Divisibilité avec factorielles

Voici un exercice, pas très difficile, concernant des nombres entiers formés par des factorielles. Soient k1, … , kr, m1, … , mr des entiers naturels. Montrer que la factorielle

\((k_1m_1\,+\,\cdots\,+\,k_rm_r)!\)

est divisible par

\(m_1!\:\cdots\:m_r!\;k_1!^{m_1}\:\cdots\:k_r!^{m_r}.\)

10 réponses
  1. Pierre Lecomte
    Pierre Lecomte dit :

    Ce qui m’étonne c’est la dissymétrie du diviseur par rapport aux k et au m, opposée à la symétrie du nombre qu’il divise.

    Cela dit, je n’ai pas cherché de solution; je découvre le résultat de Legendre, qui est très beau.

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  2. philippe
    philippe dit :

    Si on suit la remarque de Pierre Le Compte, en échangeant les rôles de \(k_i\) et \(m_i\) on déduit directement de la formule proposée que le nombre
    \((k_1m_1+\dots +k_rm_r)!\)
    doit être divisible par
    \((k_1!)^{m_1}\dots (k_r!)^{m_r}\times (m_1!)^{k_1}\dots (m_r!)^{k_r}\)

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  3. MathOMan
    MathOMan dit :

    Pourquoi crois-tu cela? Ta déduction est déjà fausse pour r=1 et k=m=2. En fait, 4!=24 n’est pas divisible par 4×4=16.

    En fait, j’ai trouvé cette propriété de divisibilité par hasard en préparant des exos assez basiques. Je vous laisse encore un peu de temps avant d’en divulguer une preuve, mais pas neuf mois comme pour l’exponentielle de matrice 😉

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  4. Pierrer Lecomte
    Pierrer Lecomte dit :

    Philippe, les deux nombres divisant séparément la "grosse" factorielle ne sont pas premiers entre eux.

    … et tant qu’à faire des jeux de mots sur mon identité, autant écrire pir mon prénom. 😉

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  5. P. Dupont
    P. Dupont dit :

    Bonjour,

    Le quotient
    \(\displaystyle\frac{(k_1m_1+\cdots+k_rm_r)!}{m_1!\cdots m_r!k_1!^{m_1}\cdots k_r!^{m_r}}\)
    est le nombre de manières de répartir \(k_1m_1+\cdots+k_rm_r\) boules indiscernables entre \(m_1\) urnes indiscernables pouvant contenir \(k_1\) boules chacune, …, \(m_r\) urnes indiscernables pouvant contenir \(k_r\) boules chacune.
    Ce quotient est donc forcément naturel.

    🙂

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