Vous avez un troupeau de 101 vaches vérifiant l'hypothèse suivante : chaque fois que vous prenez 100 vaches parmi elles il est possible de les séparer en deux parties de 50 vaches telle que les deux parties ont le même poids.
Démontrez que toutes les 101 vaches ont le même poids.

D'ailleurs, pour ceux qui se sont posés la question : le poids d'une vache (Bos primigenius taurus) se situe entre 500 et 800 kg, et celui d'un taureau peut atteindre 1200 kg. Evidemment cela n'a pas d'importance pour l'exercice.

Et comme je n'aime pas les billet trop courts, voici un autre exercice (indépendant du premier). Retrouvez les neuf mathématiciens célèbres cachés dans la phrase suivante :

Quand t’auras fini de classer des cartes et de les ranger, coche ici et ferme à clef la grange : la dernière fois t’as laissé tout ouvert, et les chats l’ont saccagée et ont volé des poissons.

Notre ami bloggeur PB a raison de se plaindre sur le niveau d'orthographe des bacheliers qui sortent des lycées de nos jours. Je trouve très souvent dans leurs rédactions en colles des choses comme ce therme en x² est... Le traitement de l'h par les jeunes est vraiment stupéfiant !

L’Arithmétique, c’est comme l’amour : ça commence par un Bezout et ça finit par un Gauss...

Tout bon matheux aime changer les maths !

1. Quel célèbre personnage se cache derrière ln(3) ?
2. exp et log font un concours de peinture. Qui gagne ?
3. exp et ln vont au restaurant. Qui paye l’addition ?
4. Monsieur Dehun et Madame Egalzéro ont une fille, comment l’appellent-ils ?

Attention, étudiants et élèves ! Respectez votre professeur de mathématiques. Peut-être derrière cette personne grise et austère il se cache un personnage très surpenant... En tout cas, conscience professionnelle oblige, j'irai voir ce film :

Le nouveau film avec Franck Dubosc. Sortie aujourd'hui

La sortie du deuxième volet de la trilogie est prévue pour l'année prochaine :

Mathohulk avant de reléver un segment compact

La question suivante est certainement dans le goût de certains lecteurs du blog, un typique petit problème sur lequel nous matheux aimons perdre notre temps...

Tout point de l'espace (trois dimensions) est coloré avec une de cinq couleurs, et toutes ces cinq couleurs interviennent. Montrer qu'il existe un plan contenant au moins quatre couleurs.

Comment trouver l'amour de sa vie ? Comment se caser ? Comment former un bon couple ? Ce type de questions préoccupe beaucoup de gens. Voici une version matheux de ce problème fondamentale.

Le problème de mariage ou le problème de former les bons couples

Supposons que nous avons n femmes et n hommes, tous célibataires et prêts à se marier ; pour tout entier k dans [1,n] et tout choix de k femmes, l'ensemble des hommes qui sont aimés par au moins une de ces femmes contient au moins k éléments.
Démontrer qu'on peut organiser des mariages tels que chaque femme se marie avec un époux qu'elle aime.

Ajourd'hui quelques lignes pour illustrer que le cerveau n'est pas le seul organe actif des matheux...

Comment "le font"-ils ?

• Les topologistes le font discrètement.
• Les topologistes le font de manière ouverte.
• Les topologistes le font avec du caoutchouc.
• Les couples de topologistes le font en se rendant connexes.
• (les logiciens le font) ou NON (les logiciens le font).
• Les algébristes le font en groupe ou en anneau.
• Les algébristes le font avec leur corps.
• Les algébristes le font associativement.
• Les algébristes le font en s'inversant.
• Les algébristes le font en se multipliant.
• Les analystes le font continûment.
• Les analystes le font sur un support compact.
• Les experts en théorie de la mesure le font presque partout.
• Les experts en équations différentielles le font suivant les conditions initiales.
• Les experts en théorie des ensembles le font avec application.
• Les experts en combinatoire le font de toutes les manières possibles.
• Les mathématiciens le font une infinité de fois s'il peuvent le faire une fois et ensuite une fois de plus.

Comment "le faisaient" les grands ?

• Cantor le faisait en diagonale.
• Fermat essayait de le faire dans la marge mais n'avait pas assez de place.
• Galois l'a fait la nuit juste avant.
• Möbius le faisait toujours du même côté.
• Klein l'avait simultanément dedans et dehors.
• Cauchy le faisait avec un ami (Schwarz, Lipschitz, Riemann).
• Markov le faisait à la chaîne.
• Archimède le faisait dans sa baignoire.
• Newton tomba dans les pommes.
• Bourbaki le faisait dans un cas particulier du théorème 10.2.5 en utilisant subtilement le lemme 7.3.2.

Deux contrepèteries

• Nul n'est jamais assez fort pour ce calcul !
• Mon prof de maths a montré Bézout.

Une réciproque
The duchess: "Excuse me that I am late, but I was so fucking busy and vice versa."

Recommandation bibilographique : Ces blagues m'ont été envoyées par email au fil des années. Mais il existe même des livres sur ce sujet. Le lecteur qui souhaite s'y approfondir se plonger avec profit dans l'ouvrage de référence Je fais des maths comme un(e) cochon(ne) de Gérard-Olivier Maitry publié en 2008.

Noël est le temps des casse-noisettes, non des casse-têtes pour mes amis les matheux. Voici une égalité :

Le but est de démontrer qu'elle est vraie pour tout entier n strictement positif. Comme d'habitude en maths c'est la dévise short is beautiful, c'est-à-dire il faut trouver une solution courte et élégante, sans avoir beaucoup de calcul à faire. On pourra s'inspirer de l'image d'un père noël ayant des cadeaux à distribuer dans des chaussettes...

Les maths et les échecs vont bien ensemble. Enfin c'est ce que beaucoup de gens pensent, mais si on regarde de plus près je pense que parmi les matheux il n'y en a pas beaucoup plus de joueurs d'échecs sérieux que parmi d'autres professions (c'est une conjecture de ma part, à confirmer...). Personnellement je ne joue presque jamais aux échecs, je n'en ai même pas un jeu à la maison, mais mon grand-père était un excellent joueur, champion de sa ville qui gagnait d'impressionnantes parties simultanées où il passait entre vingt tables différentes.

Evidemment un côté fascinant aujourd'hui pour les mathématiciens-informaticiens c'est de construire des machines qui gagnent contre les humains. Il n'existe qu'un nombre fini de parties d'échecs possibles, et ce fait joue en faveur des ordinateurs car il suffit d'y aller par la force brute et de stocker en mémoire toutes ces parties...

Voici un petit problème.

Combien de tours tri-dimensionnelles faut-il pour dominer un échiquier dans l'espace ?

Après quelques billets de maths, il est temps de polémiser un peu ;-) Voici un texte écrit par un collègue que j'ai rencontré recemment, Bertrand Rungaldier, professeur en PCSI au Lycée Janson-de-Sailly à Paris. On pourra le lire comme complément à l'article sur la désaffection des jeunes pour les filières scientifiques de Fabien Besnard.

Les Etats généraux des Mathématiques. Le constat est alarmant. Alors que le besoin de mathématiciens n’a jamais été aussi important, la France manque de mathématiciens ; pourquoi donc les jeunes scientifiques délaissent-ils les sciences dures et notamment les Mathématiques ? Ah, voilà une question qu’elle est bonne !!
Pour ce qui est de se poser la question, gageons qu’on va se la poser, mais pour ce qui est d’apporter un semblant de réponse…
Car les doctes qui se réunissent vont prendre soin de se mettre un bandeau noir sur les yeux, de se boucher les oreilles avec de la cire et de chausser des lunettes équipées de prismes pour ne surtout pas voir la réalité en face.

Car bien avant que de se poser la question « Pourquoi les jeunes scientifiques français rechignent-ils à devenir mathématicien ? » il conviendrait de se poser à soi même la simple question « Pourquoi moi-même, j’ai choisi de faire des Mathématiques ? »
Je fais ici le pari qu’on ne posera jamais cette question car si la question fâche, la réponse tue ! S’imagine-t-on vraiment que la réponse pourrait être « parce que les mathématiques c’est utile à la vie ! » ? Peuvent-ils vraiment croire une seule seconde qu’on choisit de se lancer dans une discipline de l’extrême, et les mathématiques pures en sont une à leur façon, parce que « ça sert » ? Ou parce qu’en tant que lycéen démocrate j’ai choisi de faire des Mathématiques citoyennes et de lutter contre les inégalités de convexité ou des accroissements finis !

NON ! On se lance dans de pareilles études aussi difficiles et sélectives parce qu’on a été ébloui, émerveillé par un cours, un professeur ou un devoir en classe ou à la maison. Parce qu’à cette occasion on a vu un feu d’artifice intellectuel de concepts et de raisonnements et qu’on a été frappé par la grâce comme Saül ou par une flèche de Cupidon mais en tous cas parce qu’on a trouvé ça beau.
Alors posons maintenant la question qui tue : Croyez vous vraiment messieurs les doctes que les programmes actuels aient de quoi toucher, émerveiller et éveiller des vocations ? Cela fait vingt ans que les programmes de lycée et de collège sont vidés de leur contenus pour, disent les Inspecteurs Généraux, inciter les élèves à « faire des études scientifiques ». Et depuis vingt ans que c’est le contraire qui se produit. Plus les programmes se vident et moins il y a d’élèves voulant devenir scientifique.

Tandis que nous abaissons, que dis-je, que nous aplatissons le niveau d’exigence l’Inde ou la Chine elles augmentent le leur. Et plus elles l’augmentent et plus il y a de candidats. Etonnant non ?
Dans les années 1970-80 il y avait à peine 25000 bacheliers C par an dont presque 10.000 se lançait dans les sciences dures. Aujourd’hui ce ne sont pas moins de 125.000 à 130.000 bacheliers déclarés « scientifiques » qui quittent le lycée, et alors… les amphithéâtres de Mathématiques se vident peu à peu. Voilà la réalité.
Tant qu’à faire, pourquoi ne pas organiser une grande « tombola scientifique » : « Devenez scientifique en participant à notre jeux concours ! » On pourrait ainsi décréter 200.000 jeunes gens scientifiques chaque année. Et en moins de 10 ans il n’y aurait plus du tout d’étudiants en sciences et cela permettrait de faire des économies.

On ne devient pas alpiniste en contemplant les steppes d’Asie centrales. On devient alpiniste en regardant des sommets couronnés de blanc avec le ciel bleu sombre au dessus et le soleil et qu’on se dit « Je veux monter la haut ! ». On ne devient pas pilote de catamarans de course au large en faisant du pédalo sur un étang « parce que c’est ludique », mais en regardant la mer, déchaînée, et qu’on est aspiré par l’immensité des forces de la nature.
On ne devient pas virtuose parce qu’on a téléchargé « Au clair de la lune » joué au tam-tam sur son portable, mais parce qu’on a écouté Czyfra jouer les Etudes d’Execution Transcendantes de Liszt ou Evgeni Kissin jouer l’Appassionata ou Glenn Gould jouer des partitas de Bach. Voilà qui motive et qui peut éveiller des vocations.

Alors quand on ouvre un livre de TS de mathématiques avec ses 450 pages de « Pour prendre un bon départ », « Un peu d’histoire », « Ce qu’il faut retenir », « L’Essentiel du cours », « Travaux Dirigés », « C’est nouveau au BAC », « A quoi ça sert ? », « Exercice corrigés », « Comment utiliser le cours », « Problèmes corrigés », « Réfléchissons », « Approfondir », et pourquoi pas « Mickey et les intégrales » ou « relie les points et devine où est caché Pluto » ; où l’on découvre par hasard trois pages d’un pseudo cours avec de vagues recettes sans la moindre démonstration rigoureuse (ça ne sert à rien or « Les Maths c’est utile ! »), sans définitions précises (parce que c’est trop abstrait), sans concept (parce que c’est « élitiste »), tout cela dans un déluge de bleu, de vert, de rouge, de jaune de photos et de dessins et bientôt sans doute des pages qui clignoteront et qui feront « pin-pon » quand on les ouvre ou bien qui téléchargeront un tube sur internet parce que « c’est plus motivant pour les élèves »… alors, si l’on a réussi à se retenir de pleurer on se dit qu’à moins d’avoir des parents eux-mêmes mathématiciens, un adolescent aujourd’hui n’a aucune chance d’être un jour un tant soit peu émerveillé par les Mathématiques.

450 pages de livre et misérablement 50 pages de cours quand j’avais 1200 pages de livre et 600 pages de cours le tout avec seulement 3 heures de mathématiques en plus. 50% d’horaire en plus mais dix fois plus de connaissance. Il y avait de quoi être motivé. Et quand on me rétorque « toi, oui mais moi je n’aimais pas vraiment les maths » je réponds « alors que faisais-tu en TC ? » et là silence !

Pourquoi moi, ai-je voulu faire des mathématiques ? Parce que j’ai été ébloui par un devoir sur le groupe des fonctions arithmétiques, parce qu’en fin de premier trimestre de Maths Sup j’ai pu m’acheter le livre Théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel. Et Pourquoi ? Croyez-vous que j’avais l’âme d’un matheux ? Peut-être… mais à coup sûr parce que j’avais des connaissances qui me permettaient de mettre le nez dedans et de trouver ça beau : extension de corps, anneau, quotient, idéal premier, maximal, anneau quotient, factorisation canonique j’en passe et des meilleurs. Toutes ces connaissances qui m’ont motivé qui m’ont ébloui (moi et sans nulle doute bien d’autres) un élève de prépa rentre aujourd’hui rue d’Ulm sans en avoir la moindre trace !

Comment s’étonner qu’il n’y ait plus d’étudiant en géométrie algébrique, LA spécialité française, alors qu’un étudiant arrive en L3 sans jamais avoir vu autre chose comme espace topologique que des « parties d’un evn » tandis que de mon coté, après deux mois de Maths Sup, j’avais déjà vu des points ouverts et le fait qu’un espace était séparé si et seulement si sa diagonale est fermée.
Croit-on que l’on va inciter des étudiants à faire de la cohomologie avec un programme d’algèbre linéaire qui stipule « l’accent devra être mis sur le calcul matriciel », chose utile mais tellement « bovine » qu’elle est justement utilisée dans les ordinateurs. Doit-on rappeler aux zigés qu’un cerveau n’est pas fait en silicium et que ce qui sert à l’un est très précisément ce qui démotive l’autre ?

La vacuité des programmes de Mathématiques de lycée n’a d’égale que celle du grand vide de la constellation d’Eridan. Les sinistres crétins de l’Inspection Générale ont été jusqu’à vouloir supprimer toute la géométrie dans les nouveaux programmes de seconde. Il a fallu un tollé de la part des professeurs pour que le reste d’un embryon de géométrie soit maintenu.
« Les cons, ça osent tout, c’est même à ça qu’on les reconnaît » dit le film, et bien on a osé inscrire au programme de PCSI l’algorithme d’Euclide des polynômes (qui est une horreur) alors que les notions de PGCD et de polynôme premiers entre eux (à quoi sert précisément cet algorithme) sont hors programme ! Bref, il y a à l’heure actuelle au programme un algorithme compliqué dont le résultat est hors programme. Bref, un algorithme qui officiellement ne sert à rien !

Les programmes sont aujourd’hui tellement stupides, tellement vides, tellement insipides que Laurent Lafforgue s’il les avait eu serait sans doute entré à Solesmes pour pouvoir fréquenter un peu l’infini qu’il a pu trouver dans les EGA et dans Grothendieck.
Il faut parler un minimum l’allemand si l’on veut apprécier celui de Goethe. On pourra faire tous les films et toutes les animations sur le sage de Weimar ce n’est pas comme cela qu’on motivera réellement des étudiants. Oh certes ils diront « c’était très intéressant » mais c’en restera là. Ce n’est pas ainsi qu’on les motivera pour étudier le Faust. C’est plutôt en leur donnant un minimum de vraies connaissances.

Tous ces efforts de vulgarisations sont certes louables mais force est de constater qu’il ne fonctionnent pas et cela parce que le niveau de connaissance est tellement loin du minimum que cela fait le même effet à un élève que si on lui récitait le Mahabaratha en sanscrit. On pourrait tout aussi bien lancer une campagne de promotion avec des pom-pom girl parcourant les TS de France en scandant « Vive les maths, vive les maths, Oui, oui, oui ! » ou encore « On est foot des Maths » avec Zinedine Zidane. Cela n’y changera rien. On donne le goût de quelque chose en la faisant goûter...
A vouloir à n’importe quel prix et par pure démagogie, faire des « scientifiques » qui n’en sont pas, on a écœuré tous ceux qui étaient susceptibles de le devenir. Oh certes il restera bien quelques fils et filles de mathématiciens qui seront brillantissimes. Ce seront les arbres qui cachent le désert. La France aura peut-être encore quelques médailles Fields car celles-ci récompensent des gens d’exception, hasards de la génétiques. Mais derrière ces arbres il n’y aura plus que des dunes de sable très mou.

Lorsque parfois l’on s’exclame « mais pourquoi supprimer tel ou tel pan de programme susceptible de motiver des élèves » la réponse est toujours : « ça ne sert à rien et ceux qui aiment les mathématiques pourront apprendre cela plus tard ». Et bien non ! Ils ne l’apprennent pas ni plus tard ni jamais parce qu’ils n’éprouvent aucune envie d’étudier des choses aussi ennuyeuses et qu’ils ignorent même qu’il puisse exister des choses passionnantes.
Le cas des Mathématiques est à ce titre particulier car la matière ne peut pas se vulgariser sans se livrer à une dénaturation telle qu’il ne reste rien de la chose même. Or l’absence de connaissance n’est pas une motivation pour en acquérir. Pour motiver des adolescents à se lancer dans les Mathématioques il faudrait des programme de Lycée difficile, abstrait sélectif. Précisément ce que font Chinois, Indiens, Russes qui oh miracle ! ont des étudiants à ne savoir où les mettre.

Ci gît l’Ecole Mathématiques Française, trahie et exterminée par un Ministère qui aurait dû la défendre.

(Auteur : Bertrand Rungaldier, professeur de prépa au Lycée Janson-de-Sailly)

En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x₁, ... ,x_n sous m contraintes données par g₁(x₁,...,x_n)=0, ... , g_m(x₁,...,x_n)=0, alors il existe des réels λ₁, ... ,λ_m tels que

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

• n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.


• n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g₁ et g₂ en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g₁(x,y,z) = g₂(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm², le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.

Après le précédent billet, bien triste, il est le temps de rire un peu ! Voici quelques blagues et une contrepèterie de matheux pour retrouver notre sourire ;-)

Que répond une mathématicienne venant d'accoucher à qui l'on demande "Avez-vous eu un garçon ou une fille ?"
"Oui."

Logarithme et exponentielle sont au restaurant. Qui paie l'addition ?
C'est exponentielle, car logarithme népérien...

Quel est le comble du mathématicien ?
C'est de se faire piquer sa moitié par un tiers dans un car.

Combien de fois peut-on soustraire 5 de 23 et combien reste-t-il ?
Autant de fois que l'on veut et il reste 18 à chaque fois.

Qu'est-ce qu'un ours polaire ?
Un ours cartésien après un changement de coordonnées.

Qu'est-ce qui est jaune, normé et complet ?
Un espace de Bananach.

Pourquoi la vie est-elle complexe ?
Elle a des composantes réelles et imaginaires.

Qu'obtient-on en croisant un éléphant et une banane ?
|elephant| |banane| sin(theta)

Qu'est-ce qu'un homme complexe dit à une femme réelle ?
"Viens danser !"

What's purple and commutes ?
An abelian grape.

What's yellow and equivalent to the Axiom of Choice.
Zorn's Lemon.

Théorème : Tout entier positif est intéressant.

Preuve : Supposons le contraire. Alors l'ensemble des entiers positifs non-intéressants est non-vide. D'après l'axiome du bon ordre il possède un plus petit élément. Alors cet élément est drôlement intéressant — contradiction !