Arche de Noé – Sauvetage de l’enseignement des mathématiques
Page blanche à un collègue
Aujourd’hui je donne la parole à mon collègue Bertrand Rungaldier, professeur en maths sup au Lycée Janson de Sailly (Paris). Il complétera ce billet au fur à mesure. Vous avez la possibilité de laisser vos commentaires. Si vous souhaitez contribuer des fichiers pour les rendre publiques ici, vous pouvez les adresser directement à lui par email: mom-runguy[le signe habituel]gmx.fr
Chers collègues,
Cela fait de nombreuses années que nous observons, impuissants et incrédules, l’anéantissement systématique de l’enseignement des mathématiques en France. Tandis que les doctorats se vident peu à peu, il ne s’écoule pas d’année sans de nouvelles campagnes de bombardements qui réduisent toujours plus en lambeaux le maigre contenu qui reste dans les programmes, programmes qui sont de moins en moins reliés les uns aux autres.
Les mathématiques qui ont toujours été la science de la déduction par excellence deviennent un simple saupoudrage de résultats sans la moindre justification, sans le moindre raisonnement. L’enseignement est ainsi réduit à une sorte de prêche : « croyez-moi car je vous le dis » et les élèves réduits à n’être que des animaux de laboratoire auxquels on a appris à appuyer sur la bonne touche de la calculatrice après qu’ils ont reconnu le stimuli ad equat.
On se demande bien comment il pourrait venir à l’idée d’un élève d’aujourd’hui que les mathématiques puissent être une activité passionnante.
Pourtant, durant une longue période, disons pour simplifier de 1970 à 1995, des centaines de professeurs de mathématiques ont développé des trésors d’ingéniosité et de pédagogie pour faire aimer les mathématiques à des dizaines de milliers d’élèves dont nous faisions partie. Ces trésors existent toujours, enfouis dans vos cahiers d’exercices ou des notes de cours prises en tant qu’élèves ou bien données en tant que professeur (voire les deux). Il suffirait que des élèves puissent en bénéficier pour que puissent à nouveau s’éveiller des vocations.
Malheureusement, à l’heure actuelle, un élève dont les parents ne sont pas professeurs de mathématiques ne peut avoir aucune idée de ce qu’il aurait pu apprendre il y a 30 ans. Les ouvrages universitaires sont trop spécialisés et les manuels de lycée ont été passés au pilon. Cela fait pour ma part vingt ans que je recherche les anciens Alephs 1, sans succès.
Ce constat étant fait il n’y a guère que deux attitudes : imiter Jérémie… ou tenter quelque chose. On peut bien sûr le faire de son coté « comme un homme qui avec sa machette, ouvre une brèche dans la forêt vierge et dont le seul espoir est que d’autres, dans les broussailles, se soient attelés au même travail » (Ernst Jünger). Ou bien chercher autre chose.
C’est en tentant de répondre à cette question « que puis-je faire » qu’il m’est venu l’idée suivante: sauver ce patrimoine pédagogique en utilisant « la toile ».
Que chacun d’entre nous mette quelque part, dans une sorte de lieu protégé, une serre, une partie de son propre trésor afin qu’un jour tout cela puisse être réimplanté dans « son milieu naturel » c’est-à-dire des programmes, des classes et des cerveaux. Mais, alors que je contactais mon ami MathO’Man afin de lui soumettre cette idée, un projet encore plus audacieux m’est venu à l’esprit. Si tel que je le dis le problème est que les contenus des programmes actuels soient vides et par voie de conséquence l’enseignement dispensé dénué du moindre intérêt (j’entends, pour un élève ayant un cortex néofrontal normalement développé) alors il s’agit bien plutôt de fournir au élèves actuels et futurs un contenu de programme qui puisse les éveiller aux mathématiques.
Mais dans ce cas, il s’agit en fait ni plus ni moins que de recréer sur « La toile » les anciennes classes de 2 C, 1 C, T C, Sup, Spé. Car en l’état actuel, un élève ne peut tout simplement pas apprécier ce que nous mettrions dans notre serre parce qu’il n’a pas les connaissances pour cela.
Ce sont donc ces connaissances qu’il faut lui donner. Si j’ai pu m’initier dès ma classe de Mathématiques Supérieures à l’Arithmétique des corps et en classe de Spéciale à la Géométrie Algébrique c’est parce que j’avais des connaissances de base sur les anneaux, les idéaux, premiers, maximaux, les corps, les quotientages, la topologie générale. Toutes ces connaissances même un élève rentrant à l’ENS ne les a plus aujourd’hui; nous, nous les avions grâce à nos programmes après un trimestre de math Sup.
Recréer ainsi un Lycée virtuelle est une tâche immense, insensée, folle mais après tout guère plus folle que n’est fou le massacre auquel nous assistons.
En nous réunissant dans ce projet, nous pouvons, j’en suis absolument certain, parvenir à un résultat dépassant nos rêves.
TOUT est acceptable : exercices, problèmes, cours (entendons-nous bien, pas un manuel, mais un cours donné effectivement en classe) de la Seconde à la Spé. Et je dirais même que la tâche la plus difficile et la plus ingrate en reviendra à ceux qui se chargeront de la partie lycée, car à cette époque-là presque aucun d’entre nous n’utilisait d’ordinateur.
Je vous appelle donc à la renaissance d’un véritable enseignement mathématique de lycée. Toutes les idées seront recevables.
Bertrand Rungaldier
Cours
- Cours de topologie générale (math sup) par Bertrand Rungaldier — Mon cours de topologie générale tel que je le faisais fin des années 1980. Il y a en gros toutes les bases et pas grand chose de superflu.
- Cours de topologie métrique (math sup) par Bertrand Rungaldier — Mon cours de topologie métrique tel que je le faisais fin des années 1980. Comme pour le précédent il y a toutes les bases et pas grand chose de superflu.
- Cours de la Seconde à la Terminale par Fabien Besnard
- Cours sur les distributions et Géométrie pour l’enseignement par André Cerezo — Ces cours manuscrits, d’une grande richesse pédagogique, ont beaucoup apporté à l’auteur de ce blog, MathOMan, lors des sa maîtrise de mathématiques à l’université de Nice. Vous pouvez lire un hommage à A. Cerezo ici.
Preuves originales
- Théorème de Bolzano-Weierstrass (math sup) par Bertrand Rungaldier — Il s’agit d’une preuve ne nécessitant que la propriété de la borne supérieure. Elle évite donc tout recours aux suites de Cauchy qui est une notion très difficile et peu naturelle pour les élèves alors que la notion de valeur d’adhérence se rencontre très vite dès qu’une fonction décroît en un point fixe.
Exercices instructifs
- Intégrale de Gauss (d’Après BAC-C Liban 1980) par Bertrand Rungaldier — TC-sup — J’ai juste introduit explicitement la formule de Taylor afin d’adapter l’énoncé au programme de Sup. Dans l’énoncé d’origine, l’encadrement était fait à l’aide d’inégalités usuelles de l’exponentielle.
- Somme de Riemann et arithmétique (spé) par Bertrand Rungaldier —
Les sommes de Riemann réduites aux entiers premiers avec n converge vers l’intégrale.
Problèmes
- Fonctions arithmétiques (math sup) par Bertrand Rungaldier — J’ai eu en DM en 79 les parties 1 et 2. Ce fût LA révélation !
Comme professeur j’y ai ajouté en 86, les parties 3 et 4 sur les sommes de Ramanujan et les nombres parfaits.
- Equivalent de \(\pi(x)\) (d’après Mines 1978 – math spé) par Bertrand Rungaldier — On y démontre ZE théorème concernant la fonction \(\pi(x)\) à l’aide de la méthode « élémentaire » en admettant le lemme technique central concernant le comportement asymptotique de la fonction de Möbius. J’ai un tout petit peu simplifié l’énoncé d’où l’absence de constante \(A,a\). Corrigé
.
- Distance de Hausdorff (math spé) par Bertrand Rungaldier — Je l’ai eu en DM en 79. Un beau problème qui démontre que « les compacts d’un compact forment un compacte » ! On suppose connu que « Précompact+Complet=>Compact ».Corrigé
D’après moi, le contenu du programme n’est pas vraiment important en soi. Les programmes varient énormément suivant les pays et ont énormément changé depuis (disons) 1950. Ce qui est important, en revanche, c’est que les élèves de collège et lycée apprennent à faire des démonstrations, et malheureusement ceci est en train de disparaître à cause de
– l’érosion progressive de la géométrie. Or, la géométrie permet de faire des démonstrations relativement difficiles avec un bagage minimum.
– l’introduction de l’algorithmique en classe de seconde. L’algorithmique et la programmation ne sont pas inintéressants en soi, mais ils prennent la place d’enseignements de mathématiques plus fondamentaux.
– l’introduction dans le programme du lycée de théorèmes qui ne sont pas démontrés en cours, voire pas clairement définis (notamment en probabilités et statistiques)
– le fait que beaucoup d’élèves ne cherchent pas les exercices et attendent la correction du prof pour pouvoir refaire par la suite des exercices-type en contrôle.
Il s’agit d’une excellente initiative et j’espère qu’elle connaitra un grand succès ! Les mathématiques m’ont toujours beaucoup intéressé, au contraire des programmes scolaires, et de ce fait j’ai hélas fini par m’en éloigner à partir du lycée, en faisant le strict minimum pour valider l’année (je m’en mords encore les doigts car cela me pénalise en physique). Et quand je lis les anciens programmes et certains ancien professeurs (tels que V.I. Arnold), je regrette énormément que le système se soit autant dégradé. Et encore, la situation était moins pire que maintenant : en faisant du soutien en lycée et en fac (ainsi que des colles), la majorité des élèves que j’ai côtoyés présentaient un niveau navrant.
Par contre le projet mériterait d’avoir son propre site internet, car si les contributions s’enchainent, un simple article sur un blog risque de ne pas offrir la meilleure présentation.
j’abonde dans le sens d’Harold : créer un site web, autonome, sous forme de blog, avec un système de syndication de contenu (flux RSS), est l’idéal, ne nécessitant aucune connaissance technique avancée
Bonjour
Après plusieurs années de lecture de ce blog, je ne peux m’empécher de réagir sur ce post. D’abord parce que l’idée parait excellente, et aussi parce que je me sens particulièrement concerné. Mais il me semble, avant d’abonder dans votre sens qu’il est nécessaire d’eclaircir un point.
Une seule chose me gene dans votre discours, ( je sais que ce post n’est pas de la plume de l’auteur de ce blog, mais j’ai déjà cru voir ce même avis exposé par lui ici ) : l’idée qu’aujourd’hui un éleve ne pourrait pas développer une passion pour les mathématiques. Idée que l’on retrouve dans ce passage notamment : "On se demande bien comment il pourrait venir à l’idée d’un élève d’aujourd’hui que les mathématiques puissent être une activité passionnante."
Je répondrais alors, qu’en est-il pour les élèves qui se passionnent pour les mathématiques, vous semblez croire qu’ils ont tous été "éclairé" par leur parents. Qu’ils n’auraient pas pu développer ce goût par eux même. Tout les élèves intégrant les facultés de mathématiques, ou même l’ens sont ils parmis ces quelques privilégié, qui ont été initié jeune aux mathématiques? Ou alors est-ce que les autres auraient pris goûts au mathématiques pour les mauvaises raisons?
Je prendrais mon cas en exemple, je suis actuellement en train de passer les oraux de l’ens, dans l’objectif de faire de la recherche en mathématiques fondamentales. Pourtant, personne dans mon entourage n’a de goûts particulier pour les mathématiques, je ne venais pas non plus d’un collège ou d’un lycée élitiste qui m’auraient apporté un enseignement de qualité supérieure à celui preconnisé par l’education nationale. Par mon exemple, je veux montrer simplement que même si l’erosion du programme est indubitablement néfaste à l’eveil de passions pour les mathématiques, il reste, et je suis convaincu qu’il restera toujours, des élèves capables de voir la beauté des mathématiques derrière ce qu’on leur apprend. Et d’ailleurs, à quoi bon constituer une base de donnée comme celle que vous suggérez si ce n’est pour répondre à la soif de compréhension qui pourrait naître face à l’absurdité des cours proposés.
Voilà pour l’éclaircissement. Mais je pense que l’idée est excellente. Cependant, avez vous envisagé que des blogs comme le votre avaient déjà partiellement le rôle que vous voulez donner à cette collection de beaux theorème ou autres exercices que vous voulez créer. Finalement pour l’étudiant moyen, la source la plus facile d’accès a des mathématiques intéressantes reste les blogs des passionés. Et, le simple regroupement des différents articles existant déjà sur la toile, je pense notamment aux vôtres, mais aussi à quelques uns des blogs des différents commentateurs de ce blog, et à bien d’autres, constituerais déjà une base intéressante, et facile à mettre en place, avant de devenir beaucoup plus complexe, j’en conviens, si il s’agit de recréer tout les programmes de la seconde à la math spé.
En tout cas, sachez que votre tentative ne sera pas vaine, si elle aboutit, car le vivier d’esprit à la recherche de la beauté mathématique est plus conséquent que vous ne semblez le croire.
En tout cas, je vous souhaite bon courage pour mener à bien votre projet, en espérant un jour pouvoir contribuer à ce genre de projet.
Et merci, à l’auteur de ce blog, ( et aux autres ) d’offrir une vision intéressantes de ce que peuvent être les belles mathématiques.
Bonne soirée
PS : mon emploi du temps m’oblige à écrire de mon smart phone, ce qui rend la relecture pénible. Je m’excuse donc pour toutes les erreurs qui ont dues se glisser dans mon commentaire
Peut–être est-il temps de préciser certains points.
D’abord, il est évident qu’il reste, et c’est heureux, des élèves qui se découvrent une passion pour les Mathématiques. Certes ! Mais combien sont-ils ? Je ne peux m’empêcher de reprendre ce que je dis parfois "les poissons volants aussi ça existe ! Mais c’est pas la majorité de l’espèce".
Cher Sylvain, vous en faîtes partie et c’est tout à votre honneur !
Même en Sup PCSI j’ai réussi à faire adorer les Maths à des élèves qui a priori n’avaient pas un penchant pour la matière.
Mais quel gâchis ! Et c’est ce gâchis que je ne supporte plus.
Je suis de surcroît à peu près convaincu qu’il existe aujourd’hui autant d’élèves susceptibles d’être intéressés par les Maths que lorsque j’étais moi-même en prépa. Malheureusement on ne les nourri plus.
Et c’est bien cela que je souhaiterais faire avec la collaboration du plus grand nombre.
Arriver à trouver sur le web des sites de Maths est une chose, arriver à se former en est une autre et j’ai cette ambition. C’est-à-dire de fournir un tout cohérent à la curiosité et au désir des lecteurs.
La cohérence de l’ensemble me paraît être une condition essentielle. C’était, malgré leurs défauts, la grande qualité des programmes 70-80. Tout y était cohérent. Chaque notion reposait sur une autre, le socle était méthodiquement construit. A partir de là, il est possible de monter ce que l’on veut.
Dois-je rappeler : algèbre linéaire dans le plan en 2e, dim 2 et 3 en 1 ere, dim 3 en TC, dim n en prépa. langage des epsilons et des voisinages introduit en 1 ere, revu en TC, topologie en prépa. On s’initiait à des véritables Mathématiques dans des cas simples, puis on accroissait le niveau. Chaque niveau d’abstraction reposait sur un niveau inférieur lui servant de support. Avec une telle méthode, on peut faire ce que l’on veut parce que l’on dispose toujours de quelque chose à quoi se raccrocher.
C’est en ce sens que je crois les programmes très importants. On peut bien sûr varier, mettre plus ou moins de ceci ou de cela mais le tout doit être solide comme une plaque continentale.
Comme le rappelle le post "mathématiques passives". Il faut en faire ! On ne peut pas se contenter de collectionner de jolis résultats ou des exercices tordus.
"Qui m’aime me suive" et contribue !
Cordialement
Je trouve l’initiative de Bertrand enthousiasmante. J’espère qu’elle verra le jour sur un site dédié.
Si ça peut être utile, voici un lien avec quelques cours, en particulier des cours de Seconde, que j’ai donné il y a plusieurs années.
Je ne l’ai pas relu, et c’est probablement très criticable. J’ai voulu expliciter des axiomes pour la Géométrie et l’Arithmétique, et en y jetant un coup d’oeil je me suis dit que c’était un peu fou…
Je reste persuadé qu’il faut quand même expliquer d’où l’on part. On peut sûrement simplifier les axiomes de la Géométrie en partant du vectoriel, et j’avais le projet de faire un cours de géométrie élémentaire utilisant ce point de vue… mais toujours remis à une date ultérieure…
Concernant le programme de prépas, je réfléchis à un contre-programme. Je le posterai sur mon blog quand il sera prêt.
AVIS AUX INTERRESSES
Pour l’instant, Math’omam accepte d’héberger mon idée.
Donc pour le moment et tant que nous ne sommes pas un nombre certain à travailler sur ce projet c’est-à-dire tant qu’il n’y a pas un nombre respectable de contributions,
LE LYCEE VIRTUEL RESTE ICI !
Vos contributions peuvent être envoyées à mathoman qui se chargera de les poster sur le site comme il l’a fait avec les miennes.
Si dans un avenir que j’espère le plus proche possible (peut-être que la proximité des vacances y contribuera-t-elle) le nombre de contributeurs et de contributions venait à atteindre un certain niveau, j’y consacrerai un site dédié, mais pour le moment nous restons à l’abris de mathoman.
Cordialement
BR
Bonjour,
Je trouve l’initiative excellente. Par contre, le lien du cours de topo générale ne fonctionne pas.
Cordialement
Bonjour,
Accepterez-vous ce commentaire d’un lecteur nul en maths ? Vous parlez des programmes d’il y 30 ou 40 ans : j’étais élève en ces temps.
Je ne suis pas un "passionné" de maths comme vous. Mais j’aime me tenir au courant de la chose scientifique, alors un minimum de bagage en maths m’est nécessaire pour "suivre" – et je trouve que l’Internet français est très pauvre sur ce sujet, quand on n’est pas soi-même mathématicien ou étudiant.
Sur la toile, je cherche des cours de maths, des tutos – à mon très petit niveau – pour avancer. Je ne rencontre que des recopies de palanquées de définitions absconses – dont je me demande si les auteurs eux-mêmes comprennent les tenants et aboutissants.
Ne pourrait-il exister des cours de maths pour des gens qui n’ont pas l’intention de devenir des champions de la résolution d’exercices. Des cours où on expose : quel est le problème ? Pourquoi a-t’on cherché dans telle direction ?
Je vous avoue, il faut des heures et des heures pour trouver l’unique page web – faite pas un non matheux – qui explique clairement et simplement le lien entre dérivée et tangente. Cela vous fait probablement sourire et est à cent lieues de vos préoccupations.
Mais quelle est la question, quel est l’objectif ? Refaire des pages pour recopier des axiomes et des définitions qui n’ont jamais été d’aucun secours pour des milliers de gens ? Faire des maths pour les matheux et ainsi alimenter la peau de chagrin que vous dénoncez ?
Sans rire, en étant plutôt nul en math, et je peux vous faire un site web de math, nickel chrome. Comme la plupart des site, je sais recopier toutes les définitions et les palanquées d’exercices et de "trucs" pour passer tel ou tel concours. Est-cela les maths ? Malheureusement pour beaucoup la réponse est oui… il faut donc pas s’étonner de la désertion pour la matière en question, de la part de ceux qui aiment se poser des questions plutôt que juste résoudre des exercices qu’ils ne comprennent pas forcément pour avoir un concours.
L’essentiel des sites parlant de maths se divisent en deux catégories : des trucs pour réussir des exercices, et des sites sur l’enseignement qui se lamentent sur la nullité des élèves. Presque aucun – à part de très très rares pages éparses – cherchent à expliquer les notions, à les situer dans un contexte, à les relier à un peu de réel, dans une vision adulte autre que de jouer à empiler les algorithmes et se faire plaisir avec des définitions (qui ne se justifient pas toujours d’ailleurs).
Je ne sais pas trop quel est l’esprit de votre projet, je viendrais voir. Pour ma part, y’a trente-cinq ans, notre prof de maths nous écrivait au tableau les axiomes et les définitions – et avec ça il pensait avoir fait son boulot. Il est évident qu’un tel blog de plus ne servirait de rien, sauf à ceux dont le niveau fait qu’il n’en ont pas besoin.
Ph.
Bonjour
L’idée de retrouver nos cours de l’époque me paraît une idée formidable à laquelle je ne pourrai malheureusement pas participer ayant fait la bêtise de jeter les miens, il y a 10 ans après les avoir entreposés dans des cartons pendant quelques dizaines d’années. Cependant , je voudrais attirer votre attention sur le fait que l’un des principaux plaisirs en mathématiques reste de résoudre un problème et que souvent la tentative de résolution nous amène à explorer d’autres questions. C’est ce plaisir qui me pousse chaque année à chercher les solutions des épreuves de l’Ens, de l’X et de l’agrég. Que les élèves en sup ou en spé en soient réduits à apprendre par coeur les solutions toutes faites d’exercices, cela me semble le résultat naturel de la compétition exacerbée de ces 2 années. Que les élèves soient moins habitués à chercher par eux-mêmes, là encore, il est plus efficace d’apprendre la solution que de la chercher. Que cela conduise à la disparition des vocations, cela me semble moins évident. Tous ceux qui ont connu ou qui connaissent encore le plaisir de trouver la démonstration d’un problème difficile ou simplement de comprendre plus subtilement une notion que l’on survolée en cours me comprendront car je pense que c’est par le biais d’exercices, d’épreuves de concours sur des sujets non vus en cours que l’on redonnera du plaisir à chercher , à explorer , à comprendre.
Voici ma vision de la prépa, après l’avoir vécue moi-même ! Enjoy 🙂 Et n’hésitez pas à faire tourner !
http://www.youtube.com/watch?v=i...
Je suis d’accord toutefois la France reste un des pays avec les meilleurs performances dans cette discipline preuve en est, nous faisons parti des pays qui ont le plus de fois remporté la médaille Fields.