En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Autres exemples

• calcul de prix
• calcul de prix
• calcul de prix
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :

Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture. Etc., etc....

Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale — et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.

J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.

De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves — et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son

(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.

(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.

Je me rappelle qu'une fois, en plein concert à la Philharmonie de Munich, le pianiste Alfred Brendel interrompit son jeu car le public qui toussait. Il se retournait vers la salle et disait : "Die Grundlage der Musik ist die Stille." Traduction : la base de la musique c'est le silence.

J'aimerais adapter cette phrase aux mathématiques : "La base des mathématiques c'est le calcul". Et je pense au calcul le plus simple, les opérations élémentaires qui devraient être maîtrisées par tous les citoyens d'un pays moderne (à l'exception de quelques rares personnes souffrant d'une sorte de dyslexie des nombres) : addition, soustraction, multiplication et division. Si les élèves ne savent plus calculer, le professeur devrait arrêter son cours, comme Alfred Brendel, et le reprendre plus tard...

Autrefois, grâce à la scolarisation, le savoir progressait d'une génération à l'autre
Dans cet extrait de film des années cinquante un représentant essaie en vain de dissuader Ma and Pa Kettle que 25 divisé par 5 donne 14.

Aujourd'hui c'est le récul: beaucoup de bachéliers ne savent plus calculer
Lorsque j'enseignais en deux classes de terminale ES dans un lycée en région parisienne, j'étais confronté à un problème majeur : le programme du baccalauréat porte sur les dérivées et les intégrales, les logarithmes et les exponentielles. Or la majorité de ces élèves en terminale ne connaissait pas les règles élémentaires de calcul, beaucoup confondaient l'addition avec la multiplication et la soustraction avec la division. Voici un florilège extraits de quelques copies de bacs blancs :

              

Tout ça pourrait faire rire si ce n'étaient que quelques cas isolés. Mais ce type d'erreurs n'est plus exceptionnel, il est devenu la règle (voir mes statistiques). Il semble qu'aujourd'hui il est impossible de demander à un élève en terminale d'effectuer un calcul élémentaire sans faire d'erreur. Le nombre d'élèves acceptés en première (même en section S) et qui ne connaissent pas la table de multiplication est légion.

Le roi est nu
Certains diront que tout cela n'a pas d'importance car les mathématiques n'interviennent que peu dans notre vie quotidienne et que d'autres facilités sont plus déterminantes pour bien réussir dans la vie. Peut-être. Je serais le dernier à exiger que tous mes co-citoyens connaissent les logarithmes et les intégrales. Mais ce qui me gêne beaucoup c'est que le calcul élémentaire n'est pas acquis et qu'en même temps on habitue les élèves à utiliser un langage de bois mathématique qui prétend qu'il y a une compréhension des objets impliqués tandis qu'au fond rien n'est compris. Sous un splendide manteau de termes savants (intégrales, limites, théorème des valeurs intermédiaires, etc.), le roi est nu ! C'est digne des Impostures intellectuelles à la Sokal-Bricmont...
Evidemment il est impossible, en dernière année de lycée, de rattraper avec des cours de soutien toutes ces bases manquées. Soit on fait les choses correctement dès le départ, soit on ne les fait pas, c'est-à-dire on élimine des programmes scolaires le calcul supérieur avec les fonctions.

Ci-dessous un dernier exemple qui me rend heureux et triste à la fois — triste car cet élève ne maîtrise pas du tout le programme du collège (règles de calcul avec les fractions), et heureux car il a appris ce que je lui enseignais en terminale (règles de dérivation). Mais en fin de compte, quelle est la valeur de ses connaissances en calcul différentiel s'il ne sait pas simplifier correctement la fraction qu'il obtient ?

La question posée était de dériver la fonction Voici sa réponse :

Il bien connu (voir par exemple mon billet ou celui de Fabien sur les connaissances de élèves en terminale ou encore l'article de Michel Delord sur la maîtrise générale du calcul à l’entrée en sixième) que les exigences pour passer d'une classe à l'autre du cursus scolaire ont baissé. Les lacunes ainsi accumulées deviennent presque insurmontables, de manière qu'à la fin on est obligé de donner le bac assez facilement (voir par exemple cet excellent article sur la baisse de niveau du bac de physique ou ces réflexions sur la différence de niveau du bac entre la métroploe et la Réunion).

Quelles sont les conséquences pour les études supérieures que, selon les projets politiques, devraient entamer et réussir 50% des jeunes ? Voici un constat pratique. Recemment j'étais à la cafétéria d'une université parisienne. Sur le comptoir on avait posé cette affiche :

Vu à la fac : tableau de prix pour les nuls

D'abord je me suis dit que le CROUS de Paris propose un tarif dégressif pour des commandes groupées — mais non, il s'agit simplement d'un tableau nécessaire aux nombreux étudiants qui ne savent pas calculer quatre fois six... Le socle commun pour entrer en fac, finalement à quel niveau est-il ? Faut-il introduire les nombres négatifs pour le mesurer ?

De plus en plus de sites proposent des cours en vidéo. Comme le cours suivant sur les fonctions continues, destiné aux élèves de terminale S ou ES :

Netprof.fr propose également le fichier pdf de ce cours. On peut être d'un avis partagé sur la qualité de ces cours (par exemple, dans la vidéo ci-dessus on ne distingue pas vraiment entre ce qui est définition et ce qui est proposition ou entre ce qui est démontré et ce qui est admis — le prof demande à l'élève d'apprendre par cœur que les fonctions polynômiaux sont continues, puis dans le premier exercice qui suit il en traite un cas particulier sans utiliser ce fait...), mais en tout cas c'est une très belle initiative. L'internaute pourra passer des journées entières à s'instruire sur le web.

A un niveau bien plus élévé, le site Videolectures propose des colloques filmés dans des centres de recherche et des universités, comme cet exposé de Gregory Chaitin intitulé

Un siècle de controverses sur les fondations des mathématiques

Il propose également les notes de son exposé...

Personnellement je pense que les calculatrices et TICE (Technologies de l'information et de la communication pour l'éducation) devraient être utilisées avec prudence dans les cours de mathématiques. La raison est simplement que ça va trop vite pour qu'un élève ou étudiant comprenne les nouvelles notions qu'il rencontre. C'est à nous, les enseignants, de choisir des exemples numériques où les calculs ne se compliquent pas trop et qui font dégager l'essentiel. Le danger des TICE c'est que souvent elles font primer la quantité sur la qualité. Or je pense qu'un élève qui trace lui-même sur sa feuille cinq paraboles bien choisis va comprendre plus de choses que s'il en voit vingt paraboles défiler sur un écran.

Le fait que beaucoup de bacheliers quittent l'école sans maîtriser les fondements en calcul a été (et est toujours) discuté amplement dans ce blog. Aujourd'hui je veux insister sur un autre point, la capacité de tracer à la main les courbes de fonction simples. Dans mes cours sur les fonctions trigonométriques j'insiste sur des dessins soignés des fonctions sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente dans une repère orthonormé. Je fais ces dessins au tableau et je passe dans les rangs pour vérifier si les étudiants les ont bien faits ; si ce n'est pas le cas je leur demande de les refaire chez eux.

Evidemment le dessin ne peut pas être aussi précis que celui qui sort d'un ordinateur. Mais en insistant sur deux choses on arrive quand même à un tracé correct :

• Utiliser quelques valeurs particulières. Par exemple la courbe de la tangente passe par le point de coordonnées . Et afin de trouver pour l'abscisse la valeur approximative 0,8 un étudiant faible doit déjà réfléchir un peu...


• La pente de la tangente à l'origine du sinus est sin'(0)=cos(0)=1. Placer des petits traits de pente 1 ou -1 aux points où le sinus s'annule est un bon réflexe qui permet d'augmenter sensiblement la précision du tracé de la courbe. En même temps cela rappelle la notion de la dérivée comme taux d'accroissement local...

D'ailleurs, j'ai un message à passer aux professeurs de math au collège et lycée : Travaillez moins ! Ne me comprenez pas mal ;-) Par cela je veux dire que les professeurs ne devraient plus faire le travail à la place de leurs élèves et donc ne plus fournir de repère prêt-à-utiliser sur la feuille d'énoncé. Déjà le choix d'une repère est un tâche intellectuelle importante à accomplir par l'élève : quelles échelles sur les deux axes sont adaptées à mon graphique ? quelle région veux-je représenter ?

Vu le nombre de bacheliers S qui ont du mal à dessiner correctement en moins d'une minute une parabole comme y=½(x-1)²+1 il serait souhaitable de revenir à ces concepts qui ont l'air vieux-jeu mais en réalité ne le sont pas car celui qui les a compris a compris bien plus que de faire un simple dessin.
Déjà au collège quand on trace la parabole standard y=x² à la main c'est l'occasion de comprendre plein de choses, comme par exemple que x<x² lorsque x est plus grand que 1, tandis que x>x² lorsque x est compris entre 0 et 1.

Le tracé d'une courbe doit si possible faire apparaître les propriétés essentielles, comme les intersections avec les axes, les pentes en ces intersections, les extréma, des éventuels asymptotes,...
Si l'on négligence ces choses-là ça donne des intersections fantaisistes entre la courbe de la fonction tangente et celle de sa réciproque, enseignées aux étudiants d'un établissement d'enseignement supérieur américain réputé d'être l'un des meilleurs du monde (rang 4 au classement de Shanghaï 2010) :

Cours filmé au MIT — Tracés complètement faux de tan et arctan !

Heureusement le reste de ce cours pris en vidéo semble de meilleure qualité.

Question pour mes étudiants : Cherchez l'erreur !

Cet enseignant a probablement vu trop d'images dans des repères à échelles distinctes sur l'abscisse et l'ordonnée, comme celle-ci au lieu de celle-là. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je demande toujours de tracer les fonctions trigonométriques dans un repère orthonormé.

Étienne Ghys, Jos Leys et Aurélien Alvarez ont réalisé une très belle série de films en images de synthèse sur les mathématiques. Chaque vidéo est un récit scénarisé d'un mathématicien qui raconte ses découvertes d'une manière très compréhensible. C'est bien écrit et les visualisations correspondent exactement au texte ; on prend le temps d'expliquer ce type de maths sans beaucoup de formules.

Cliquez sur l'image

Le niveau recquis des différents épisodes est très divers. Aux lycéens en terminale S je recommande l'épisode 5 qui explique de manière simple ce que c'est un nombre complexe.
En revanche, les épisodes 7 et 8 qui parlent, entre autres, de la fibration de Hopf, vont plutôt profiter aux initiés en topologie en basses dimensions.

Des élèves qui ne viennent pas le jour du contrôle, c'est l'horreur de tout prof qui doit alors concocter un deuxième sujet pour le rattrapage. On comprend donc que très souvent ce deuxième sujet sera un peu plus difficile... Voici une belle petite histoire que des collègues m'ont écrite :

Ce sont quatre taupins qui ont un DS de math le lundi à passer. Ils vont faire la fête toute la nuit du dimanche à l’occasion de l’anniversaire de l’un d’entre eux. Seulement, ils ne se réveillent pas le fameux lundi matin et vont voir mardi le professeur pour s’excuser. Ils lui demandent alors de rattraper le lendemain en argumentant qu’ils ont crevé une roue sur le chemin en guise d’excuse. Le professeur accepte finalement.
Les étudiants bossent toute la nuit et arrivent le matin confiants à l’examen. Le professeur les met dans des salles différentes et leur donne le sujet d’examen qui comporte deux questions.
La première est sur 1 point. Chacun la lit dans son coin et trouve cela très facile. En effet, la question est : « Quelle est la raison qui vous a empêché de passer le DS prévu lundi ? ». Après, ils tournent la page et la seconde question, sur 19 points, est : « Quelle roue a été crevée ? »

Question (niveau probabilités classe de première)

Quelle est la note moyenne (valeur d'expectation) des quatre élèves à laquelle il faut s'attendre ?

Incitation à la réflexion

Pourra-t-on intégrer la question précédente comme troisième question au contrôle sans provoquer une boucle logique ?

Chers lecteurs, j'ai beaucoup apprécié les commentaires détaillés que vous avez laissés à mon dernier billet concernant la suppression de cours d'HG selon la réforme du lycée. Aujourd'hui je vais donner mon point de vue sur deux autres changements prévus par cette réforme : le recrutement.

Le premier point concerne l'attribution des postes. Dans un article du Monde on peut lire que l'Eduction Nationale modifie son mode de recrutement vers un système à l'anglo-saxonne ou à l'allemande. Le concours devient un examen à l'issue duquel les professeurs n'auront pas de poste assuré et devront postuler auprès des écoles, collèges ou lycées en fonction des besoins, comme dans une entreprise. Peut-être l'Education Nationale a fait de bonnes expériences avec son système de mouvement sur postes spécifiques et souhaite élargir ce concept à tous les postes.

Encore une fois, je trouve que c'est une bonne idée de récruter sur profil. En plus, le fait de poser candidature pour un certain poste implique automatiquement que l'enseignant sera plus motivé que s'il est nommé sur un poste qui souvent ne lui convient pas soit à cause de sa situation géographique soit à cause de son environnement. Au lieu de subir une affectation il doit agir et reste maître de son destin.

Autre avantage possible : le principe d'offre/demande pourra générer une plus juste rémunération car il est clair que certains postes ne trouveront aucun candidat, donc il faudra les rendre plus attractifs par des primes financières importantes ou des décharges horaires ! En effet, certains considèrent le système actuel comme injuste car les professeurs qui enseignent devant des classes plus agréables sont payés plus que leurs collègues. Dans cette vidéo des auditions sur le métier d'enseignant Philippe Meirieu dit à peu près ceci : Dans le passé la société avait besoin de professeurs en classes préparatoires et donc on a augmenté leur salaire. Aujourd'hui nous avons besoin de personnel dans des établissements difficiles, il faudrait maintenant faire un effort financier pour ces einseignants.
En fait, un professeur agrégé en prépa touche 50% plus pour chaque heure de cours avec sa classe. On justifie cette augmentation de salaire par une charge de travail plus importante en CPGE. Or on peut aussi argumenter — et c'est le point de Philippe Meirieu — que le temps de récupération du système nerveux d'un enseignant en collège difficile après un cours devant une bande d'adolescents de niveau très hétérogène est bien supérieure au temps de préparation de cours en prépa.
Ce qui amenerait à poser les enseignants de prépa devant le choix suivant : Soit vous gardez votre prépa mais avec le même salaire horaire que toute le monde ou bien vous prenez une classe de collège qui vous fait moins de travail. Combien vont choisir le collège ?

Le deuxième point de la réforme dont je veux parler ici c'est l'idée d'élever les niveaux des enseignants en les recrutant à bac + 5 contre bac + 3 aujourd'hui. Je pense que c'est une très mauvaise idée, au moins en mathématiques.

Déjà aujourd'hui l'Education Nationale ne dispose pas d'assez de postes qui nécessitent un niveau avancé de maths, alors pourquoi monter le niveau de recrutement ? A mon avis, il vaudrait mieux le baisser les exigences disciplinaires pour pouvoir recruter dans le vivier de profils dont les chefs d'établissement ont vraiment besoin. Et de quoi ont-ils besoin ? De personnages capables à tenir, garder et surveiller une classe. L'enseignement passe au second plan.

On a parfois l'impression que les critères de recrutement sont complètement découplés des missions confiées aux professeurs. Par exemple dans le rapport du jury de l'agrégation externe de mathématiques 2008 (page 52) on peut lire :

Signalons que la grande majorité des candidats ne sait pas faire la différence entre une bijection indéfiniment dérivable et un difféomorphisme.

En effet, c'est triste. Mais d'autre part Jean-Pierre Obin, inspecteur général de l'éducation nationale, dit clairement (voir vidéo ici) que les professeurs doivent s'occuper de l'éducation civique et morale des élèves. Et ceux qui connaissent les collèges d'aujourd'hui savent que cela représente 80% du temps et de l'énergie dépensés par un professeur. Le problème est alors trouver des fins connaisseurs de difféomorphismes qui sont aussi des éducateurs passionnés et charismatiques pour des élèves qui n'ont rien à voir avec les difféomorphismes. C'est un recrutement paradoxale...

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

Attention, étudiants et élèves ! Respectez votre professeur de mathématiques. Peut-être derrière cette personne grise et austère il se cache un personnage très surpenant... En tout cas, conscience professionnelle oblige, j'irai voir ce film :

Le nouveau film avec Franck Dubosc. Sortie aujourd'hui

La sortie du deuxième volet de la trilogie est prévue pour l'année prochaine :

Mathohulk avant de reléver un segment compact