L'âne et les radis

Par MathOMan, vendredi 17 décembre 2010 à 15:40 - Exo, enigme, casse-tête - Tags - RSS

Cette semaine Eljjdx a parlé des maths animalières. Voici un joli exercice animalier :

Un agriculteur bio a trois mille radis. Il veut les vendre sur un marché à cent kilomètres de sa ferme. Pour les transporter il n'utilise pas de fourgonnette mais son vieil âne qui porte mille radis au maximum et qui se fait récompenser par un radis tous les cent mètres.

Combien de radis peut-il vendre au maximum?

Commentaires

1. Le dimanche 19 décembre 2010 à 07:49, par Faré

2500

Compter le nombre de départs, le nombre d'arrivées, le nombre de radis dépensés rien que pour les trajets allers et retours correspondant à ces departs et arrivées. Donner un exemple trivial qui justifie que ce maximum est atteint. Prier pour l'âme du baudet après qu'il ait été vendu, abattu ou laissé à mourir de faim après la dernière arrivée.

2. Le dimanche 19 décembre 2010 à 08:02, par Faré

Ah zut, tous les cents mètres, pas tous les kilomètres. La réponse est alors 500, et le raisonnement est un peu plus compliqué. Exemple avec premier voyage préparatoire au quart du trajet, puis second voyage à la moitié, puis sprint final. Preuve d'optimalité un autre jour.

3. Le dimanche 19 décembre 2010 à 10:51, par Yves

Je pense que la réponse est que le fermier pourra vendre 533 radis au maximum. Voici un petit essai d'argument.
Il doit utiliser son âne au maximum de ses possibilité, c'est-à-dire toujours le faire démarrer avec sa charge maximale de 1000 radis. Dans un premier temps, il va aller transporter aussi loin que possible 2000 radis. Un simple calcul nous amène à 20km de son point de départ. Dans un deuxième temps, il va amener 1000 radis aussi loin que possible. Ce n'est pas possible avex des nombres entiers (il doit faire trois trajets). Il pourra amener 999 radis à 53,4km de son point de départ. Il lui reste un sprint final de 46,6km qui lui coûtera 466 de ses 999 derniers radis (après un tel travail, l'âne recevra son dernier radis). Il conserve alors 533 radis à vendre.

4. Le dimanche 19 décembre 2010 à 21:51, par Tukikun

L'âne en transporte 1000, fait 20 km et en dépose 600. Il répète cette opération et en a donc 1200 à 20 km. Il prend les 1000 radis restants, parcourt les 20km. Il a donc 2000 à 20 km. Il en prend 1000 puis fait 33,3 km et en pose 334, puis revient à 20km. Il prend les 1000 radis restants et les transporte au kilomètre 53,3 où il se trouve avec 1001 radis. Il reste donc 46,6 km, et l'âne consomme alors 466 radis.

Il en reste donc 534 !

5. Le dimanche 19 décembre 2010 à 22:02, par Tukikun

Ah, et bien entendu, si il compte revenir avec son âne, il peut laisser tomber le voyage : il ne vendra rien du tout ! ;-)

6. Le lundi 3 janvier 2011 à 13:51, par Alan

L'âne ne peut porter que 1000 radis pour aller de la ferme au marché.L'âne mange 1 radis tous les cents mètres,soit 10 radis tous les kilomètres et donc 1000 radis tous les cents kilomètres.En arrivant au marché,l'agriculteur bio ne pourra vendre aucun radis.

7. Le lundi 3 janvier 2011 à 14:01, par MathOMan

Désolé, Faré et Alan, mais Yves et Tukikun ont raison : il peut amener 533 radis au marché. En revanche, la solution d'Yves comporte une petite erreur. En fait, le deuxième dépôt devrait être à 53,3 km, comme proposé par Tukikun, car sinon on arrive avec seulement 532 radis au marché.

Voici le tableau avec 53,4 km. Indiqué en bleu la position de l'âne :

0 km 20 km 53,4 km 100 km

3000

2000 800

2000 600

1000 1400

1000 1200

2000

1000 666

1000 332

998

532

Parcours = 5×20 km + 3×33,4 km + 46,6 km = 246,8 km.
Il reste donc 3000 - 2468 = 532 radis à la fin ce qui n'est pas optimal.

Et maintenant la bonne solution avec 53,3 km :

0 km 20 km 53,3 km 100 km

3000

2000 800

2000 600

1000 1400

1000 1200

2000

1000 667

1000 334

1001

1 533

Le fait que Tukikun ait trouvé 534 radis au final vient du fait que l'énoncé n'est pas clair sur un détail : est-ce que l'âne consomme son radis chaque fois au début des cent mètres ou pendant les cent mètres ? S'il peut le prendre dans la bouche au début il n'est pas obligé de laisser un radis sur place et le résultat est 534.

8. Le lundi 3 janvier 2011 à 22:35, par JLT

Heureusement qu'il ne doit pas parcourir 5000 km, le pauvre âne, sinon même convertir toute la Terre en radis ne suffirait pas.

D'ailleurs, ça me rappelle un peu l'équation de la fusée : plus on veut que la fusée aille vite, plus il faut de carburant. Mais plus la fusée emporte de carburant, plus elle a de l'inertie.

9. Le dimanche 23 janvier 2011 à 22:21, par Gérard

Trois voyages directs: 10 radis/km - 3000 - 3*100*10 = 0
Deux voyages 66.6666km + un de 33.3333 km :
3000 - 3*66.666*10 = 1000
1000 - 1*33.333*10 = 666 radis restants
Trois voyage 33.3333km + deux de 66.6666 km :
3000 - 3*33.3333*10 = 2000
2000 - 2*66.666*10 = 666 radis restants

C'est l'optimun car avec ce partage des distances il part toujours avec sa chage max de 1000 radis.

10. Le lundi 24 janvier 2011 à 00:48, par MathOMan

Désolé, Gérard, mais je ne comprends pas comment vous arrivez à 666 radis restants à vendre. Pouvez-vous expliquer en détail votre raisonnement ?

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