A l'occasion de la solution d'un joli exercice de type colle sur les matrices (voir le blog de Pierre Lecomte), je suis naturellement amené à poser la question suivante.

Soit A une matrice inversible à coefficient dans un corps. Alors par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en la matrice unité. En fait c'est la méthode du pivot de Gauss qui permet cela. On en déduit que A est un produit de matrices correspondantes aux trois types d’opérations élémentaires (permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout d’une ligne à une autre).
Cette écriture en produit est pratique car elle permet de prouver plein de choses. Par exemple, pour montrer que le déterminant conserve les produits il suffit de le vérifier pour la multiplication entre une matrice de ce type et une matrice quelconque — et c'est tout facile.

Or comment ça se passe-t-il sur un anneau ? Plus précisément :

Soit R un anneau commutatif et A une matrice carrée avec coefficients dans R telle que det(A) est une unité de R. On sait que A est une matrice inversible (c’est du classique, voir par exemple ici pour la formule qui donne l'inverse en fonction de (det A)^-1 et de la comatrice).
Question : Peut-on ramener A à la matrice unité par des opérations élémentaires ?

Peut-être avez-vous déjà réfléchi là-dessus et connaissez la réponse...

Pour me rendre à vélo depuis le 11e arrondissement de Paris (et oui, cette chanson existe même dans ma langue !) jusqu'à la fac de Versailles j'essaye beaucoup de parcours différents. Autrement dit je pratique une sorte de calcul de variations pour trouver le chemin optimal. Ce n'était pas évident de faire un bon compromis entre plusieurs minimisations simultanées : le chemin le plus court, le chemin avec le moins de voitures et le chemin avec le moins de dénivelé...

L'un des parcours que j'ai testés passe devant un bâtiment abandonné à Meudon. Il est délabré, ses fenêtres sont pleines de graffiti et il y a déjà un panneau permis de démolir planté devant. Je me suis arrêté pour en prendre quelques photos. Pour savoir de quel immeuble il s'agit cliquez sur la deuxième image !

Meudon — immeuble prêt à casser... (cliquez sur la deuxième image)

C'est l'occasion pour féliciter mon ami Achim à Grenoble qui vient de soutenir son habilitation, probablement dans le but de quitter cette institution au futur incertain pour devenir professeur universitaire ;-)

La question suivante est certainement dans le goût de certains lecteurs du blog, un typique petit problème sur lequel nous matheux aimons perdre notre temps...

Tout point de l'espace (trois dimensions) est coloré avec une de cinq couleurs, et toutes ces cinq couleurs interviennent. Montrer qu'il existe un plan contenant au moins quatre couleurs.

Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol'd et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la plupart à JLT). Le voilà, dans un billet à lui tout seul !