Multiplicateurs de Lagrange
En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d’une fonction f de n variables x1, … ,xn sous m contraintes données par g1(x1,…,xn)=0, … , gm(x1,…,xn)=0, alors il existe des réels λ1, … ,λm tels que
Généralement, lorsqu’on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D’habitude je me contente d’expliquer deux cas particuliers où on « voit » géométriquement ce qui se passe :
- n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d’une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.
- n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g1 et g2 en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g1(x,y,z) = g2(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.
Concernant une application de ce théorème j’ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.
Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L’exemple classique de minimisation de coût lorsqu’on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm2, le double des autres côtés n’est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l’une des variables dans l’équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.
Je n’ai pas de très bon exemple élémentaire en tête. Un exemple consiste à montrer les lois de Snell-Descartes, si on admet que la trajectoire d’un rayon de lumière doit minimiser le temps de trajet. Application : si on place une lampe sur le foyer d’une ellipse, alors les rayons de lumière passent par l’autre foyer.
"Sous m contraintes"… c’est là que l’application à l’économie ou la climatologie est le plus souvent totalement mensongère, les contraintes étant le plus souvent sorties d’un orifice obscur de l’auteur. i.e. Mutandis Mutatis et "à machin constant" sont l’objet d’un vaste tour de passe-passe.
Quelques inégalités de type "olympiade" peuvent se démontrer grâce aux multiplicateurs de Lagrange, par exemple:
Si \(a,b,c\) sont des réels positifs non tous nuls, on a:
\(\sqrt{ \frac{b+c} {2a+b+c}} +\sqrt{ \frac{c+a} {2b+c+a}} +\sqrt{ \frac{a+b} {2c+a+b}} \leq 1+ \frac{2}{\sqrt{3}}\)
Sans donner un exemple d’application, je voudrais juste dire
qu’en optimisation, il me semble résultat peut être vu de façon plutôt géométrique, en introduisant les notions de cône tangent et cône normal (polaire du cône tangent). En caractérisant le cône tangent en les points qualifiés, le cône normal est déduit directement par le Lemme de Farkas. Les conditions d’optimalités ci-dessous proviennent de la condition:
gradient f appartient au cône normal du domaine des points admissibles.
L’avantage d’une telle vision géométrique est qu’elle fonctionne même
quand les contraintes ne sont pas régulières…
Bonjour,
Je donnais souvent comme exemple en dimension 2 l’exercice classique de 4eme : le petit indien est en A et il doit aller chez lui en B en passant puiser de l’eau à la rivière D matérialisée par une droite. A et B sont du même coté de D. La symétrie axiale permet de résoudre ce problème qu’on peut aussi voir comme de l’optimisation sous contrainte. Le lieu des point M tel que le trajet soit de longueur constante entre A et B est une ellipse de foyer A et B ( il parcourt des segments de droites) et ces ellipses confocales n’ont pas d’intersection. Le problème est résolu lorsqu’on a trouvé une ellipse tangente à D.