Un exercice avec racine carrée et partie entière

Voici un bel exercice élémentaire mais pas évident. Sans indication il serait plutôt adapté pour un devoir maison. Je n’ai pas toute de suite trouvé la solution 😉

On note E la partie entière et on considère l’application qui à tout entier n strictement positif associe n+E((n+n½)½). Que peut-on dire sur l’injectivité de cette application? Et de son image?

10 réponses
  1. Pierre Lecomte
    Pierre Lecomte dit :

    L’application n’est pas injective (trivial) mais elle est surjective. De façon précise, mais je dois encore le prouver, l’application est non décroissante et la valeur k est atteinte 2k fois. L’image commence donc par

    1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,…

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  2. Pierre Lecomte
    Pierre Lecomte dit :

    Je pense avoir une preuve, par récurrence forte sur la valeur k.
    Je procède à l’induction (passer de k à k+1). On suppose donc vérifiée la table des valeurs de la fonction (je la nomme f) pour n allant de 1 à k(k+1) et on va la vérifier pour n satisfaisant

    k(k+1)<n<(k+1)(k+2)

    Soit un tel n. A cause de l’inégalité de gauche \(\sqrt{n}\geq k\) de sorte que

    \(n+\sqrt{n}\geq (k+1)^2\)

    soit f(n)>k.

    A cause de l’inégalité de droite, n<k+2 de sorte que

    \(n+\sqrt{n}< (k+2)^2\)

    soit f(n)<k+2 et la cause est entendue.

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  3. MathOMan
    MathOMan dit :

    Je ne comprends pas tes commentaires, Pierre. Elle est clairement injective car strictement croissante. Il doit avoir un malentendu. C’est pourquoi je redonne la fonction cette fois en une autre écriture : \(f(n)=n+E(\sqrt{n+\sqrt n}).\)

    Cela dit, ta propriété de l’application que atteint 2k fois chaque valeur k est également intéressante. Quelle est cette application?

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  4. Pierre Lecomte
    Pierre Lecomte dit :

    En fait, ce n’est pas une récurrence que j’ai utilisé. C’est une preuve directe. Désolé pour l’embrouille!

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  5. Pierre Lecomte
    Pierre Lecomte dit :

    Ah ben oui! C’est grave! Ce que j’ai appelé f est l’application

    \(n\mapsto E(\sqrt{n+\sqrt{n}})\)

    qui n’est trivialement pas injective. J’ai perdu le "n+" en chemin alors que c’est précisément pour prouver le caractère croissant de la bonne application que j’ai fait le reste.

    Cela dit, avec ce que j’ai démontré, on conclut donc que l’application (la tienne) est effectivement strictement croissante donc injective et que son image est le complémentaire de l’ensemble des carrés parfaits.

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  6. MathOMan
    MathOMan dit :

    Voilà, maintenant c’est clair ! Je trouvais cela assez étonnant qu’on puisse paramétrer par une telle formule l’ensemble des nombres naturels qui ne sont pas des carrés parfaits.

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  7. Pierre Lecomte
    Pierre Lecomte dit :

    Oui! J’aime bien cette fonction!

    Désolé d’avoir cafouillé et rendu la lecture de cet échange assez compliquée!

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  8. JLT
    JLT dit :

    On vérifie que \(f(n^2-n)<n^2\) et que \(f(n^2-n+1)\ge n^2+1\) donc les carrés ne sont pas dans l’image de f. De plus, l’ensemble \(\{f(1),\ldots,f(n^2-n)\}\) est inclus dans \(\{1,2,3,\ldots,n^2\}\setminus \{1^2,2^2,3^2,\ldots,n^2\}\) donc lui est égal pour des raisons de cardinalité.

    On en conclut que l’image de f est l’ensemble des entiers qui ne sont pas des carrés.

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