Solutions réelles d’une équation polynomiale complexe
Voici un petit exo sur les racines de polynômes. Soient A et B des polynômes non constants à coefficients réels tels que le polynome complexe P=A+iB n’ait que de racines complexes de partie imaginaire strictement positive. Est-il vrai que les polynômes A et B sont scindés sur R?
Bonjour ! Merci pour ce joli exercice. Je tente quelque chose… On peut sans doute supposer P unitaire : \(P=\prod_{k=1}^n (X-z_k)\). Montrer que \(A\) est scindé sur les réels revient à montrer que \(P+\overline{P}=\prod_{k=1}^n (X-z_k)+\prod_{k=1}^n (X-\overline{z_k})\) l’est. Soit z un complexe non réel. On peut supposer par exemple z de partie imaginaire strictement positive. Comme les \(z_k\) sont aussi de partie imaginaire strictement positive, z est strictement plus proche de \(z_k\) que de \(\overline{z_k}\). Donc le module de P(z) est strictement plus petit que le module de \(\overline{P}(z)\), et donc z ne peut pas être une racine de \(P+\overline{P}\). Sauf erreur, le problème est essentiellement résolu 🙂
Oui, ça fonctionne. Bravo !
Salut, j’ai trouvé un exercice , j’ai résolu toutes les questions sauf la dérnière. Je n’ai pas d’idée.
Soit \( f \in L^2(\R^n).\) L’équation \(\Delta u – u = \frac{\partial f}{\partial x_i}\) admet une solution unique \(u \in H^1(\R^n). \)
et il existe une constante\( c \geq 0\) telle que \(||u||_{H^1} \leq c ||f||_{L^2}.\)
Montrer qu’il existe une constante\( M \geq 0\) telle que pour tout \(u \in H^2(\R^n)\) on a \(||u||_{H^2} \leq M (||u||_{L^2} + ||\Delta u||_{L^2}).\)
vous avez une idée à me proposer? Merci de m’aider.