le résultat en appliquant le théorème de la section 3.11.23. Le majorant obtenu est, bien sûr, à prendre en compte dans un espace mesuré, muni de la topologie *-faible.

Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que et

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de :

• la boule
  
• la sphère
  
• l'hémisphère nord
  

Le bord de la boule est la sphère . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire




Questions

1. Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule et son bord dans les cas n=1,2,3.
2. Démontrer que
   
3. Démontrer que
   
4. Démontrer que
   
5. Démontrer que
   

Cliquez pour lire la Solution.