Aide en mathématiques

Colles 2011/2012

Par Mathoman, lundi 14 septembre 2009 à 12:39 - Colles - Tags

Feuilles de khôlles en classe préparatoire PCSI du Lycée Charlemagne à Paris pour des étudiants qui souhaitent s'entraîner.

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

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Qui peut m'expliquer ce jeu?

Par Mathoman - Tags

J'ai besoin de votre aide. Cette fois ce n'est pas pour résoudre un problème mathématique que je pose, mais plutôt le contraire. Il y a dix mois, Fafa m'a offert pour mon anniversaire cette sorte de puzzle tridimensionnel en bois.


Pièces en cube	Pièces du jeu décomposées

Le problème c'est que ce jeu est vendu sans règles écrites et que le jour de mon anniversaire, elle avait déjà oublié les explications du vendeur. Et comme ça ne s'est pas passé dans un magasin mais dans un marché de Noël, impossible de le retrouver... Alors que faut-il faire avec ces pièces en bois? Si quelqu'un le sait, s'il vous plaît, manifestez-vous!

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Hand waving et dessins en mathématiques

Par Mathoman - Tags

Les chercheurs en mathématiques appellent hand waving une manière d'expliquer une idée oralement et avec les mains, sans faire appel à un formalisme poussé. Dans certaines situations, cette démarche est justifiée et peut être très efficace.

Si on veut être méchant on pourrait dire que, pour expliquer sa nouvelle découverte un mathématicien a besoin de

ses mains et 15 minutes s'il s'adresse à un collègue dans la cafétéria de son centre de recherche,
cinq transparents et 60 minutes s'il l'expose dans un séminaire,
vingt pages qui demandent trois jours de lecture, s'il la publie dans une revue scientifique.

Le problème est que les mathématiques demandent la précision totale, et celle-ci nécessite un formalisme exacte et sans ambiguïté. Oralement, en faisant des dessins avec les mains dans l'air ou sur un brouillon, on peut toujours guider son interlocuteur et l'empêcher de mal comprendre. Mais ce n'est pas le cas en communication écrite où l'auteur est obligé de traduire ses idées en un formalisme que le lecteur devra ensuite retraduire en idées!
Beaucoup d'énergie est perdue dans ces efforts de traduction et re-traduction. Pour minimiser ces efforts le lecteur doit s'entraîner à maîtriser le formalisme et l'auteur, de son côté, doit inventer un formalisme facile à lire et avec des notations intuitives --- et, si possible, ajouter des dessins à son texte!

Malheureusement, dans beaucoup de manuels universitaires, il n'y a pas assez de dessins. Peut-être c'est dû à la paresse des auteurs qui rédigent en LaTeX où il est beaucoup plus rapide d'écrire cinq lignes de formules que de faire un dessin avec PSTricks...

Moi, personnellement, lorsque j'étais étudiant j'adorais les livres de Klaus Jänich, parus dans la série Undergraduate Texts in Mathematics chez Springer, très bien écrits et agrementés de nombreux dessins; en particulier son livre sur la topologie et son livre sur les fonctions holomorphes m'ont beaucoup aidé.
C'est cette démarche, avec beaucoup d'illustrations, que nous avons adoptée pour la rédaction de notre livre Mathématiques L1 pour la première année en université ou en classe prépa.

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Peut-on relier deux points par un chemin injectif ?

Par Mathoman - Tags

Les commentaires du billet un exercice de topologie sur le blog de PB soulevait quelques questions intéressantes. Une parmi elles possède la réponse suivante :

Dans une variété topologique connexe on peut relier tout couple de points distincts par un chemin injectif.

Remarquons que ce résultat ne vaut plus sur des espaces non-séparés comme la droite avec un point dédoublé (une variété topologique est séparée par définition).

Démonstration :

Rappellons d'abord que sur une variété topologique les notions connexe et connexe par arcs sont équivalentes.
Quelques notations : B(r) désigne la boule ouverte de rayon r et de centre 0 dans $\mathbb{R}^n$ pour la norme euclidienne. Pour noter la boule fermée, on mettra une barre dessus.

Soit M une variété topologique de dimension n et x un point de M. Notons E le sous-ensemble de M constitué de x et de tous les points qu'on peut relier injectivement à x. Notre but est de prouver que E=M. Vu que M est connexe et que E est non-vide, il suffit de montrer que E est ouvert et fermé.

Ouvert : Soit y un point arbitraire dans E. Dans l'atlas de la variété M il existe une carte .
- Si $x\in U$ alors $U\subset E$ car dans une boule on peut toujours relier injectivement deux points distincts par un segment.
- Dans l'autre cas où x n'est pas dans U nous posons r=1/2 et nous allons prouver que $\varphi^{-1}(B(r))\subset E.$ On sait déjà qu'il existe un chemin injectif $\lambda\::\:[0,1] \rightarrow M$ tel que $\lambda(0)=x$ et $\lambda(1)=y$ . L'ensemble $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est compact, et comme M est séparé, on déduit qu'il est fermé (voir aussi remarque 2 en bas).
  
  Par continuité l'image réciproque $\lambda^{-1}(\varphi^{-1}(\overline{B}(r)))$ est fermé dans [0,1] et possède donc un plus petit élément $t_0$ . On a l'inégalité $t_0>0$ car $\lambda(0)=x\not\in U.$
  
  Le point $\varphi(\lambda(t_0))$ ne peut pas être contenu dans la boule ouverte $B(r)$ , sinon $\varphi(\lambda(t_0-\epsilon))$ le serait également pour $\epsilon>0$ assez petit, contrairement à la définition de $t_0$ . Donc $\varphi(\lambda(t_0))$ est sur le bord de la boule $B(r)$ . Par construction on peut relier injectivement $\lambda(t_0)$ à tout point de $\varphi^{-1}(B(r))$ sans rencontrer $\lambda([0,t_0[)$ . En juxtaposant ces deux chemins, on relie donc injectivement x à n'importe quel point de $\varphi^{-1}(B(r)).$ Donc $\varphi^{-1}(B(r))$ est un voisinage ouvert de y contenu dans E.

Fermé : Nous devons prouver que le complémentaire de E est ouvert. Soit donc y un point arbitraire dans M\E, autrement dit y est un point qui ne peut pas être relié injectivement à x. On prend une carte . Alors on sait déjà que x ne peut pas être dans U. De deux choses l'une :
- Soit l'ouvert U est une partie de M\E — dans ce cas on a terminé.
- Soit U n'est pas inclu dans M\E — dans ce cas il existe un point z dans l'intersection $U\cap E$ . Pour $r=||\varphi(z)||$ on a $0<r<1$ . Il existe un chemin injectif $\lambda\::\:[0,1] \rightarrow M$ allant de x à z. L'ensemble
  $K=\lambda([0,1])\cap\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$
  est compact car c'est l'intersection d'un compact et d'un fermé. (Pour voir que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est fermé on utilise, comme en haut, le fait que M est séparé.)
  Parmi tous les points du compact $\varphi(K)$ il existe un ayant norme minimale. Nous notons w ce point et $\lambda(t_0)$ son correspondant sur la variété (toujours via la carte $\varphi$ ). Clairement $\lambda(t_0)\neq y$ . D'une part on a la restriction de $\lambda$ à $[0,t_0]$ et d'autre part le chemin correspondant au segment [w,0] ; en juxtaposant ces deux chemins injectifs on obtient un chemin de x à y qui, par construction, est injectif. Contradiction, ce cas ne peut pas avoir lieu.

Remarque 1 :

L'idée de la preuve est de se ramener à l'intuition que nous avons de notre espace usuel. Quand une trajectoire passe de l'extérieur d'une boule à l'intérieur d'une boule, elle doit forcément traverser le bord de la boule, elle coule comme une rivière. Or cela n'est plus vrai dans les espaces non-séparés comme la droite à deux origines dédoublées, 0' et 0''. Quand je fais un chemin de 0' à 0'' alors je rentre directement dans l'intérieur de la boule [-1,1]'' sans passer par -1 ou par 1. Le chemin apparait miraculeusement de nul part, il jaillit comme une source...

Il est donc intéressant de voir où la preuve ne fonctionne plus dans cet exemple. Evidemment c'est au moment où on utilise le fait qu'un compact d'un espace séparé est toujours fermé. Sur la droite dédoublée l'ensemble [-1,1]'' est compact mais il n'est pas fermé, car son complémentaire $\:]-\infty,-1[\,\cup\,]1,+\infty[\,\cup\,\{0'\}\:$ n'est pas ouvert.

Remarque 2 :

On est tenté de dire que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue. Mais cela serait faux ! En effet, $\varphi$ est seulement définie sur U et pas sur toute la variété M. On peut donc dire que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est un fermé de l'espace U (pour la topologie induite par M), mais de là on ne peut pas conclûre directement qu'il s'agit d'un fermé de M. C'est pourquoi nous devons faire ce détour :

$\overline{B}(r)$ compact dans B(1),
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ compact dans U,
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ compact dans M,
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ fermé dans M (séparé).

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Les mathématiques passives n'existent pas

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Le grand chercheur Alain Connes (géométrie non-commutative, médaille Fields) a donné un entretien très intéressant sur sa vie, la recherche et l'enseignement des mathématiques. Des extraits de cet entretien sont disponibles en streaming sur le site internet d'Arte.

Pour les visionner cliquez ici.

Une phrase m'a particulièrement marqué :

On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.

Je suis complètement d'accord. Les mathématiques passives n'existent pas. Il est possible d'apprendre la compréhension d'une langue étrangère en regardant suffisamment la télé dans cette langue ; on peut alors atteindre un degré pour suivre plus ou moins ce qui est dit sans maîtriser activement la langue.
Mais en mathématiques cela ne marche (malheureusement) pas. L'apprenti mathématicien peut aller dans tous les cours et écouter attentivement ce que dit son professeur, mais s'il ne se confronte pas régulièrement à des exercices il sera vite perdu et ne comprendra plus rien ;-)

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Forum Emploi Mathématiques

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Il y a un peu plus d'un an je parlais ici pourquoi après le bac j'ai choisi d'étudier les mathématiques. Et quelques lecteurs ont apporté leurs propres témoignages. Pour la plupart c'était un choix de passion, pas de raison. En fait, les études de math, en particulier les deux premières années, demandent un tel effort pour comprendre ce nouveau langage qu'il est difficilement imaginable que quelqu'un le fasse juste pour obtenir un diplôme. (Diplôme qui, en France, peine à être valorisé en dehors des institutions universitaires ou de recherche. Dans d'autres pays comme l'Allemagne c'est bien différent.) En plus, le métier d'un mathématicien peut être difficilement expliqué à des non-mathématiciens ce qui fait que pour un bachelier ça reste plutôt mystérieux...
Mais les temps évoluent, les mathématiques se diversifient et envahissent de plus en plus d'autres branches de sciences et technologies. Par conséquence le monde de l'industrie s'ouvre de plus en plus aux diplômés en mathématiques et c'est pour cette raison que la SMAI organise 1er Forum Emploi Mathématiques qui se tiendra jeudi 26 janvier 2012 à Paris. Conseil à tous les étudiants en maths: inscrivez-vous!

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Sujets et corrigés de bac

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Voici quelques sujets et corrigés de baccalauréat classés selon l’année et la série. Cette liste grandira avec le temps, donc n’hésitez pas à revenir pour la consulter. Sur la page “préparer son bac” vous trouverez quelques suggestions pour mieux réussir.

Annales bac mathématiques & corrections

Avril 2009 Pondichéry Série ES	Sujet du bac ES mathématiques	Corrigé
Juin 2008 France Série S	Sujet du bac S mathématiques	Corrigé
Juin 2008 Asie Série S	Sujet du bac S mathématiques	Corrigé
Juin 2006 France Série L	Sujet du bac L mathématiques-informatique	Corrigé

Si vous constatez une erreur, contactez-moi via le formulaire ci-dessous !

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Lundi matin: petite leçon amusante de calcul

Par Mathoman - Tags

Pour nous reveiller commençons la semaine par une petite révision de calcul! Il s'agit d'un cours amusant et pas trop difficile. Il ne faut pas avoir la bosse de maths pour le réussir, juste un peu d'imagination. Tout le monde peut y participer, car on peut le faire avec le programme de mathématiques que nous avons tous appris à l'école. Voici donc ce petit cours de maths agrémenté de quelques exercices:

Leçon et questions: Maths pour les génies (cliquez)

C'est un document powerpoint — après l'avoir ouvert utilisez les flèches de votre clavier pour avancer.

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A propos

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Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule $e^{i\times\pi}+1=0$ qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

la relation d’égalité =
l’addition +
la multiplication $\times$
le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
le nombre transcendant $\pi$ (pour calculer l'aire d’un cercle)
le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
le nombre imaginaire i (solution de l’équation $x^2+1=0$ ).

L’auteur du blog
c'est moi, $\text{[math]}$ , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

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Avis de recherche

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Mon ami Laurent Kaczmarek souhaite recenser toutes les démonstrations du résultat suivant d'algèbre linéaire.

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n'est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts.

Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

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Quel est le salaire correct pour un professeur de maths ?

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Le mathématicien Pierre Colmez, algébriste français éminent, a publié sur son site web une lettre ouverte adressée au directeur général de l’Ecole Polytechnique à Palaiseau. Il y explique ses raisons de ne plus prolonger son contrat d'enseignant dans cette institution prestigieuse. La première raison nomée est celle d'argent. Mr Colmez s'indigne que des collègues en mathématiques financières ou en économie sont embauchés au double respectivement triple de son salaire. La réponse qu'on lui donne ne m'étonne pas : C’est le prix du marché ; les mathématiciens n’ont qu’à organiser la pénurie s’ils veulent que l’on augmente leurs salaires.

Je ne savais pas que le salaire des enseignants à l'X est soumis au prix du marché. J'ai plusieurs amis d'études qui se sont convertis aux mathématiques financières, certains sont professeurs dans des universités en Allemagne, d'autres travaillent pour des banques. Mais ceux qui sont professeurs ne touchent pas plus que leurs collègues professeurs d'archéologie par exemple ; en revanche, ils arrondissent (avec des gros ronds !) leurs fins de mois avec des expertises et conseils pour toutes sortes d'institutions du monde financier... Leur poste de prof n'est donc pas leur principale source de revenu. Probablement la différence de salaire à l'X ne représente qu'un $\epsilon$ sur le revenu total d'un professeur en mathématiques financières, mais il est clair que pour Pierre Colmez c'est un grand $K$ ...

Dans le futur, est-ce les universités françaises vont-elles faire comme dans le privé, c'est-à-dire rémunérer leurs enseignants en fonction de l'offre et de la demande ? Comment négocier alors ce salaire ? Que feront alors les professeurs enseignant des matières sans "applications directes" comme par exemple la musicologie ?

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