Trouver le contour du tore

Par MathOMan, dimanche 10 avril 2011 à 19:08 - Exo, enigme, casse-tête - RSS

Hier soir j'étais chez mon ami artiste-développeur Eric Wenger. Il m'a présenté la nouvelle version de l'un des logiciels dont il est le créateur. Il s'agit d'ArtMatic Voyager avec lequel on peut créer des paysages infinis avec plantes, et beaucoup d'autres choses sans utiliser de bases de données préfabriquées...
Les projections des objets en trois dimensions sur un plan font donc partie du quotidien d'Eric. Voici un bel exercice de géométrie dans l'espace:

Décrire analytiquement le contour d'un tore de rayons r et R en fonction de l'angle $\alpha$ entre le plan du tore et la droite entre le centre du tore et l'oeil.

Le contour possède une seule partie connexe lorsque $\alpha$ est petit. Lorsque $\alpha$ augmente une deuxième partie connexe apparaît à l'intérieur; elle est d'abord singulière, puis lisse. Mais qu'est-ce que ça donne analytiquement? Des ellipses?

Différentes positions d'un tore dans l'espace

Commentaires

1. Le dimanche 10 avril 2011 à 22:55, par Wok

Des arcs des cercles de Villarceau?

2. Le lundi 11 avril 2011 à 13:42, par MathOMan

Non, pas vraiment. On voit bien sur les images que le contour n'est pas un cercle (sauf pour $\alpha=90^\circ$ ). Les cercles de Villarceau interviennent autrement dans le problème: ils sont contenus dans le plan qui détermine l'angle $\alpha$ pour lequel le contour passe du lisse au singulier.

3. Le mercredi 13 avril 2011 à 14:38, par Fabien Besnard

Une réponse : www.mathcurve.com

4. Le jeudi 14 avril 2011 à 18:34, par Math

Hum ce logiciel fait envie ! De beau paysages infinis avec de la belle herbe verdoyante ! Oui ça fait rêver.

5. Le samedi 16 avril 2011 à 14:23, par MathOMan

Oui, en effet, comme le dit Fabien Besnard, tout est dit sur le site www.mathcurve.com. Il s'agit de courbes parallèles à l'ellipse formée par le fil au milieu de la gaine (dans l'intérieur du tore).