Noël est le temps des casse-noisettes, non des casse-têtes pour mes amis les matheux. Voici une égalité :

Le but est de démontrer qu'elle est vraie pour tout entier n strictement positif. Comme d'habitude en maths c'est la dévise short is beautiful, c'est-à-dire il faut trouver une solution courte et élégante, sans avoir beaucoup de calcul à faire. On pourra s'inspirer de l'image d'un père noël ayant des cadeaux à distribuer dans des chaussettes...

Comme l'espérance semble à la mode aujourd'hui, voici un autre problème de proba.

On dispose d'une infinité de bâtons de longueur un mètre. On prend le premier, on le casse en deux pièces, le point de cassure étant au hasard. On choisit au hasard l'une des deux pièces, on la garde et on jette l'autre. Puis on fait la même chose avec le deuxième bâton, puis le troisième, etc. En moyenne, combien de bâtons doit-on casser pour que les pièces gardées font une longueur cumulée d'au moins un mètre?

Vous achetez une moquette pour couvrir le sol d'une pièce qui fait 9m x 12m. Le vendeur vous donne deux morceaux, 10m x 10m et 1m x 8m.
Vous protestez: "La superficie totale est bien celle de ma chambre mais ce ne sont pas les bonnes tailles!"
Le vendeur: "Je vous rassure, il suffit de couper le grand morceau en deux, ensuite vos trois morceaux rentreront parfaitement.''
Mais arrivé à la maison vous avez du mal à suivre le conseil du vendeur — et pourtant c'est possible! Quelle coupe faut-il faire?



Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

Vous avez douze boules d'or qui se ressemblent. Elles ont exactement le même poids à l'exception d'une qui est une imitation, et vous ne savez pas si elle est plus lourde ou plus légère que les vraies boules d'or.

Vous disposez d'une simple balance à plateaux. Est-il possible d'isoler avec trois pesées la fausse boule et de déterminer en même temps sa nature (plus lourde ou plus légère)?



Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

J'ai acheté le numéro 391 du magazine Pour la Science (mai 2010) car il y a un article sur l'harmonie musicale. Je suis plutôt déçu de cet article (j'écrirai une autre fois pourquoi), et finalement c'est un autre, même pas mentionné sur la couverture, que je trouve beaucoup plus intéressant : Les parasites manipulateurs de F. Thomas et F. Libersat. Par exemple, un certain ver parasite influence le comportement de son hôte, une petite crevette, par des sécrétions chimiques de sorte que la crevette nage en surface au lieu de se cacher sous l'eau ; la crevette devient ainsi plus facilement proie des oiseux et ça convient au ver qui peut alors poursuivre son cycle de vie dans ce nouvel hôte plus grand.
Je vous recommande la lecture de cet article, il y a plein d'autres exemples surprenants.

A ce sujet un petit exercice de prédateur-proie (la similitude s'arrête là car il n'a rien à faire avec des questions de comportements ou de manipulation).

Casse-tête : Une mouche et deux araignées se déplacent sur les arêtes d'une cube. Toutes les trois se voient et ont la même vitesse constante. Prouver que les araignées finiront par attraper la mouche.

Dans la solution que j'ai trouvée je suppose que le temps de réaction de chaque animal est nul et qu'à tout moment l'animal peut changer de direction de mouvement. J'ignore si l'énoncé reste vrai sans ces hypothèses.

Pour me rendre à vélo depuis le 11e arrondissement de Paris (et oui, cette chanson existe même dans ma langue !) jusqu'à la fac de Versailles j'essaye beaucoup de parcours différents. Autrement dit je pratique une sorte de calcul de variations pour trouver le chemin optimal. Ce n'était pas évident de faire un bon compromis entre plusieurs minimisations simultanées : le chemin le plus court, le chemin avec le moins de voitures et le chemin avec le moins de dénivelé...

L'un des parcours que j'ai testés passe devant un bâtiment abandonné à Meudon. Il est délabré, ses fenêtres sont pleines de graffiti et il y a déjà un panneau permis de démolir planté devant. Je me suis arrêté pour en prendre quelques photos. Pour savoir de quel immeuble il s'agit cliquez sur la deuxième image !

Meudon — immeuble prêt à casser... (cliquez sur la deuxième image)

C'est l'occasion pour féliciter mon ami Achim à Grenoble qui vient de soutenir son habilitation, probablement dans le but de quitter cette institution au futur incertain pour devenir professeur universitaire ;-)