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Calculer la moyenne d'une fonction


Approximation d'une intégrale

Par Mathoman, mercredi 16 juin 2010 à 19:39 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Un ami m'a envoyé une belle collection d'exercices dont je parlerai bientôt sur ce blog (c'est ici). L'une des questions est simplement :

Calculer la moyenne de sin100(x) avec une précision de 10%.

Je suppose qu'il faut comprendre calculer la moyenne sur un intervalle de période (par exemple entre 0 et pi).
Selon l'auteur de cette liste de problèmes, un étudiant qui ne sait pas faire cet exercice en cinq minutes n'aurait aucune maîtrise des mathématiques... Qu'en est-il de vous ? :-)

Et pour rallonger un peu ce billet, voici deux belles phrases.

Algebriquement parlant, Mr M. est execrable, mais Mr G. est (x+1)ecrable.
— Edgar Alan Poe
Même le nombre le plus fort a besoin des nuls : 100000000.
— Zarko Petan

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Pourquoi ne pas lire aussi :


Germe de fonction infiniment dérivable

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Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd'hui lors d'une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point :

Existe-t-il une fonction f de classe \mathcal{C}^\infty telle que pour tout naturel n,

f^{(n)}(0)=n^{n^n}\;\;?

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Multiplicateurs de Lagrange

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En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x1, ... ,xn sous m contraintes données par g1(x1,...,xn)=0, ... , gm(x1,...,xn)=0, alors il existe des réels λ1, ... ,λm tels que

grad f(P) = λ1 grad g1(P) + ··· + λm grad gm(P).

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

  • n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.

  • n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g1 et g2 en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g1(x,y,z) = g2(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm2, le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.

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A la casse

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Comme l'espérance semble à la mode aujourd'hui, voici un autre problème de proba.

On dispose d'une infinité de bâtons de longueur un mètre. On prend le premier, on le casse en deux pièces, le point de cassure étant au hasard. On choisit au hasard l'une des deux pièces, on la garde et on jette l'autre. Puis on fait la même chose avec le deuxième bâton, puis le troisième, etc. En moyenne, combien de bâtons doit-on casser pour que les pièces gardées font une longueur cumulée d'au moins un mètre?

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Une statistique sur les acquis d'élèves en terminale

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En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

Calculer un prix

Faux calcul de prix (erroné)

Calculer un prix (faux)

Calcul de prix (faux)

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

Calculer un pourcentage

Faux calcul de pourcentage

calculer un pourcentage (faux)

Calcul d'un pourcentage (faux)

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

déterminer l'équation d'une droite

déterminer l'équation d'une droite

trouver une équation de droite


EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

Résoudre correctement une équation de premier degré

Résoudre une équation de premier degré (faux)

Résoudre une équation de premier degré (faux)


SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Calculer avec une fraction double correctement

Comment ne pas calculer avec une fraction double

Calculer avec une fraction double (faux)


Autres exemples

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

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UVSQ - 2011/2012

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Sur cette page des remarques et documents destinés aux étudiants qui suivent mes cours et TD à l'UVSQ en 2011/2012.

Probabilités — L2 éco

  • Polycopié — Cours, exercices & corrigés (mise à jour le 05/02/2012)
    Il est possible que vous devez ré-actualiser la page (touche F5).
     
  • Exos à préparer pour la séance TD du 15 février : 3.4, 3.6, 3.7, 3.10, 3.12
     
  • Contrôle continu 1 : 22 février 2012 dans votre groupe de TD (carte d'étudiant)
    Le programme inclut la séance TD du 15 février
     
  • Contrôle continu 2 : 28 mars 2012 de 18h30 à 20h dans l'amphi 1 (carte d'étudiant)
    Le programme inclut la séance TD du 21 mars
     
  • Toute absence non-justifiée par un certificat médical donne lieu à la note 0.
    Note globale = (moyenne des notes de CC + note de partiel) / 2
    La note globale doit être au moins 10 pour que la matière soit validée.
    En session 2, la moyenne des notes de CC intervient seulement si elle est supérieure à la note du partiel session 2.

Préparation Capes — exercices corrigés

Théorie des groupes — L2 chimie

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Maths CM2

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Pourquoi le nombre \pi de la formule 2\pi R pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule \pi R^2 pour calculer la surface d'un disque ?

Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.

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Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

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A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et U_1,U_2,\,\dots\,,U_n un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert U_j soit f_j une fonction holomorphe injective telle que df_j=df_k sur toutes les intersections U_j\cap U_k. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par
\:f(z)=e^{1/z}=\sum_{k=0}^{\infty}\:\frac1{k!z^k}\;

est holomorphe sur \mathbb{C}\backslash0 et possède une singularité essentielle en 0. L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme f(z)\neq0 pour tout z\in\mathbb{C}\backslash0, cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe w\neq0 et pour tout \epsilon>0 il existe une infinité de nombres complexes z tels que 0<|z|<\epsilon et f(z)=w.

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul w et un \epsilon>0. Il existe alors deux réels r>0 et \varphi tels que
w=re^{i\varphi}.

Pour tout n \in \mathbb{N} posons u_n=\ln r+i(\varphi+2\pi n) et z_n=1/{u_n}. Alors \lim_{n\to\infty}z_n=0.
Ainsi on a on a
f(z_n)=e^{u_n}=e^{\ln r+i(\varphi+2\pi n)}=re^{i \varphi}=w.

Par conséquence, en prenant n assez grand, on voit que w possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé 0<\,|z|\,<\epsilon.

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
 
g(z)=\sum_{p \in P}^{}\frac{1}{p!z^p}.

On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

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Revisitons la multiplication !

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Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.
  • Multiplication posée du bon élève.

    • Multiplication posée de deux nombres, comment calculer le produit de deux nombres


     
  • Méthode du cancre.
    •  

    Comment multiplier deux nombres, méthode des paresseux

    Mode d'emploi : A gauche on prend toujours la moitié en arrondissant, s'il le faut, vers le bas ; à droite on prend toujours le double. Puis on supprime les lignes (en noir) dont le nombre gauche est pair et à droite on additionne les lignes restantes (en rouge).
     
     
  • Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).
    • On sépare chaque facteur en deux parties
    Multiplication selon Karatsuba
    puis on effectue les multiplications suivantes :

    Algorithme pour la multiplication de Karatsuba

    Le résultat est ensuite
    Trouver le produit de deux nombres entiers
Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
 
Questions
  1. Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
  2. Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
  3. Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
  4. En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.
Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

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Exercice d'arithmétique

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Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol'd et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la plupart à JLT). Le voilà, dans un billet à lui tout seul !

Exercice de PB : calculer la signature de la (multiplication par 541 modulo 1223).

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L'application comatrice

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Le cofacteur d'indice (j,k) d'une matrice carrée A est (-1)^{k+j}\det(A_{kj}) où A_{kj} désigne la matrice qu'on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors A_{kj} est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)

A_{kj}= \begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} \\\vdots & & \vdots & \vdots& &\vdots\\ a_{k-1,1} & \dots & a_{k-1,j-1}& a_{k-1,j+1}& \dots & a_{k-1,n} \\ a_{k+1,1} & \dots & a_{k+1,j-1}& a_{k+1,j+1}& \dots & a_{k+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & a_{n,n}\end{pmatrix}\;.

La matrice des cofacteurs de A, s'appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,

\text{com}(A) = \left((-1)^{k+j}\det(A_{kj})\right)_{1\leq k,j\leq n}

Petit exercice :  la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire GL(n,\mathbb{R}) sur lui-même ? Et de GL(n,\mathbb{C}) sur lui-même ?

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