Mon dernier billet où on parlait de racines multiples de polynômes m'a rappelé quelques souvenirs de notions que j'avais apprises pendant ma maîtrise.

Le résultant de deux polynômes

Considérons deux polynômes

La proposition suivante est la raison d'être du résultant.

Proposition. On a R(P,Q)=0 si et seulement si P et Q possèdent un diviseur commun non-constant.

Le discriminant d'un polynôme

Dans le cas où Q est la dérivée de P le résultant porte un nom particulier : on appelle R(P,P') le discriminant de P. La proposition ci-dessus implique le corollaire ci-dessous.

Corollaire. Un polynôme complexe admet une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul.

Testons au moins la véracité de ce corollaire sur les polynômes de second degré (que les profs de lycée appellent trinômes) !

Nous retrouvons ainsi le fait, connu par tout lycéen en classe première S, que le polynôme de second degré aX²+bX+c possède une racine double si et seulement si b²-4ac=0.

Groupe fondamental du complémentaire du lieu discriminant

Maintenant revenons au niveau maîtrise (des nos jours master ou encore magistère...) pour poser les deux questions suivantes. Dans l'espace on appelle lieu discriminant le sous-ensemble formé des tels que le polynôme

1. Montrer que est connexe par arcs.
2. Quel est le groupe fondamental de  ? Le décrire par générateurs et relations.

Les réponses sont plutôt faciles ; pour la deuxième question, pas la peine de tout formaliser, le handwaving suffit car dans cet exemple le formalisme ne donne rien en valeur ajoutée...

Comment trouver l'amour de sa vie ? Comment se caser ? Comment former un bon couple ? Ce type de questions préoccupe beaucoup de gens. Voici une version matheux de ce problème fondamentale.

Le problème de mariage ou le problème de former les bons couples

Supposons que nous avons n femmes et n hommes, tous célibataires et prêts à se marier ; pour tout entier k dans [1,n] et tout choix de k femmes, l'ensemble des hommes qui sont aimés par au moins une de ces femmes contient au moins k éléments.
Démontrer qu'on peut organiser des mariages tels que chaque femme se marie avec un époux qu'elle aime.

Récemment j'ai regardé, comme tout bloggeur qui se respecte, les statistiques de ce blog MathOMan. J'étais curieux de savoir de quels pays viennent mes visiteurs et via quelles pages web intermédiaires ou grâce à quels mots clé ils arrivent sur mon site.

Pour les non-initiés : un mot-clé (en anglais keyword) est un mot ou une combinaison de mots que vous rentrez dans un moteur de recherche.

La majorité des visiteurs de ce blog viennent de la France, du Canada et des pays francophones d'Afrique. En regardant de plus près dans Network Location j'ai pu constater que le Ministère de l'éducation nationale rend visite à MathOMan presque tous les jours ouvrés de la semaine. Je suppose qu'il s'agit là d'une procédure standard visée à vérifier que les enseignants n'écrivent pas trop de bêtises sur leurs blogs.

Les mots clés les plus fréquemment cherchés par les internautes arrivés sur MathOMan concernent les mathématiques élémentaires, comme par exemple :

• comment trouver le centre d'un cercle
• comment calculer un pourcentage
• calculer une circonférence
• algebre pour les nuls

Pour que ces gens ne restent plus sur leur faim ici, je vais ouvrir prochainement une nouvelle catégorie de billets intitulée Les Maths pour les Nuls !

Evidemment il y a actuellement beaucoup de recherches du mot clé "sujet de bac mathématiques". D'autres mots clé sont très amusants, pour diverses raisons, soit par leur combinaisons insolites, soit par le côté existentiel (comme le no.4 ci-dessous), soit par l'impossibilité de trouver une réponse à cette question (comme le no.5) :

1. blog ennuyeux
2. comment etre elégante en classe
3. pourquoi pas de belle fille en math spé
4. faire des math ou pas
5. comment trouver le centre d'un cercle juste avec un compas
6. comment faire un piege a oiseau qui marche
7. piege a oiseaux sans piege
8. thèse doctorat reggae
9. ils ne comprennent rien il n'apprennent jamais
10. combien en fraction le nombre de gens qui parlent existent ?
11. comment resoudre une equation du premier degre sans pi
12. jean dieudonné: quelle distance a-t-il parcouru ?
13. apprendre beaucoup en peu de temps
14. bien gerer son bac avec humour
15. komen reusir le bac san travailé
16. avec quelle musique faire des maths ?
17. comment etre un bon eleve dans la classe
18. comment calculer comment sa nous prend pour passer avec un pourcentage
19. insecte laid qui ressemble a une fourmi transparent
20. je veux qu'on me calcule cet exercice
21. comment faire une opération de transformation un homme en une femme
22. peut on réapprendre les maths à quarante ans
23. qui fait les math à ma place
24. demontrer de fausses égalités mathématiques
25. elle est ferme
26. image filles sur canapé
27. colloque proust contrepeterie
28. les étudiants ne savent plus faire une équation
29. exercice pour avoir le prix nobel en maths
30. apres combien de temps un chien oublie son maitre
31. comment tracer une droites concourantes
32. apprendre la corégraphie de nobody's perfect
33. je suis aller au collège cette année, un jour, malheureusement, nous avons un problème dans le français le plus de mes leçons que nous ne comprenons pas ce que je dois faire des contrôles
34. combien de temp deux chien son coller après avoir fait l'amour
35. comment trouver le mot je t'aime en math
36. comment être une fille amusante
37. comment aimer son mari
38. maths et masturbation
39. extrait x les petit nin avec femme
40. femme qui fait l'amour avec un chien
41. anssienne metode de multiplication
42. alain conne salaire
43. les 3 connes streaming
44. comment écrire (a+b)² sous la forme d'un produit de deux facteurs
45. franque du bosque
46. ou faire virifier c'est fiche de paye

Je lance un défi aux lecteurs de ce blog : trouvez les réponses les plus insolite à ces questions !

Un joli exercice de géométrie

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Autres exemples

• calcul de prix
• calcul de prix
• calcul de prix
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

Ajourd'hui quelques lignes pour illustrer que le cerveau n'est pas le seul organe actif des matheux...

• Les topologistes le font discrètement.
• Les topologistes le font de manière ouverte.
• Les topologistes le font avec du caoutchouc.
• Les couples de topologistes le font en se rendant connexes.
• (les logiciens le font) ou NON (les logiciens le font).
• Les algébristes le font en groupe ou en anneau.
• Les algébristes le font avec leur corps.
• Les algébristes le font associativement.
• Les algébristes le font en s'inversant.
• Les algébristes le font en se multipliant.
• Les analystes le font continûment.
• Les analystes le font sur un support compact.
• Les experts en théorie de la mesure le font presque partout.
• Les experts en équations différentielles le font suivant les conditions initiales.
• Les experts en théorie des ensembles le font avec application.
• Les experts en combinatoire le font de toutes les manières possibles.
• Les mathématiciens le font une infinité de fois s'il peuvent le faire une fois et ensuite une fois de plus.

• Cantor le faisait en diagonale.
• Fermat essayait de le faire dans la marge mais n'avait pas assez de place.
• Galois l'a fait la nuit juste avant.
• Möbius le faisait toujours du même côté.
• Klein l'avait simultanément dedans et dehors.
• Cauchy le faisait avec un ami (Schwarz, Lipschitz, Riemann).
• Markov le faisait à la chaîne.
• Archimède le faisait dans sa baignoire.
• Newton tomba dans les pommes.
• Bourbaki le faisait dans un cas particulier du théorème 10.2.5 en utilisant subtilement le lemme 7.3.2.

Deux contrepèteries

• Nul n'est jamais assez fort pour ce calcul !
• Mon prof de maths a montré Bézout.

Une réciproque
The duchess: "Excuse me that I am late, but I was so fucking busy and vice versa."

Recommandation bibilographique : Ces blagues m'ont été envoyées par email au fil des années. Mais il existe même des livres sur ce sujet. Le lecteur qui souhaite s'y approfondir se plonger avec profit dans l'ouvrage de référence Je fais des maths comme un(e) cochon(ne) de Gérard-Olivier Maitry publié en 2008.

• Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
• trouver le milieu entre deux points,
• trouver la bissectrice d'un angle,
• placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
• trouver le centre d'un cercle,
• former un angle droit,
• placer l'intersection de trois droites concourantes.

Ce matin en TP Maple je voulais coder une chose qui semble toute anodine : créer le liste des fonctions x —> sin(kx) où k=0,..,100. Il est facile de créer la liste des expressions sin(kx) où k=0,..,100, et dans les cas pratiques on peut se débrouiller avec ça. Mais créer la liste de ces fonctions ne semble pas aussi simple. Est-ce que par hasard un de mes lecteurs sait comment s'y prendre?

• Multiplication posée du bon élève.




 

• Méthode du cancre.
 




Mode d'emploi : A gauche on prend toujours la moitié en arrondissant, s'il le faut, vers le bas ; à droite on prend toujours le double. Puis on supprime les lignes (en noir) dont le nombre gauche est pair et à droite on additionne les lignes restantes (en rouge).
 
 

• Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).
On sépare chaque facteur en deux parties

puis on effectue les multiplications suivantes :



Le résultat est ensuite

1. Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
2. Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
3. Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
4. En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

Et pour finir avec la même espèce animal voici un très beau dessin connexe (dessiné d'un seul trait) par un artiste de Vanuatu (république en Océanie), spécialisé en dessins de sable. Il part d'une simple grille de référence, donc avec un cahier d'école on devrait pouvoir y arriver... Tout le monde peut s'y entraîner durant des leçons ou séminaires ennuyeux (-;