Convergence ou divergence d’une série extraite de la série harmonique?

Disons qu’un entier naturel est à chiffres incomplets, s’il ne contient pas tous les chiffres. Par exemple 1233456789 est à chiffres incomplets mais 1203456789 ne l’est pas. Que dire de la convergence de la série des inverses des nombres non-nuls à chiffres incomplets? Est-elle convergente ou divergente? Si elle converge alors quelle est sa limite?

Et que se passe-t-il si on travaille dans un autre base que dix? Par exemple pour la base deux, on voit toute de suite qu’on obtient la série géométrique de raison ½ qui converge vers deux.

5 réponses
  1. philippe
    philippe dit :

    Je note \((u_k)\) la suite des nombres incomplets\(\sum_k{1\over u_k}\) la série à calculer. Comme il s’agit d’une série à termes positifs je vais sommer par paquets, où chaque paquet est constitué des nombres à n chiffres \(=l(u_k)\):
    \(\sum_k {1\over u_k}=\sum_{n=1}^\infty ~~\left(\sum_{l(u_k)=n}{1\over u_k}\right)\)
    Il est facile de dénombrer les nombres à n chiffres incomplets:
    – il faut choisir un chiffre manquant (10 possibilités)
    – puis choisir les n chiffres parmi les 9 autres (\(9^n\) possibilités)
    – on majore chaque terme \({1\over u_k}\leq {1\over 10^{n-1}} \)
    certains cas sont comptés en double mais je peux affirmer que pour chaque paquet on a
    \(\sum_{l(u_k)=n}{1\over u_k}\leq {10\times 9^n} \times {1\over 10^{n-1}}\)
    la série est donc dominée par une série géométrique convergente, donc elle converge et sa limite est inférieur à 90:
    \(\sum_k {1\over u_k}\leq \sum_{n=1}^\infty 90\times \left({9\over 10}\right)^{n-1}=90\)
    En base 2 ce raisonnement donne la limite 2 = 1×2 (2=(10)_2 et le 9 correspond au 1) car aucun cas n’est compté en double, par contre en base supérieur il faut bien détailler tous les cas pour trouver cette limite ….

    PS : quel plaisir de retrouver les colles de Math O’ Man

    Répondre
  2. dex
    dex dit :

    Bonjour,
    j’ai un problème urgent que je doit résoudre. Aidez-moi svp

    Soit donné un système d’équations différentielles autonomes d’ordre \(n\): \(\frac{dX}{dt}=f(X)\)
    \(X=(x_1,x_2,…,x_n).\)
    1- Montrer que si on pose \(\tau=t_2-t_1\), alors pour toute solution \(X\) du système, qui vérifie \(X(t_1)=X(t_2)\) on a: \(X(t+\tau)=X(t)\).

    Soit $K$ l’ensemble des nombres \(\tau\) tel que \(X(t+\tau)=X(t)\) soit vérifiée.

    2- Montrer que \(K\) est un groupe additif.

    3- Montrer que si \(K\) n’admet pas un minimum strictement supérieur à 0, la solution \(X\) est constante.

    4- En déduire que la solution du système est soit périodique, soit non périodique soit constante.

    Répondre
  3. dex
    dex dit :

    Bonjour,
    j’ai un problème urgent que je doit résoudre. Aidez-moi svp

    Soit donné un système d’équations différentielles autonomes d’ordre \(n\): \(\frac{dX}{dt}=f(X)\)
    \(X=(x_1,x_2,…,x_n).\)
    1- Montrer que si on pose \(\tau=t_2-t_1\), alors pour toute solution \(X\) du système, qui vérifie \(X(t_1)=X(t_2)\) on a: \(X(t+\tau)=X(t)\).

    Soit $K$ l’ensemble des nombres \(\tau\) tel que \(X(t+\tau)=X(t)\) soit vérifiée.

    2- Montrer que \(K\) est un groupe additif.

    3- Montrer que si \(K\) n’admet pas un minimum strictement supérieur à 0, la solution \(X\) est constante.

    4- En déduire que la solution du système est soit périodique, soit non périodique soit constante.

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  4. dex
    dex dit :

    Bonjour,
    j’ai un problème urgent que je doit résoudre. Aidez-moi svp

    Soit donné un système d’équations différentielles autonomes d’ordre \(n\): \(\frac{dX}{dt}=f(X)\)
    \(X=(x_1,x_2,…,x_n).\)
    1- Montrer que si on pose \(\tau=t_2-t_1\), alors pour toute solution \(X\) du système, qui vérifie \(X(t_1)=X(t_2)\) on a: \(X(t+\tau)=X(t)\).

    Soit $K$ l’ensemble des nombres \(\tau\) tel que \(X(t+\tau)=X(t)\) soit vérifiée.

    2- Montrer que \(K\) est un groupe additif.

    3- Montrer que si \(K\) n’admet pas un minimum strictement supérieur à 0, la solution \(X\) est constante.

    4- En déduire que la solution du système est soit périodique, soit non périodique soit constante.

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