Une calculatrice en ligne
Par Mathoman, dimanche 21 juin 2009 à 12:05 - Apprendre les maths - Tags
Il peut arriver en plein dimanche, quand tous les magasins sont fermés, qu'on doit effectuer un calcul avec la calculatrice, mais les piles de celle-ci sont vides. Pas de panique, il existe une
qui permet de faire les calculs de base et avec des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmes. (Mais elle ne possède pas la possibilité de dessiner des graphes.)
L'abus de calculatrice nuit gravement aux cerveaux des jeunes qui
ne veulent pas apprendre leur table de multiplication !
LES ZROFS - Le calcul mental
Pourquoi ne pas lire aussi :
Le problème avec la ligne téléphonique occupée
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Souvent lorsqu'on veut joindre un bureau administratif par téléphone, c'est occupé. On se dit alors : avant d'essayer à nouveau vaut mieux que j'attende quelques minutes pour que la ligne téléphonique se libère.
Mais est-ce vraiment une bonne stratégie ? Pourquoi attendre quelques minutes et ne pas rappeler toute de suite ou après quelques secondes seulement ? La probabilité que le téléphone sonne occupé dans le futur, ne devrait-elle pas être indépendante de l'état actuel de la ligne ? (En effet, rien ne permet de savoir si l'appel qui occupe la ligne est à son début ou à sa fin.)
Qu'en pensez-vous ?
On suppose ici (de manière très optimiste, je l'avoue) que le personnel du bureau décroche le téléphone à chaque fois qu'il sonne. En plus, on suppose que je n'ai pas d'influence sur les autres personnes susceptibles d'appeler et qu'il s'agit d'une ligne de téléphone à l'ancienne, c'est-à-dire sans boîte vocale active ou possibilité de recevoir de double appels.
Somme de certains déterminants
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A chaque nombre naturel avec n2 chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n2 chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)
Approximation d'une intégrale
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Un ami m'a envoyé une belle collection d'exercices dont je parlerai bientôt sur ce blog. L'une des questions est simplement :
Calculer la moyenne de sin100(x) avec une précision de 10%.
Je suppose qu'il faut comprendre calculer la moyenne sur un intervalle de période (par exemple entre 0 et pi)
.
Selon l'auteur de cette liste de problèmes, un étudiant qui ne sait pas faire cet exercice en cinq minutes n'aurait aucune maîtrise des mathématiques... Qu'en est-il de vous ? :-)
Et pour rallonger un peu ce billet, voici deux belles phrases.
Algebriquement parlant, Mr M. est execrable, mais Mr G. est (x+1)ecrable.
— Edgar Alan Poe
Même le nombre le plus fort a besoin des nuls : 100000000.
— Zarko Petan
WolframAlpha : Recherche de mots et de maths à la fois
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Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.
Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de
On peut entrer des combinaisons de mots et d'expressions mathématiques, comme par exemple
integral log(sin(x))ce qui donne une primitive de la fonction ainsi que des graphiques à variable complexe, etc. On peut également faire une recherche avec des mots seuls comme
Weierstrass function
En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !
Une statistique sur les acquis d'élèves en terminale
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En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.
L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.
Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.
En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).
CALCUL D'UN PRIX 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%




CALCUL DE POURCENTAGE 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%




TROUVER UNE EQUATION DE DROITE 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%



EQUATION DE PREMIER DEGRE 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%



SIMPLIFIER UNE FRACTION 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable



Autres exemples
- calcul de prix
- calcul de prix
- calcul de prix
- simplification d'une fraction
- simplification d'une fraction
- simplification d'une fraction
- simplification d'une fraction
Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.
Maths CM2
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Pourquoi le nombre
de la formule
pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule
pour calculer la surface d'un disque ?
Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.
Perelman surprend de nouveau la communauté scientifique
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Grande surprise : le mathématicien russe Grigori Perelman vient d'annoncer que sa preuve de la conjecture de Poincaré, publiée en novembre 2002 sur ArXiv (revue scientifique en ligne sans comité de lecture), est fausse. Apparemment Perelman le savait tout le temps et attendait que quelqu'un trouve l'erreur ! Maintenant il se moque de toute la communauté mathématique, qui pendant six ans était incapable de vérifier les subtilités de sa (fausse) démonstration. Aujourd'hui il va même plus loin et propose un contre-exemple à la conjecture de Poincaré ; en fait ce contre-exemple (à vérifier scrupuleusement...) est en dimension 22 et Perelman a des pistes pour la construction de contre-exemples en toute dimension supérieure.
Il semble que cette fois, pour son travail destructeur, le chercheur russe ne réfuse plus d'être récompensé :
"Mathematicians are so easily baffled now I want the Fields medal and the money, even if I'm too old for it!"
Vous pouvez lire l'entretien complet avec cet homme d'exception ici.
Revisitons la multiplication !
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- Multiplication posée du bon élève.
- Méthode du cancre.
- Méthode de Karatsuba (publiée en 1962). On sépare chaque facteur en deux parties





L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
Questions
- Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
- Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
- Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
- En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.
Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie elle s'appelle donc la multiplication chinoise !
L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.
L'application comatrice
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Le cofacteur d'indice (j,k) d'une matrice carrée A est
où
désigne la matrice qu'on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors
est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)

La matrice des cofacteurs de A, s'appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,

Petit exercice : la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire
sur lui-même ? Et de
sur lui-même ?
Einstein a écrit
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Le Musée de l'histoire de la science à Oxford possède une collection de tableaux noirs qu'on a oublié d'effacer. Comme par exemple celui-ci d'Albert Einstein :
Je suis touché par l'écriture un peu infantil de ce grand génie.
Malheureusement je ne comprends pas grande chose de ce qu'il a noté... Et pourquoi d'une ligne à l'autre la fraction
change-t-elle en
? Peut-être un physicien peut nous éclairer !


