Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

A l'occasion de la solution d'un joli exercice de type colle sur les matrices (voir le blog de Pierre Lecomte), je suis naturellement amené à poser la question suivante.

Soit A une matrice inversible à coefficient dans un corps. Alors par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en la matrice unité. En fait c'est la méthode du pivot de Gauss qui permet cela. On en déduit que A est un produit de matrices correspondantes aux trois types d’opérations élémentaires (permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout d’une ligne à une autre).
Cette écriture en produit est pratique car elle permet de prouver plein de choses. Par exemple, pour montrer que le déterminant conserve les produits il suffit de le vérifier pour la multiplication entre une matrice de ce type et une matrice quelconque — et c'est tout facile.

Or comment ça se passe-t-il sur un anneau ? Plus précisément :

Soit R un anneau commutatif et A une matrice carrée avec coefficients dans R telle que det(A) est une unité de R. On sait que A est une matrice inversible (c’est du classique, voir par exemple ici pour la formule qui donne l'inverse en fonction de (det A)^-1 et de la comatrice).
Question : Peut-on ramener A à la matrice unité par des opérations élémentaires ?

Peut-être avez-vous déjà réfléchi là-dessus et connaissez la réponse...

Soit A la matrice carrée d'ordre 20 définie par les propriétés suivantes :

• le coefficient d'indice (j,k) vaut 0 si k=j,
• le coefficient d'indice (j,k) vaut 4 si k-j est pair et non-nul,
• le coefficient d'indice (j,k) vaut 5 si k-j est impair.

Montrer que la matrice A est inversible (sur le corps des rationnels).

Le cofacteur d'indice (j,k) d'une matrice carrée A est où désigne la matrice qu'on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)

La matrice des cofacteurs de A, s'appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,

Petit exercice :  la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire sur lui-même ? Et de sur lui-même ?

Mon billet récent sur la dimension maximale d'un sous-espace affine contenu dans l'ensemble des matrices non-inversibles m'a inspiré les réflexions suivantes, une sorte de version différentiable de ce résultat.

On note l'espace des matrices n x n à coefficients réels et le sous-ensemble des matrices inversibles. On sait que est un ouvert dans . En effet c'est l'image réciproque de l'ouvert par l'application continue déterminant

On peut même dire un peu plus : le déterminant étant polynômial en le complémentaire des matrices inversibles, c'est-à-dire l'ensemble des matrices de déterminant nul,

est une hypersurface algébrique. Géométriquement parlé est un fermé de qui ressemble localement à un hyperplan (c'est-à-dire à un sous-espace affine de dimension n²-1). Enfin, cela est vrai en presque tous les points, ceux où la différentielle du déterminant ne s'annulle pas (points réguliers). En revanche, en les points où la différentielle du déterminant est nulle (points singuliers), l'hypersurface ne ressemble plus à un sous-espace affine. Il peut y avoir un croisement comme par exemple

ou un rétrécissement comme par exemple

(Pour plus d'images de surfaces algébriques visitez le la galerie de Herwig Hauser.)

Il est évident que la différentielle du déterminant est nulle à l'origine. Donc notre hypersurface possède une singularité à l'origine. Le résultat suivant dit qu'il s'agit d'une singularité de type rétrécissement, car l'hypersurface de dimension n²-1 y perd quelques dimensions — il y reste juste assez de place pour n²-n dimensions...

Proposition :

Le nombre n²-n est la plus grande dimension possible d'une sous-variété différentiable F de telle que

Démonstration :

• L'ensemble des matrices dont la première ligne est nulle est un sous-espace vectoriel (et donc en particulier une sous-variété différentielle) de dimension n²-n. Evidemment il contient l'origine 0 et est contenu dans .


• Soit F une sous-variété de de dimension n²-n+1 et telle que . Nous allons prouver que F contient une matrice inversible.
  Au voisinage de l'origine la sous-variété F est décrite par un système de n-1 équations

  

  tel que les différentielles sont linéairement indépendantes à l'origine. On résoud ce système par le théorème des fonctions implicites, c'est-à-dire on peut isoler (théorétiquement) n-1 des coordonnées et les exprimer par les autres. On a ainsi, toujours au voisiange de l'origine, n²-n+1 coordonnées variables et n-1 coordonnées isolées (fonctions différentiables des coordonnées variables).
  Maintenant je peux poursuivre mon raisonnement de la preuve du cas affine : par des permutations de lignes et de colonnes je m'arrange à ce que les coordonnées isolées soient toutes au-dessus de la diagonale matricielle ; puis je prends les coordonnées sur la diagonale toutes égales à un nombre non-nul et proche de 0 et les autres coordonnées variables égales à 0. Ainsi j'obtiens une matrice inversible qui est dans F.

La comatrice com(M) d'une matrice carré M d'ordre n est la matrice des cofacteurs, c'est-à-dire sa composante en (l,k) est fois le déterminant de la matrice qui s'obtient lorsqu'on ôte à M sa l-ème ligne et sa k-ème colonne.
Mais c'est surtout la transposée de la comatrice qui nous intéresse ; elle s'appele matrice complémentaire (en allemand Adjunkte, en anglais adjugate matrix) et on démontre dans tout cours d'algèbre linéaire qu'elle vérifie la propriété fondamentale :

Par conséquence si on travaille avec des coefficients dans un anneau A, alors la matrice M est inversible dans l'anneau matriciel à coefficients dans A si et seulement si le scalaire det(M) est inversible dans l'anneau A. Par exemple les matrices inversibles sur sont précisément celles dont le déterminant est 1 ou -1.

Exercice :  Démontrer que  com  est compatible avec la multiplication matricielle,

com(I) = I      et      com(MN) = com(M) com(N).

Voici un petit exercice d'algèbre linéaire :

Soit A une matrice symétrique n×n à coefficients entiers et de déterminant nul. On note A_j la matrice (n-1)×(n-1) obtenue à partir de A en supprimant la j-ième ligne et la j-ième colonne. Soient i,j dans {1,...,n}. Le nombre det(A_iA_j) est-il un nombre carré?

Après le grand succès de son dernier avis de recherche en algèbre linéaire mon collègue mathématicien Laurent Kaczmarek nous propose un nouvel exercice sympa sur les matrices.

Soit A une matrice carrée d'ordre n. Montrer que son commutant (le sous-espace vectoriel des matrices qui commutent avec A) est de dimension supérieure ou égale à n.

Etudes dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

Comment trouver l'amour de sa vie ? Comment se caser ? Comment former un bon couple ? Ce type de questions préoccupe beaucoup de gens. Voici une version matheux de ce problème fondamentale.

Le problème de mariage ou le problème de former les bons couples

Supposons que nous avons n femmes et n hommes, tous célibataires et prêts à se marier ; pour tout entier k dans [1,n] et tout choix de k femmes, l'ensemble des hommes qui sont aimés par au moins une de ces femmes contient au moins k éléments.
Démontrer qu'on peut organiser des mariages tels que chaque femme se marie avec un époux qu'elle aime.

Après les maths et la musique et les maths du côté de chez Proust voici les mathématiques dans un roman.

A l'occasion de la journée mondiale de la femme le bloggeur El Jj a dédié un billet aux mathématiciennes. Ca m'a donné l'idée de parler d'un grand romancier qui rend hommage à sa femme mathématicienne en décrivant son incompréhension devant la science qu'elle étudie. Il s'agit de Thomas Mann (lauréat du prix Nobel de littérature en 1929) ; lorsque Mann rencontra sa future épouse Katia Pringsheim, celle-ci était étudiante en mathématiques (plus tard elle abondonnera cette voie pour se consacrer à leurs six enfants).

Dans le roman Königliche Hoheit (Altesse Royale, 1909) Thomas Mann dépeint comment il a conquis le cœur de Katia à travers deux personnages : le protagoniste Klaus Heinrich et l'étudiante en mathématiques, Imma Spoelmann. Voici un extrait que je trouve très amusant :

[...]
— Non, dit-il, aujourd'hui vous ne ferez pas d'algèbre, mademoiselle Imma, vous ne jouerez pas dans les espaces au-dessus de l'atmosphère, comme vous dites ! Regardez donc le soleil !... Vous permettez...? Il s'avança vers la petite table et prit en main le cahier de cours. Ce qu'il vit était ahurissant. En une écriture embrouillée, d'une épaisseur enfantine, qui laissait reconnaître la tenue de porte-plume propre à Imma Spoelmann, une fantaisie abracadabrante, un sabbat du runes entrecroisées couvrait les pages. Des signes d'écriture grecque se mariaient avec des caractères latins et des chiffres placés à différentes hauteurs, entremêlés de croix et de traits, alignés au-dessous ou au-dessus de lignes horizontales, à la manière des fractions, surmontés d'autres lignes qui formaient comme une tente, égalisés par de petits traits doubles, encadrés de rondes parenthèses, et réunis par des crochets carrés en grandes formules massives.
Des lettres isolées, placées en avant comme des sentinelles, se détachaient à droite, en haut des groupes enclavés. Des signes cabalistiques, complètement incompréhensibles au profane, entouraient de leurs bras les lettres et les nombres, tandis que des fractions les précédaient et qu'au-dessus d'eux, à la tête et aux pieds, planaient des nombres et des lettres. Des syllabes bizarres, abréviations de paroles mystérieuses étaient semées partout, et entre les colonnes nécromantiques, étaient écrites des phrases et des remarques en langage ordinaire, dont le sens dépassait tellement les choses humaines qu'on pouvait les lire sans en comprendre un mot, comme une incantation.

Klaus Heinrich leva les yeux sur la petite silhouette qui se tenait auprès de lui en robe chatoyante, drapée dans le voile noir de ses cheveux et regarda la petite tête exotique dans laquelle tout cela avait un sens et prenait une vie sublime et facile. Et voilà donc les arts impies, dit-il, qui vous feraient négliger cette belle matinée ?
[...]

Ca se passait il y a plus de cent ans. A cette époque il était encore exceptionnel de voir une jeune femme entamer des études supérieures, voire les maths — et ça a dû impressionner quelqu'un comme Thomas Mann qui n'a même pas passé son baccaluréat !

Si Katia a choisi de faire les études de mathématiques ce n'était certainement pas un hasard. En effet le père de Katia était Alfred Pringsheim, professeur de mathématiques à l'université de Munich. Même s'il n'est pas aussi illustre que son contemporain et collègue munichois Lindemann (qui est passé à la postérité pour sa démonstration de la transcendance de ), nous rencontrons encore aujourd'hui le nom Pringsheim sur certains travaux au sujet des séries et des fonctions analytiques.
D'ailleurs Thomas Mann au aussi éternisé son beau-père dans ce roman car le père du personnage fictif Imma Spoelmann porte les traits physiques et caractérielles d'Alfred Pringsheim. En revanche, dans le roman il n'est pas mathématicien mais simplement un homme très riche ce que Pringsheim, fils d'industriels prospères, était aussi dans la vraie vie.

On demande à plusieurs scientifiques : "Combien vaut pi ?"
L'ingénieur répond : "C'est approximativement 3 et 1/7."
Le physicien dit : "C'est 3,14159"
Le mathématicien réfléchit un instant et répond : "C'est égal à pi".

Un mathématicien et un ingénieur assistent à la conférence d'un éminent physicien concernant les théories de Kaluza-Klein sur les processus physiques intervenant dans les espaces de dimension 9.
Le mathématicien est assis et apprécie beaucoup la conférence, pendant que l'ingénieur fronce les sourcils et semble complètement embrouillé. A la fin, le mathématicien et l'ingénieur, qui a un énorme mal de crâne, commentent la conférence.
L'ingénieur : "Comment fais-tu pour comprendre tout cela ?"
Le mathématicien : "Il suffit de visualiser le processus."
L'ingénieur : "Mais comment peux-tu visualiser un processus intervenant dans un espace de dimension 9 ???"
Le mathématicien : "C'est simple. D'abord tu visualises le processus en dimension n, et ensuite il suffit de prendre n=9."

Un biologiste, un physicien et un mathématicien sont assis à la terrasse d'un café et regardent les passants. De l'autre côté de la rue, ils voient un homme et une femme entrer dans un immeuble. 10 minutes plus tard, ils ressortent avec une troisième personne.
 — Ils se sont multipliés, dit le biologiste.
 — Oh non, une erreur de mesure, s'écrie le physicien.
 — S'il rentre exactement une personne dans l'immeuble, il sera de nouveau vide, conclut le mathématicien.

Un mathématicien, un physicien et un ingénieur voyagent à travers l'Ecosse et voient un mouton noir par la fenêtre du train.
"Aha," dit l'ingénieur, "je vois que les moutons écossais sont noirs."
"Hmm," dit le physicien, "tu veux dire que certains moutons écossais sont noirs."
"Non," dit le mathématicien, "tout ce qu'on sait est qu'il y a au moins un mouton en Ecosse, et qu'au moins un côté de ce mouton est noir !"