Matthias Wandel est le fils d'un éleveur de vaches allemand qui a émigré au Canada en 1980 avec sa famille. Il construit des choses fabuleuses en bois (notamment la calculatrice binaire en bois), mais il programme également des jeux en ligne, comme par exemple The Eyeballing Game.


On peut y entraîner sa vision approximative en géométrie plane. Les huit épreuves proposées sont les suivantes.

• Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
• trouver le milieu entre deux points,
• trouver la bissectrice d'un angle,
• placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
• trouver le centre d'un cercle,
• former un angle droit,
• placer l'intersection de trois droites concourantes.

En principe, ce sont toutes des constructions géométriques qu'un élève de collège peut réaliser à la règle et au compas. Or ici il ne s'agit pas d'ancrer votre compas sur votre écran d'ordinateur LCD et y percer des trous, mais d'essaier de trouver à l'oeil nu le point demandé. Vous devez jouer trois tours pour obtenir un score final; vous allez voir que vous vous améliorez à chaque tour. Pensez à enfoncer la souris, puis à la relacher à l'endroit souhaité (vous ne pouvez plus corriger après).

Le score est mesuré en écarts (pixels) entre votre résultat et le vrai — donc plus bas mieux c'est. Mon score total des trois tours était de 5,05 (ma meilleure réponse était de 0,2). C'est un résultat très moyen... pas terrible pour un mathématicien! Ma seule excuse: je suis myope et astighmate ;-)

Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers. On ne tient pas compte de la courbure de la terre, c'est-à-dire la terre est supposée plate.

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l'espace.

On dit qu'un objet dans l'espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l'objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l'objet est convexe s'il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu'il est borné s'il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s'il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.

Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

Chers lecteurs fidèles, ça fait un bon moment que je n'ai plus écrit de billet sur ce blog, faute de temps. Mais je vais pouvoir reprendre la cadence habituelle dans quelques mois, je l'espère. En attendant j'aimerais inverser les rôles et vous demander d'écrire quelques lignes sur une question précise que je n'arrive pas à comprendre.

Comme tout le monde le sait on serre une vis en la tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (pour être plus précis il faut rajouter : lorsqu'on aperçoit la vis du côté du tourne-vis). Ce sens d'orientation, appelé filetage droit ou hélice droite, est devenu le standard international (parce que la majorité des humains sont des droitiers et ont plus de force dans leur main droite pour visser une vis à filetage droit qu'une vis gauche). Il y a quelques exceptions pourtant où l'on utilise une l'hélice inverse. La seule situation où j'en rencontre dans la vie de tous les jours est celle de la pédale gauche de mon vélo. Les constructeurs de vélo ont compris qu'il faut mettre un filetage gauche sur l'axe de la pédale gauche (et un filetage droit pour la pédale droite) afin d'empêcher que la pédale ne se desserre de la manivelle au fil du temps. Voici ma question :

Je ne comprends pas pourquoi ça fonctionne. Qui peut me l'expliquer ? En fait, si on bloque la pédale sur son axe et si on continue de pédaler, alors elle se défait ; en effet, le mouvement relatif de la pédale à la manivelle est contre le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale droite, et dans le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale gauche. Donc, selon moi, les billes du roulement mécanique exercent une force de frottement qui desserre la pédale au lieu de la serrer.

Pas de vis droit et gauche sur les axes des pédales de ma bicyclette... (cliquez pour aggrandir)

Un ami vient de me signaler une autre vis gauche, celle du raccordement à une bouteille de gaz. Mais je ne comprends pas pourquoi on fait ainsi. Qui peut l'expliquer ?

Pour me rendre à vélo depuis le 11e arrondissement de Paris (et oui, cette chanson existe même dans ma langue !) jusqu'à la fac de Versailles j'essaye beaucoup de parcours différents. Autrement dit je pratique une sorte de calcul de variations pour trouver le chemin optimal. Ce n'était pas évident de faire un bon compromis entre plusieurs minimisations simultanées : le chemin le plus court, le chemin avec le moins de voitures et le chemin avec le moins de dénivelé...

L'un des parcours que j'ai testés passe devant un bâtiment abandonné à Meudon. Il est délabré, ses fenêtres sont pleines de graffiti et il y a déjà un panneau permis de démolir planté devant. Je me suis arrêté pour en prendre quelques photos. Pour savoir de quel immeuble il s'agit cliquez sur la deuxième image !

Meudon — immeuble prêt à casser... (cliquez sur la deuxième image)

C'est l'occasion pour féliciter mon ami Achim à Grenoble qui vient de soutenir son habilitation, probablement dans le but de quitter cette institution au futur incertain pour devenir professeur universitaire ;-)

Certainement vous avez déjà imaginé que vous jouez aux Time Bandits et que vous voyagez dans le temps ; et que vous avez en plus le droit d'amener des objets et votre savoir actuel avec vous...
Or si je prends mon téléphone portable avec moi et je voyage dans les années 1970 cet appareil ne me servira strictement à rien. Et si j'amène mon vélo (et sa pompe !) dans l'époque de l'Empire Romain (je me le suis déjà souvent imaginé) ça ferait un énorme tabac, certes ; mais après avoir roulé pendant un an sur les routes romaines j'aurais besoin de pièces de rechange et je n'en trouverais pas. Et Néro qui m'a donné une tonne d'or car je lui ai promis de faire construire des milliers de vélos pour son armée m'envoie aux lions du Circus Maximus car les ingénieurs de l'époque n'arrivent pas à réaliser des roulements à billes performants...

C'est pourquoi finalement le meilleur bagage à amener me semble des concepts intellectuels, universels et non liés à un environnement technique particulier. Par exemple, j'aimerais bien voyager au 17^e siècle et expliquer à Leibniz pourquoi il avait tort à croire que la série

convergait vers ½. En fait, il disait que cette série convergait à la fois vers 0 et vers 1, donc vers ½ et que c'était là une preuve de l'existence de dieu... Mais la bonne définition de la notion de limite, si fondamentale, n'a été trouvée que 150 ans plus tard par Weierstrass. La voici :

C'est sous cette forme que l'on enseigne la limite aux lycéens (ou au moins on le faisait il y a une vingtaine d'années). C'est donc une idée plutôt basique — mais il fallait la trouver !

Sondage de mes lecteurs : Qu'est-ce que vous aimeriez amener lors d'un voyage dans le temps ? Et à qui voudriez-vous présenter votre savoir ? Laissez vous guider par votre fantaisie de mathématicien ;-)

Il est rare qu'une simple question de la vie quotidienne devient un problème de mathématiques quasiment insurmontable... mais ça peut arriver ! Il y a une quarantaine d'années le mathématicien autrichien Leo Moser se posait, probablement lors d'un déménagement entrepris tout seul, la question suivante :

Quelle est la taille maximale d'un canapé que je dois déménager horizontalement le long d'un couloir lorsque celui-ci présente un angle doit ?

Supposons que la largeur du couloir vaut 1. Comme un demi-disque de radius 1 passe clairement par l'angle, la taille l'aire maximale est minorée par . Mais évidemment on peut faire mieux. L'anglais John Michael Hammersley proposa la solution ci-dessous en forme de combiné téléphonique, sans pourtant prouver que c'est la solution maximale (et effectivement Gerver a trouvé plus tard un sofa encore plus grand). En outre il démontre que la taille maximale est majorée par

On a donc un majorant et un minorant, mais quelle est la valeur exacte de la taille maximale ? Actuellement c'est toujours un problème ouvert. Pour monter des fonds de recherche pour bien attaquer ce problème important de mathématiques très appliquées, peut-être faudrait-il organiser une conférence inter-disciplinaire entre mathématiciens et la branche de scientifiques la plus concernée : les psycho-analystes !

Les maths et les échecs vont bien ensemble. Enfin c'est ce que beaucoup de gens pensent, mais si on regarde de plus près je pense que parmi les matheux il n'y en a pas beaucoup plus de joueurs d'échecs sérieux que parmi d'autres professions (c'est une conjecture de ma part, à confirmer...). Personnellement je ne joue presque jamais aux échecs, je n'en ai même pas un jeu à la maison, mais mon grand-père était un excellent joueur, champion de sa ville qui gagnait d'impressionnantes parties simultanées où il passait entre vingt tables différentes.

Evidemment un côté fascinant aujourd'hui pour les mathématiciens-informaticiens c'est de construire des machines qui gagnent contre les humains. Il n'existe qu'un nombre fini de parties d'échecs possibles, et ce fait joue en faveur des ordinateurs car il suffit d'y aller par la force brute et de stocker en mémoire toutes ces parties...

Voici un petit problème.

Combien de tours tri-dimensionnelles faut-il pour dominer un échiquier dans l'espace ?

La langue des français ne finit pas par me surprendre. Ils ne faut pas toujours prendre à la lettre ce qu'ils disent. Par exemple il a quarante balais ne signifie pas qu'il s'agit d'un collectionneur d'outils de nettoyage, non mais quel manque d'imagination de la part de l'étranger que je suis, évidemment il fallait comprendre qu'on compte ici les années...

Mais encore plus bizarres sont les deux expressions suivantes qui inversent le sens. Contrairement à ce qu'on devrait croire t'inquiète ne signifie pas inquiète-toi mais ne t'inquiète pas ! Et fais gaffe ne veut pas dire fais une gaffe mais ne fais pas de gaffe !

J'avoue qu'en ma patrie, la Bavière, aussi il y a des illogismes. Par exemple, on peut entendre des bavarois dire i hob koa Mo net gsehn. Traduction en allemand correct : ich habe keinen Mann nicht gesehen. La double-négation kein/nicht en allemand fait une affirmation, mais pas chez les bavarois car ils aiment faire chose à part du reste de l'Allemagne.

En général, une négation en mathématiques et en langue est ce qu'on appelle une involution, c'est-à-dire une opération qui appliquée deux fois nous ramène au point de départ. Comme la multiplication avec -1. Si je multiplie deux fois par -1 je retrouve le nombre initial car -(-x)=x. Un autre exemple d'involution est une réflexion, par exemple par rapport à un plan : l'image miroir d'un image miroir est l'image initial.

Blague : A Krka lors de la conférence mondiale bi-annuelle des linguistes un chercheur fait un exposé détaillé sur les principes de la double-négation. Il explique alors qu'une double-négation est équivalente à une affirmation, mais qu'une double-affirmation ne peut jamais, mais vraiment jamais produire une négation. Après une heure son exposé compliqué en MindMaps et PowerPoint, avec des matrices, des équations comme et se termine, les scientifiques s'apprêtent à applaudir quand soudainement vient du dernier rang de l'amphi un Oui, oui...

Exercice : Un condamné est dans une pièce avec deux portes, chacune gardée par un gardien. Il sait que l'une des portes amène à la liberté et l'autre à la prison et que l'un des gardiens dit toujours la vérité tandis que l'autre ment toujours. Il a le droit de poser à un gardien au choix une seule question à réponse oui/non, puis il a le droit de sortir par la porte qu'il veut. Quelle question posera-t-il et quelle porte prendra-t-il ensuite ?

Remarque : Il existe une solution bien connue. Mais il existe aussi une autre qui ne suppose même pas que chaque gardien soit au courant qu'il existe une autre porte avec un autre gardien.

Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :

Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture. Etc., etc....

Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale — et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.

J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.

De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves — et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son

(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.

(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.