Noyau de matrices carrées d’entiers consécutifs
En colles prépa, je m’inspire souvent des exercices dont j’ai lu les énoncés quelque part dans un livre, sur internet ou qu’un collègue m’a transmis oralement. Mais il m’arrive aussi, plus rarement, d’en inventer. En faisant des calculs matriciels sur une autre question je viens de tomber par hasard sur cette propriété amusante:
Soit A une matrice carrée dont les éléments sont les entiers consécutifs 1, 2, 3, etc., écrits l’un après l’autre, ligne après ligne. Comparer le noyau de A avec celui de sa transposée.
Il y a quelque chose que je ne vois pas ? J’ai dans les deux cas deux sous-espaces de dimension n-2, qui ont un sous-espace de dimension n-3 en commun. Ca ne me paraît pas particulièrement remarquable ?
Je pense que les noyaux de la matrice \(M\) et de \(~^tM\) sont les mêmes sev de \({\mathbb R}^n\), il suffit pour le voir d’écrire les systèmes d’équations.
Si \((x_1,\dots x_n)\) est dans le noyau de M alors on a n équations qui sont pour \(k=1,\dots n\)
\(nk(x_1+x_2+\dots+x_n)+(x_1+2x_2+\dots+nx_n)=0\)
qui se ramène à seulement deux équations indépendantes :
\(x_1+x_2+\dots+x_n=0\) et \(x_1+2x_2+\dots+nx_n=0\)
pour le noyau de la transposé ont trouve que les équations sont pour \(k=1,\dots n\):
\(k(x_1+x_2+\dots+x_n)+n(0.x_1+x_2+\dots+(n-1)x_n)=0\)
ou encore
\((k-1)(x_1+x_2+\dots+x_n)+n(x_1+2x_2+\dots+nx_n)=0\)
donc on retombe sur les deux même équations.
Oui, Philippe, c’est exactement ça ! Je suis content d’avoir un exo de colle de plus pour ma base de données…
En fait l’obtention des équations du système, qui peut paraitre "barbare" avec ces variables k et n, est évidente dès qu’on a l’habitude de manipuler les matrices et la numérotation de leurs cases obtenue en mettant les lignes "bout à bout" (ce qui devrait être une connaissance de base des informaticiens :-)). A retenir : pour une matrice de taille pxn la case (i,j) est numérotée n*(i-1)+j . En tout cas jolie idée d’exercice … j’aimerai bien voir ce que ça donne en colle!!
Ca s’écrit en fait très bien avec les signes de sommation. Exercice pour Math Sup ?
A noter qu’on obtient le noyau comme intersection de deux hyperplans distincts, de vecteurs normaux (produit scalaire canonique) (1, 1, ..,1) et (1, 2, 3, .., n).
Dans le cas n=1, ils sont réduits à 0 – il n’y a pas des masses d’hyperplans dans R :).
A partir de n = 2, ils sont distincts et définissent donc un sev de dimension n-2.
Pour n=2, c’est à nouveau 0.
A partir de n=3, 0 est bien valeur propre de ces matrices (ou encore : elles sont non singulières). Le sous-espace propre associé est le sev trouvé, de dimension n-2.
Je n’ai pas encore essayé de calculer les autres valeurs propres (il y en a au plus 2 !). Ces matrices sont-elles diagonalisables ?
Les mathématiques sont des gens naïfs.
Pardon, une simple faute de frappe. Je voulais dire : Les mathématiciens sont des gens naïfs, qui refusent l’impossibilité de mathématiser le monde.
Des gens grossiers.