Le taon qui veut piquer le cheval
Un cheval est relié à un poteau par un élastique qui peut se dilater de manière homogène et devenir arbitrairement long. A l’instant t=0 le cheval est à un mètre du poteau et un taon se trouve sur le milieu de l’élastique. Le cheval se met à courir avec une vitesse constante. Le taon, quant à lui, rampe à vitesse constante sur l’élastique en direction du cheval. Peut-il rattraper le cheval?
la taon ne rampe pas, il vole, donc je dirais oui sauf s’il a empalé juste avant un alcoolique (ou un prof de math…)… là je ne parierai pas sur sa trajectoire en vol ou à pied (carrément à pied vu son état)
Allez bonne nuit,
j’ai bon ? :-))
Mes savants calculs m’indiquent que si la vitesse relative du taon (celle à laquelle il progresse sur l’élastique) est non nulle, sa vitesse absolue (celle par rapport au piquet) va finir par dépasser celle du cheval, donc il va finir par rattraper celui-ci…
Raisonnement :
Si P est la position absolue (par rapport au piquet) du taon en fonction du temps, v la vitesse du cheval par rapport au piquet et v’ la vitesse du taon sur l’élastique, on établit une équation de vitesse avec d’un coté le dérivé de la position par rapport au temps et de l’autre la somme de la vitesse du référentiel élastique et de la vitesse du taon dans ledit référentiel (on se place dans un cadre non relativiste avec des vitesses très inférieures à celles de la lumière pour éviter les complications :)) :
dP/dt = x * v + v’ où x = P / (1 + v * t) , cad la position relative sur l’élastique, comprise entre 0 et 1.
ça nous fait une équation différentielle qu’on peut résoudre (merci Wolfram, mes cours de calcul différentiel sont trop loin derrière moi :)), et le résultat en découle.
Par contre, je ne suis pas complètement convaincu du raisonnement qui m’amène à établir l’équation différentielle, donc à prendre avec des pincettes…
J’ai déjà vu ça quelque part :
allken-bernard.org/pierre…
Merci à Ylrahc pour sa solution ! Comme l’a fait remarquer JLT, tout a été déjà dit chez PB il y a trois ans ! Évidemment je ne le savais pas.
Hey, mais ça veut dire que j’ai bon, chouette 🙂
J’avais effectivement remarqué vu l’accroissement de la vitesse (en log) que ça pouvait prendre un certain temps, mais la vue des applications numériques me fait plutôt dire que ça prendra un temps certain…
A propos des équations sur l’article de PB, vu qu’il généralise le problème, il me parait important de souligner l’implicité de l’hypothèse des vitesses très inférieures à celles de la lumière, si celle-ci n’est pas respectée les vitesses ne s’aditionnent plus aussi bien sinon on aurait une limace de vitesse supraluminique….
J’ai aimé le problème. Il ya du mal qui a déjà été posté auparavant. La chose importante est de garder vivante la flamme de mathématiques à l’exercice de l’esprit.
Baisers pekota