Livre de probabilités (liste d’errata)
Depuis aujourd’hui mon nouveau livre Voyage au pays de probas (Ellipses Éditions) est en vente dans les rayons des librairies scientifiques. Vous trouverez sur cette page la liste des erreurs détectées.
Cet ouvrage est le fruit d’un travail d’enseignement que je dispense depuis plusieurs années en L2. Le but est de donner aux étudiants les connaissances basiques en théorie des probabilités afin qu’ils soient bien préparés au cours de statistiques qu’ils auront le semestre après. Le public est formé de non-mathématiciens et donc la rigueur mathématique n’est pas poussée à l’extrême, j’ai plutôt mis l’accent sur de nombreux graphiques et exemples qui devraient faciliter la compréhension. (En allemand j’appellerais ce style Wahrscheinlichkeitsrechnung für Warmduscher
.) Au cours des années j’ai identifié certains points techniques qui posent souvent problème aux étudiants: manipulation des fonctions, sommes et intégrales… Ils ont été isolés dans un chapitre où ils sont expliqués en détail.
Une grande partie du livre est consacrée aux exercices corrigés de différents niveaux, classés du plus simple au vraiment difficile.
Malheureusement le livre contient des coquilles, inévitables dans un ouvrage de plus de 600 pages. J’espère qu’elles sont rares. Heureusement, à ce jour, aucune erreur au niveau des mathématiques (faux énoncé ou preuve, etc.) n’a été trouvée 😉 Cette page du blog sert à compléter et actualiser la liste d’errata. Si vous décelez une erreur ou coquille, je vous prie de laisser un commentaire à ce billet et je l’inclurai. Bien évidemment, toute autre remarque, soit-elle positive ou négative, est également la bienvenue.
- p.1 : ou que
F est un sous-ensemble (ou une partie) de E
. - p.2 : cardinaux infinis.
- p.30 solution 1.19 : Pour s’aligner avec l’énoncé il faut changer E en F et vice versa.
- p.35 : la boule tirée
- p.37 exemple 2.5 : il y a de la place
- p.46 exemple 2.15 : Vérifions-le
- p.49 : ça doit être \(\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n\left(1 + \frac{1}{12n}\right),\) c’est-à-dire sans le deuxième exposant
- p.56 solution 2.18 : a4+4a3b
- p.69 : Situations typiques:
- p.73 : une étudiante
- p.80 : M(n,p1,p2).
- p.81 : plusieurs caractérisations équivalentes d’une même propriété.
- p.106 solution 3.4 : A332=32×31×30
- p.115 solution 3.30 : H(5,10,30) (au lieu de H(5,30,10))
- p.135 : X(Ω) et Y(Ω)
- p.151 exercice 4.27 : le nombre de succès est pair.
- p.194 test 5.25 : g(x) = x f(x).
- p.209 solution 5.4 : car 1+1/n –> 1.
- p.214 solution 5.7 : remplacer, dans l’énoncé et la solution, k=2 sous le Σ par k=1. Le résultat de la seconde somme est 20/27.
- p.269 exercice 6.24.3 : la moyenne du nombre des lancers
- p.244 : P(X=1)=3/100
- p.277 solution 6.6 : longueur 0.5
- p.286 solution 6.23 : E(X)=4/3, V(X)=8/9, E(Y)=4/3, V(Y)=44/63 (cf. tableau p.252)
- p.291 solution 6.29 : du paradoxe de Saint-Pétersbourg de l’exemple 6.15.
- p.305 : on a plus de chance
- p.310 Test 7.4 : L’énoncé n’est pas très bon. Au lieu d’une probabilité ponctuelle il vaut mieux considérer la probabilité de l’événement « au moins six étudiants sont malades ». (Elle est également faible, environ 8%.)
- p.385 exercice 8.37 : Il y a aussi d’autres méthodes (voir l’exemple 10.25).
- p.396 solution 8.10 : On a T(Ω)=[1,∞[ si k>0.
- p.410 solution 8.24 : max(0,z-1) ≤ x ≤ min(1,z)
- p.425 solution 8.46.2.b. : T2<6
- p.430 solution 8.53 : utilisant le fait que X et Y sont indépendantes.
- p.439 Lemme 9.11 : N(0,α2)
- p.449 Exemple 9.21 : Je crois en ta théorie si dans au moins 70% ou au plus 30% des cas tu réponds correctement.
- p.475 solution 9.21 : Ou bien par la table…
Dans la remarque le résultat de la méthode exacte est 0.0959. - p.479 en haut : à partir de n=30 elle devient acceptable.
- p.480 solution 9.33 : Dans les trois premières intégrales il faut écrire dt (et non dx) et dans la troisième c’est tk-1 (et non xk-1).
- p.503 et p.514 : Ma preuve de la règle 10.12 et du deuxième point de la proposition 10.22 est inutilement longue. Supposons que la fonction de densité fX,Y de la loi jointe est symétrique par rapport à un axe horizontal ou vertical. Puisque la covariance est symétrique en ses deux variables et invariante par translation, il suffit de traiter le cas où la densité est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, ce qui signifie fX,Y = fX,-Y. D’où W(X,Y)=W(X,-Y)=-W(X,Y) et finalement W(X,Y)=0.
- p.512 Proposition 10.17 : fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)
- p.525 : Cette symétrie rotationnelle a une conséquence immédiate.
- p.549 solution 10.9 : une parabole. En plus, dans les réponses 2. et 3., j’ai commis la même erreur d’écriture qu’à la page 512 en omettant les variables.
- p.580 solution 11.1 : qk-1 au lieu de qk.
Page 10, test 1.13
Je pense que l’énoncé devrait être »; l’assertion x > 3 … » et non pas > 2 pour être cohérent avec la solution.
Bonjour Domi, merci pour ton message et ta lecture attentive. Non, il n’y a pas de coquille ou incohérence dans le test 1.13 et son corrigé.
Explication: Pour un nombre réel x
l’assertion x>2 est équivalente à \(x\in]2,\infty[\) ; et l’assertion x<3 est équivalente à \(x\in]−\infty,3[\). Ainsi l'une n'est pas la négation de l'autre. Le nombre x=5/2, par exemple, vérifie les deux assertions simultanément.
Pour un nombre naturel n l'assertion n>2 est équivalente à \(n\in\{3,4,5,…\}\) ; et l’assertion n<3 est équivalente à \(n\in\{0,1,2\}\). Ainsi l'une est la négation de l'autre.
Bonjour, merci pour votre explication.
J’avance doucement, à présent je bute sur l’exercice 4.11 page 157. Je m’attendais à trouver dans la solution l’écriture suivante pour {Y = 3}
\[\mathbb P(\{ Y = 3\}\cap\{ X = 3 \} ) = \mathbb P( \{ Y = 3 \}|\{ X = 3 \} )\,\mathbb P( \{ X = 3 \}).\]C’est une forme de l’écriture de la définition des probabilités conditionnelles. Or je trouve l’écriture :
\[\mathbb P( \{ Y = 3 \} ) = \mathbb P( \{ Y = 3 \} | \{ X = 3 \} )\,\mathbb P(\{ X = 3 \} ).\]Pour que \(\mathbb P( A \cap B ) = \mathbb P( A )\) il faudrait que A soit inclus dans B.
Bon je suis perdu : J’oublie quel que chose, et je ne vois pas où se trouve mon erreur de raisonnement.
D’avance merci.
Domi
Bonjour, je crois avoir trouvé ce qui me manquait :
\[\begin{align*}
\mathbb P(A) &= \mathbb P(A \cap B ) + \mathbb P(A\cap\overline B)\\
&= \mathbb P(A | B)* \mathbb P(B) + \mathbb P(A |\overline B)* \mathbb P(\overline B).\end{align*}\]Soit avec \(\{X < 3\} = \{0, 1, 2 \}\): \[\begin{align*} \mathbb P(Y=3)&= \mathbb P(Y=3|X=3)\,\mathbb P(X=3) + \mathbb P(Y=3|X<3)\,\mathbb P(X<3)\\ &= \mathbb P(Y=3|X=3)\,\mathbb P(X=3)\end{align*}\] car \(\mathbb P(Y=3|X<3) = 0\) puisque \(Y \leq X\). Similairement \[\begin{align*} \mathbb P(Y=2)&= \mathbb P(Y=2|X=3)\,\mathbb P(X=3) + \mathbb P(Y=2|X<3)\,\mathbb P(X<3)\\ &= \mathbb P(Y=2|X=3)\,\mathbb P(X=3) + \mathbb P(Y=2|X=2)\,\mathbb P(X=2)\end{align*}.\] Etc.
Bonjour Domi, vous avez trouvé vous-même la réponse à votre question. En effet l’événement Y=3 implique l’événement X=3, donc leur intersection est Y=3. J’aurais dû l’expliquer plus en détail.
De même Y=2 implique X=2 ou X=3. Ensuite c’est la formule de probabilités totales : \[\begin{align*}
\mathbb P(Y=k) &= \sum_{n=0}^3\mathbb P(Y=k\mid X=n)\mathbb P(X=n)\\
&=\sum_{n=k}^3\mathbb P(Y=k\mid X=n)\mathbb P(X=n),\end{align*}\]car \(\mathbb P(Y=k∣X=n)=0\) si \(n < k\). Je pense que j'aurais dû donner plus d'exemples de "variables aléatoires composées" comme dans cet exercice. Ce sera pour une prochaine édition, on ne sait jamais 😉
Bonjour! Sauf erreur de ma part, il y a les coquilles suivantes :
page 209 solution aux question de test : 5.4
il est écrit : pour n –> oo, lim (1 + 1/n)^m = 1 , car 1 + 1/n –> 0
Je pense : car 1/n –> 0
page 194 énoncé du test 5.25
..la fonction définie g(x) = x.g(x)
Je pense g(x) = x.f(x)
page 214 solution 5.7
La somme S1 = k^2/2^(2k) pour k = 2 à ->> oo
Il est écrit qu’elle est égale à la somme S2 = k^2/4^k pour k = 0 à ->> oo
Cordialement
Domi
Bonjour cher monsieur,
Je dois dire que j’apprécie particulièrement votre ouvrage. C’est vrai que je ne suis qu’au chapitre 02 mais je le trouve particulièrement bien fait pour une première découverte des probas.
Je reviendrai évidemment ici pour des erratas ou des commentaires sur l’ouvrage.
Encore merci.