Le IERS (International Earth Rotation & Reference Service) de l'observatoire de Paris nous apprend qu'aujourd'hui, dernier jour de l'année 2008, il faudra arrêter nos montres à 23:59:59 pendant une seconde avant de passer au nouvel an 2009.
En effet, pour différentes raisons astronomiques la terre ne tourne pas toujours avec la même vitesse autour du soleil, c'est-à-dire les années n'ont pas toujours la même durée (si on la compare avec les ultra-précises horloges atomiques) ; et cette année notre chère terre a trainé un peu sur son chemin ! Mais cela n'a rien de nouveau, c'est la 24^e fois depuis 1972 qu'elle nous oblige à être indulgents et de corriger son petit retard pris au cours de l'année en lui accordant la seconde supplémentaire le dernier jour.

Donc vous avez une seconde de plus pour prendre vos bonnes résolutions pour 2009. Et n'oubliez pas de mettre à jour l'heure de votre ordinateur grâce au réglage de l'heure par internet...

Pas besoin de présenter Donald Knuth aux mathématiciens. Il est actuellement le seul computer scientist qui figure dans le fameux Peoples Archive. Dans les années 1980 Knuth a fait un grand don au monde: le logiciel libre TeX, fruit de son travail de nombreuses années sur le traitement de texte. Aujourd'hui TeX et son cousin LaTeX sont devenus les standards de l'édition scientifique. Par exemple tous les fichiers PDF sur ce blog sont faits avec LaTeX.

Sur la page personnelle de Don Knuth on trouve des rubriques inhabituels, comme ses IFAQ (Infrequently Asked Questions), et plein d'humour, comme ses Expecting a check from me? ou don't click here. En somme, Don Knuth est ce que les américains appellent un véritable "nerd". Et sa page la plus nerdy est celle-ci :   Diamond Signs.    Elle contient une galérie de photos de panneaux rares de signalisation routière. Ca m'a donné l'idée de faire une collection similaire, car à défaut d'être génial comme lui je veux au moins être un nerd !

Depuis une année, quand je me promène à vélo dans les rues de Paris, je prends avec mon téléphone portable des photos d'un certain type de graffiti. Dans tous les arrondissements je vois régulièrement des graffiti sur les trottoirs qui font penser à l'action painter Jackson Pollock, surnommé "Jack the Dripper" pour sa fameuse technique de dripping.

J'ignore qui est la personne à l'origine de cet hommage parisien à Jackson Pollock. Si j'avais de l'imagination (mais je n'en ai pas), je n'y verrais même pas de l'art — j'interpréterais ces signes mystérieux comme un codage secret utilisé par des espions, terroristes ou extra-terrestres pour préparer un grand complot dans notre belle capitale... comme le fait le mathématicien John Nash interprété par l'acteur Russell Crowe dans le film Un homme d'exception.

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MathOMan, collectionneur de photos des graffiti de trottoir	119 boulevard Diderot 75010 Paris	boulevard de la Chapelle (Pont SNCF) 75018 Paris
Place Mazas 75012 Paris	53 boulevard Diderot 75012 Paris	75 boulevard Richard Lenoir 75011 Paris
4 rue Dahomey 75011 Paris	90 avenue Parmentier 75011 Paris	48 boulevard Richard Lenoir 75011 Paris
Place des Vosges 75004 Paris	34 boulevard Richard Lenoir 75011 Paris	105 quai de Jemmapes 75010 Paris
123 boulevard Diderot 75012 Paris	191 quai de Valmy 75010 Paris	quelque part (adresse oubliée...)
18 rue Trousseau 75011 Paris	21 boulevard de Ménilmontant 75020 Paris	280 boulevard Voltaire 75011 Paris
54 rue Trousseau 75011 Paris	77 boulevard Diderot 75012 Paris	281 boulevard Voltaire 75011 Paris
55 boulevard Diderot 75012 Paris	259 boulevard Voltaire Quasiment devant ma porte...	Place des Vosges 75004 Paris

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Envie de jouer un peu à "Jack l'égoutteur" mais sans risquer un procès de la mairie de Paris ? Défoulez-vous virtuellement sur le très surpenant site www.jacksonpollock.org !!!

Il y a dix ans, pour sortir un peu des maths pûres, je travaillais pendant quelques semaines dans la forêt guyanaise sur le tournage d'un film documentaire scientifique sur les fourmis. Le monde des insectes sociaux (fourmis, abeilles, guêpes, termites) est fascinant, pas seulement du point de vue de la biologie, mais aussi du point de vue mathématique. A part les questions de génétique (forcément liées à la combinatoire et aux probabilités), il y a aussi beaucoup de théorie de jeux dans le comportment de ces "automates vivants", ainsi que de la théorie des graphes et même des algorithmes de fourmis.

A tous ceux qui veulent en savoir davantage je recommande vivement (comme cadeau de Noël?) le livre de vulgarisation scientifique Voyage chez fourmis de Bert Hölldobler et Edward O. Wilson ainsi que Le gène égoïste de Richard Dawkins.

Lors du tournage du film j'avais le temps d'observer un peu les fourmis et de calculer certaines distances qu'elles parcourent périodiquement. Voici un joli petit problème sur les fourmis.

Devinette
Une colonie de 101 fourmis se trouve sur une fine tige de longueur 100cm. Chaque fourmi se déplace à la vitesse de 1cm par seconde dans un sens fixe, mais si deux fourmis se rencontrent elles changent de sens. Lorsqu'une fourmi arrive à l'un des deux bouts de la tige elle tombe.

Est-ce que toute la colonie va disparaître de la tige? Si oui, après combien de temps?

Réponse
A vous de chercher! Je la divulguerai prochainement...

En attendant, je vous invite à regarder un petit film amusant en Super8 que j'ai réalisé après le dernier jour du tournage officiel et auquel les auteurs du film sur les fourmis ont gracieusement participé en tant qu'acteurs.

Ajourd'hui quelques lignes pour illustrer que le cerveau n'est pas le seul organe actif des matheux...

Comment "le font"-ils ?

• Les topologistes le font discrètement.
• Les topologistes le font de manière ouverte.
• Les topologistes le font avec du caoutchouc.
• Les couples de topologistes le font en se rendant connexes.
• (les logiciens le font) ou NON (les logiciens le font).
• Les algébristes le font en groupe ou en anneau.
• Les algébristes le font avec leur corps.
• Les algébristes le font associativement.
• Les algébristes le font en s'inversant.
• Les algébristes le font en se multipliant.
• Les analystes le font continûment.
• Les analystes le font sur un support compact.
• Les experts en théorie de la mesure le font presque partout.
• Les experts en équations différentielles le font suivant les conditions initiales.
• Les experts en théorie des ensembles le font avec application.
• Les experts en combinatoire le font de toutes les manières possibles.
• Les mathématiciens le font une infinité de fois s'il peuvent le faire une fois et ensuite une fois de plus.

Comment "le faisaient" les grands ?

• Cantor le faisait en diagonale.
• Fermat essayait de le faire dans la marge mais n'avait pas assez de place.
• Galois l'a fait la nuit juste avant.
• Möbius le faisait toujours du même côté.
• Klein l'avait simultanément dedans et dehors.
• Cauchy le faisait avec un ami (Schwarz, Lipschitz, Riemann).
• Markov le faisait à la chaîne.
• Archimède le faisait dans sa baignoire.
• Newton tomba dans les pommes.
• Bourbaki le faisait dans un cas particulier du théorème 10.2.5 en utilisant subtilement le lemme 7.3.2.

Deux contrepèteries

• Nul n'est jamais assez fort pour ce calcul !
• Mon prof de maths a montré Bézout.

Une réciproque
The duchess: "Excuse me that I am late, but I was so fucking busy and vice versa."

Recommandation bibilographique : Ces blagues m'ont été envoyées par email au fil des années. Mais il existe même des livres sur ce sujet. Le lecteur qui souhaite s'y approfondir se plonger avec profit dans l'ouvrage de référence Je fais des maths comme un(e) cochon(ne) de Gérard-Olivier Maitry publié en 2008.

Apparemment la question sur un pavage de rectangles posée ici il y a quelques jours est stimulante. Après la solution par produit tensoriel, voici une autre qui repose sur une activité habituellement réservée aux enfants: le coloriage. (Les matheux ne sont que de grands enfants !) Merci à David Caisson qui m'a envoyé cette solution extraite du livre Solving Mathematical Problems de Terence Tao.

L'idée de T. Tao est aussi simple que belle: on colore en vert tous les rectangles ayant un côté horizontal entier, et en rouge tous les autres rectangles. Un argument topologique de connexité nous assure alors que dans le grand rectangle on peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert ou les deux côtés horizontaux par un chemin rouge. (Pour ceux qui ne connaissent pas encore la notion de connéxité : c'est une sorte de théorème des valeurs intermédiaires qui dit que deux lignes reliant les côtés opposés se coupent forcément). Or un chemin vert consiste en la juxtaposition de rectangles verts, donc sa longueur horizontale est entière; et de manière analogue pour un chemin rouge.

Vous pouvez lire la solution complète ici.

Cette "solution" m'a laissé perplexe car sur les trois premières pages l'auteur n'avance pas beaucoup, puis au tout dernier paragraphe il évoque, sans les traiter, quelques obstacles qui pourraient éventuellement se poser. Et avec un peu d'esprit critique on trouve que la démonstration est fausse! Voici un contre-exemple.

 

 
La largeur est 4 et la hauteur est 3,5. Pourtant il n'y a pas de chaîne verte mais seulement une chaîne rouge dont on ne peut rien déduire sur la hauteur (car elle possède des décalages) ni sur la largeur (car les rectangles rouges n'ont pas de largeurs entières).

Mais Terence Tao ne serait pas Terence Tao, porteur de la Médaille Fields 2006 (sorte de prix Nobel pour mathématiciens), si l'idée de sa preuve était entièrement fausse ! En effet, après une petite recherche sur internet, je me rends sur son blog personnel et j'y trouve une liste d'errata où il corrige, entre autres, cette preuve. Voici l'amélioration qu'il apporte:

On colore les rectangles comme avant, mais seulement leurs intérieurs. Ensuite on colore en vert les côtés verticaux ouverts, et le reste en rouge.

Maintenant mon contre-exemple ne résiste plus! On peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert.


 
Pourquoi cette démonstration améliorée fonctionne-elle ? Et bien, lorsqu'on parcourt un chemin vert disons, alors chaque fois qu'on quitte un rectangle vert pour passer dans un autre, ça se fait sur un segment vertical dont l'abscisse est un entier.

Voilà donc une jolie solution purement topologique, sans analyse. Je ne pense pas qu'elle s'adapte aux dimensions supérieures.