Colles MPSI 2009/2010
Par Mathoman, lundi 14 septembre 2009 à 12:39 - MPSI - Tags
Pour mes élèves en colles de mathématiques en classe préparatoire MPSI du Lycée Fénelon Sainte-Marie ; ci-dessous les questions avec corrigés. N'oubliez pas : faire un maximum d'exercices à la maison (sans regarder la solution) est la meilleure méthode pour préparer un concours !
Khôlles prépa math sup avec corrigés :
- Logique. Exponentielle et logarithme
- Plan complexe. Fonctions trigonométriques, hyperboliques et réciproques
- Equations différentielles linéaires
- Géométrie dans le plan et l'espace
- Courbes planes. Fichier perdu
- Coniques
- Applications. Théorie des ensembles
- Relations, applications, ensembles
- Ensembles. Dénombrements
- Groupes
- Groupes, anneaux, corps
- Arithmétique
- Suites
- Suites réels et complexes
- Espaces vectoriels
- Polynômes
- Fractions rationnelles
- Révisions
- Fonctions continues
- Espaces vectoriels
- Fonctions dérivables
- Etudes de fonctions
- Matrices
- Intégration
- Déterminant
Déroulement des colles et conseils pour les élèves en math sup :
- Il est indispensable d’avoir appris son cours de maths (théorèmes et preuves, exemples).
- Expliquez clairement l’idée de la preuve. Souvent il y a un point pivot dans une démonstration.
- Lire mes conseils de rédaction.
- Si je vous pose une question, ne répondez pas toute de suite au hasard, mais réfléchissez d’abord ! Dans un examen oral personne ne vous demande de donner une réponse immédiatement. En revanche, on exige une réponse qui peut-être fausse mais qui est fondée. Et si vous n’en avez pas, avouez-le le pire c’est de laisser à un jury de concours l’impression que vous bluffez ou que vous jouez au loto…
- Quelques exercices sont en anglais ou en allemand. Cette idée d’initiation à l’expression scientifique en une langue étrangère m’est venue lorsqu’une fois un excellent élève en math sup souhaitait apprendre des choses sur les formes différentielles et le théorème de Stokes. Alors je lui ai prêté mon exemplaire de l’excellent livre Mathematical Methods of Classical Mechanics de Vladimir I. Arnol’d. Or il me l’a rendu le lendemain car “lire les maths en anglais serait trop fatiguant”! Or rien n’est plus simple à lire dans une langue étrangère que les maths — il faut seulement s’entrainer un peu… et c’est le but de ces questions. Vous pouvez néanmoins rédiger vos solutions en français.
Pourquoi ne pas lire aussi :
Qui peut m'expliquer ce jeu?
Par Mathoman - Tags
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Pièces en cube |
Pièces du jeu décomposées |
Le problème c'est que ce jeu est vendu sans règles écrites et que le jour de mon anniversaire, elle avait déjà oublié les explications du vendeur. Et comme ça ne s'est pas passé dans un magasin mais dans un marché de Noël, impossible de le retrouver... Alors que faut-il faire avec ces pièces en bois? Si quelqu'un le sait, s'il vous plaît, manifestez-vous!
Hand waving et dessins en mathématiques
Par Mathoman - Tags
Si on veut être méchant on pourrait dire que, pour expliquer sa nouvelle découverte un mathématicien a besoin de
- ses mains et 15 minutes s'il s'adresse à un collègue dans la cafétéria de son centre de recherche,
- cinq transparents et 60 minutes s'il l'expose dans un séminaire,
- vingt pages qui demandent trois jours de lecture, s'il la publie dans une revue scientifique.
Beaucoup d'énergie est perdue dans ces efforts de traduction et re-traduction. Pour minimiser ces efforts le lecteur doit s'entraîner à maîtriser le formalisme et l'auteur, de son côté, doit inventer un formalisme facile à lire et avec des notations intuitives --- et, si possible, ajouter des dessins à son texte!
Malheureusement, dans beaucoup de manuels universitaires, il n'y a pas assez de dessins. Peut-être c'est dû à la paresse des auteurs qui rédigent en LaTeX où il est beaucoup plus rapide d'écrire cinq lignes de formules que de faire un dessin avec PSTricks...
Moi, personnellement, lorsque j'étais étudiant j'adorais les livres de Klaus Jänich, parus dans la série Undergraduate Texts in Mathematics chez Springer, très bien écrits et agrementés de nombreux dessins; en particulier son livre sur la topologie et son livre sur les fonctions holomorphes m'ont beaucoup aidé.
C'est cette démarche, avec beaucoup d'illustrations, que nous avons adoptée pour la rédaction de notre livre Mathématiques L1 pour la première année en université ou en classe prépa.
Peut-on relier deux points par un chemin injectif ?
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Les commentaires du billet un exercice de topologie
sur le blog de PB soulevait quelques questions intéressantes. Une parmi elles possède la réponse suivante :
Dans une variété topologique connexe on peut relier tout couple de points distincts par un chemin injectif.
Remarquons que ce résultat ne vaut plus sur des espaces non-séparés comme la droite avec un point dédoublé (une variété topologique est séparée par définition).
Démonstration :
Rappellons d'abord que sur une variété topologique les notions connexe
et connexe par arcs
sont équivalentes.
Quelques notations : B(r) désigne la boule ouverte de rayon r et de centre 0 dans
pour la norme euclidienne. Pour noter la boule fermée, on mettra une barre dessus.
Soit M une variété topologique de dimension n et x un point de M. Notons E le sous-ensemble de M constitué de x et de tous les points qu'on peut relier injectivement à x. Notre but est de prouver que E=M. Vu que M est connexe et que E est non-vide, il suffit de montrer que E est ouvert et fermé.
- Ouvert : Soit y un point arbitraire dans E. Dans l'atlas de la variété M il existe une carte
.
- Si
alors
car dans une boule on peut toujours relier injectivement deux points distincts par un segment. - Dans l'autre cas où x n'est pas dans U nous posons r=1/2 et nous allons prouver que
On sait déjà qu'il existe un chemin injectif
tel que
et
. L'ensemble
est compact, et comme M est séparé, on déduit qu'il est fermé (voir aussi remarque 2 en bas).
Par continuité l'image réciproque
est fermé dans [0,1] et possède donc un plus petit élément
. On a l'inégalité
car 
Le point
ne peut pas être contenu dans la boule ouverte
, sinon
le serait également pour
assez petit, contrairement à la définition de
. Donc
est sur le bord de la boule
. Par construction on peut relier injectivement
à tout point de
sans rencontrer
. En juxtaposant ces deux chemins, on relie donc injectivement x à n'importe quel point de
Donc
est un voisinage ouvert de y contenu dans E.

- Si
- Fermé : Nous devons prouver que le complémentaire de E est ouvert. Soit donc y un point arbitraire dans M\E, autrement dit y est un point qui ne peut pas être relié injectivement à x. On prend une carte
. Alors on sait déjà que x ne peut pas être dans U. De deux choses l'une :
- Soit l'ouvert U est une partie de M\E dans ce cas on a terminé.
- Soit U n'est pas inclu dans M\E dans ce cas il existe un point z dans l'intersection
. Pour
on a
. Il existe un chemin injectif
allant de x à z. L'ensemble
est compact car c'est l'intersection d'un compact et d'un fermé. (Pour voir que![K=\lambda([0,1])\cap\varphi^{-1}(\overline{B}(r))](http://www.mathoman.com/CACHE/tex_af773c993ecb760195122de590777ea0.png)
est fermé on utilise, comme en haut, le fait que M est séparé.)
Parmi tous les points du compact
il existe un ayant norme minimale. Nous notons w ce point et
son correspondant sur la variété (toujours via la carte
). Clairement
. D'une part on a la restriction de
à
et d'autre part le chemin correspondant au segment [w,0] ; en juxtaposant ces deux chemins injectifs on obtient un chemin de x à y qui, par construction, est injectif. Contradiction, ce cas ne peut pas avoir lieu.
Remarque 1 :
L'idée de la preuve est de se ramener à l'intuition que nous avons de notre espace usuel. Quand une trajectoire passe de l'extérieur d'une boule à l'intérieur d'une boule, elle doit forcément traverser le bord de la boule, elle coule
comme une rivière. Or cela n'est plus vrai dans les espaces non-séparés comme la droite à deux origines dédoublées, 0' et 0''. Quand je fais un chemin de 0' à 0'' alors je rentre directement dans l'intérieur de la boule [-1,1]'' sans passer par -1 ou par 1. Le chemin apparait miraculeusement de nul part, il jaillit
comme une source...
Il est donc intéressant de voir où la preuve ne fonctionne plus dans cet exemple. Evidemment c'est au moment où on utilise le fait qu'un compact d'un espace séparé est toujours fermé. Sur la droite dédoublée l'ensemble [-1,1]'' est compact mais il n'est pas fermé, car son complémentaire
n'est pas ouvert.
Remarque 2 :
On est tenté de dire que
est fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue. Mais cela serait faux ! En effet,
est seulement définie sur U et pas sur toute la variété M. On peut donc dire que
est un fermé de l'espace U (pour la topologie induite par M), mais de là on ne peut pas conclûre directement qu'il s'agit d'un fermé de M. C'est pourquoi nous devons faire ce détour :
compact dans B(1),
donccompact dans U,
donccompact dans M,
doncfermé dans M (séparé).
Les mathématiques passives n'existent pas
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Pour les visionner cliquez ici.
Une phrase m'a particulièrement marqué :
Je suis complètement d'accord. Les mathématiques passives n'existent pas. Il est possible d'apprendre la compréhension d'une langue étrangère en regardant suffisamment la télé dans cette langue ; on peut alors atteindre un degré pour suivre plus ou moins ce qui est dit sans maîtriser activement la langue.On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.
Mais en mathématiques cela ne marche (malheureusement) pas. L'apprenti mathématicien peut aller dans tous les cours et écouter attentivement ce que dit son professeur, mais s'il ne se confronte pas régulièrement à des exercices il sera vite perdu et ne comprendra plus rien ;-)
Sujets et corrigés de bac
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Voici quelques sujets et corrigés de baccalauréat classés selon l’année et la série. Cette liste grandira avec le temps, donc n’hésitez pas à revenir pour la consulter. Sur la page “préparer son bac” vous trouverez quelques suggestions pour mieux réussir.
Annales bac mathématiques & corrections
| Avril 2009 Pondichéry Série ES | Sujet du bac ES mathématiques | Corrigé |
| Juin 2008 France Série S | Sujet du bac S mathématiques | Corrigé |
| Juin 2008 Asie Série S | Sujet du bac S mathématiques | Corrigé |
| Juin 2006 France Série L | Sujet du bac L mathématiques-informatique | Corrigé |
Si vous constatez une erreur, contactez-moi via le formulaire ci-dessous !
Lundi matin: petite leçon amusante de calcul
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Leçon et questions: Maths pour les génies (cliquez)
C'est un document powerpoint après l'avoir ouvert utilisez les flèches de votre clavier pour avancer.A propos
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Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !
Le logo du site
illustre la fameuse formule
qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :
- la relation d’égalité =
- l’addition +
- la multiplication

- le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
- le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
- le nombre transcendant
(pour calculer l'aire d’un cercle) - le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
- le nombre imaginaire i (solution de l’équation
).
L’auteur du blog
c'est moi,
, alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer mes études avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier).
En 2002 j'ai passé l'agrégation (r.83). Après avoir enseigné pendant quelques années dans divers établissements de l'Education Nationale j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation en maths ou informatique dans des écoles d'ingénieurs (ESTACA, ESILV, ISEP) et classes prépa parisiennes. Actuellement j'enseigne à l'Université de Versailles Saint Quentin.
Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)
Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire ou de m'écrire à l'adresse suivante
Bureau 2309Département de mathématiques, Bâtiment Fermat
45 avenue des États-Unis
78035 Versailles
Tél. 01 39 25 46 20
Avis de recherche
Par Mathoman - Tags
Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n'est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts.
Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).
Quel est le salaire correct pour un professeur de maths ?
Par Mathoman - Tags
Le mathématicien Pierre Colmez, algébriste français éminent, a publié sur son site web une lettre ouverte adressée au directeur général de l’Ecole Polytechnique à Palaiseau. Il y explique ses raisons de ne plus prolonger son contrat d'enseignant dans cette institution prestigieuse. La première raison nomée est celle d'argent. Mr Colmez s'indigne que des collègues en mathématiques financières ou en économie sont embauchés au double respectivement triple de son salaire. La réponse qu'on lui donne ne m'étonne pas : C’est le prix du marché ; les mathématiciens n’ont qu’à organiser la pénurie s’ils veulent que l’on augmente leurs salaires.
Je ne savais pas que le salaire des enseignants à l'X est soumis au prix du marché. J'ai plusieurs amis d'études qui se sont convertis aux mathématiques financières, certains sont professeurs dans des universités en Allemagne, d'autres travaillent pour des banques. Mais ceux qui sont professeurs ne touchent pas plus que leurs collègues professeurs d'archéologie par exemple ; en revanche, ils arrondissent (avec des gros ronds !) leurs fins de mois avec des expertises et conseils pour toutes sortes d'institutions du monde financier... Leur poste de prof n'est donc pas leur principale source de revenu. Probablement la différence de salaire à l'X ne représente qu'un
sur le revenu total d'un professeur en mathématiques financières, mais il est clair que pour Pierre Colmez c'est un grand
...
Dans le futur, est-ce les universités françaises vont-elles faire comme dans le privé, c'est-à-dire rémunérer leurs enseignants en fonction de l'offre et de la demande ? Comment négocier alors ce salaire ? Que feront alors les professeurs enseignant des matières sans "applications directes" comme par exemple la musicologie ?
Le transport de meubles vu par les matheux
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Il est rare qu'une simple question de la vie quotidienne devient un problème de mathématiques quasiment insurmontable... mais ça peut arriver ! Il y a une quarantaine d'années le mathématicien autrichien Leo Moser se posait, probablement lors d'un déménagement entrepris tout seul, la question suivante :
Quelle est la taille maximale d'un canapé que je dois déménager horizontalement le long d'un couloir lorsque celui-ci présente un angle doit ?
Supposons que la largeur du couloir vaut 1. Comme un demi-disque de radius 1 passe clairement par l'angle, la taille l'aire maximale est minorée par
. Mais évidemment on peut faire mieux. L'anglais John Michael Hammersley proposa la solution ci-dessous en forme de combiné téléphonique, sans pourtant prouver que c'est la solution maximale (et effectivement Gerver a trouvé plus tard un sofa encore plus grand). En outre il démontre que la taille maximale est majorée par 
On a donc un majorant et un minorant, mais quelle est la valeur exacte de la taille maximale ? Actuellement c'est toujours un problème ouvert. Pour monter des fonds de recherche pour bien attaquer ce problème important de mathématiques très appliquées, peut-être faudrait-il organiser une conférence inter-disciplinaire entre mathématiciens et la branche de scientifiques la plus concernée : les psycho-analystes !



compact dans B(1),