Pour savoir pour quel la série est convergente, on fait une comparaison avec une intégrale, c'est-à-dire on démontre (par exemple par un dessin) l'encadrement suivant, valable pour tout entier n > 1,

Par intégration il en résulte que

En faisant tendre n vers l'infini on conclût que la série converge si et diverge vers l'infini si

Question de colle :

Soit une série convergente. Est-il vrai que est également convergente ?

Voici quelques sujets et corrigés de baccalauréat classés selon l’année et la série. Cette liste grandira avec le temps, donc n’hésitez pas à revenir pour la consulter. Sur la page “préparer son bac” vous trouverez quelques suggestions pour mieux réussir.

Annales bac mathématiques & corrections

Avril 2009 Pondichéry Série ES	Sujet du bac ES mathématiques	Corrigé
Juin 2008 France Série S	Sujet du bac S mathématiques	Corrigé
Juin 2008 Asie Série S	Sujet du bac S mathématiques	Corrigé
Juin 2006 France Série L	Sujet du bac L mathématiques-informatique	Corrigé

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Étienne Ghys, Jos Leys et Aurélien Alvarez ont réalisé une très belle série de films en images de synthèse sur les mathématiques. Chaque vidéo est un récit scénarisé d'un mathématicien qui raconte ses découvertes d'une manière très compréhensible. C'est bien écrit et les visualisations correspondent exactement au texte ; on prend le temps d'expliquer ce type de maths sans beaucoup de formules.

Cliquez sur l'image

Le niveau recquis des différents épisodes est très divers. Aux lycéens en terminale S je recommande l'épisode 5 qui explique de manière simple ce que c'est un nombre complexe.
En revanche, les épisodes 7 et 8 qui parlent, entre autres, de la fibration de Hopf, vont plutôt profiter aux initiés en topologie en basses dimensions.

En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x₁, ... ,x_n sous m contraintes données par g₁(x₁,...,x_n)=0, ... , g_m(x₁,...,x_n)=0, alors il existe des réels λ₁, ... ,λ_m tels que

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

• n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.


• n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g₁ et g₂ en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g₁(x,y,z) = g₂(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm², le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.

Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

• Multiplication posée du bon élève.




 

• Méthode du cancre.
 




Mode d'emploi : A gauche on prend toujours la moitié en arrondissant, s'il le faut, vers le bas ; à droite on prend toujours le double. Puis on supprime les lignes (en noir) dont le nombre gauche est pair et à droite on additionne les lignes restantes (en rouge).
 
 

• Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).
On sépare chaque facteur en deux parties

puis on effectue les multiplications suivantes :



Le résultat est ensuite

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
 
Questions

1. Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
2. Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
3. Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
4. En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

Certainement vous avez déjà imaginé que vous jouez aux Time Bandits et que vous voyagez dans le temps ; et que vous avez en plus le droit d'amener des objets et votre savoir actuel avec vous...
Or si je prends mon téléphone portable avec moi et je voyage dans les années 1970 cet appareil ne me servira strictement à rien. Et si j'amène mon vélo (et sa pompe !) dans l'époque de l'Empire Romain (je me le suis déjà souvent imaginé) ça ferait un énorme tabac, certes ; mais après avoir roulé pendant un an sur les routes romaines j'aurais besoin de pièces de rechange et je n'en trouverais pas. Et Néro qui m'a donné une tonne d'or car je lui ai promis de faire construire des milliers de vélos pour son armée m'envoie aux lions du Circus Maximus car les ingénieurs de l'époque n'arrivent pas à réaliser des roulements à billes performants...

C'est pourquoi finalement le meilleur bagage à amener me semble des concepts intellectuels, universels et non liés à un environnement technique particulier. Par exemple, j'aimerais bien voyager au 17^e siècle et expliquer à Leibniz pourquoi il avait tort à croire que la série

convergait vers ½. En fait, il disait que cette série convergait à la fois vers 0 et vers 1, donc vers ½ et que c'était là une preuve de l'existence de dieu... Mais la bonne définition de la notion de limite, si fondamentale, n'a été trouvée que 150 ans plus tard par Weierstrass. La voici :

C'est sous cette forme que l'on enseigne la limite aux lycéens (ou au moins on le faisait il y a une vingtaine d'années). C'est donc une idée plutôt basique — mais il fallait la trouver !

Sondage de mes lecteurs : Qu'est-ce que vous aimeriez amener lors d'un voyage dans le temps ? Et à qui voudriez-vous présenter votre savoir ? Laissez vous guider par votre fantaisie de mathématicien ;-)

Pour finir la semaine avec un peu d'humour voici quelques jeux de mots.

   Tout ce qui est hideux est négatif.

   Et le désir s'accroît quand l'effet se recule.

    En effet, si on fait fi de x, on n’en fait pas grand cas...

Voici un drôle de sketch extrait d'une série norvégienne d'il y a quelques années. Il s'agit d'une sorte de Tech Support médieval, juste au moment de l'apparition d'un tout nouveau moyen de stockage d'information : le livre.

La remarque que fait le moine à son consultant IT du helpdesk est d'ailleurs très typique pour de telles périodes de transition : le système précédent, les rouleaux, seraient plus pratiques que les livres, ils n'y avait pas toutes ces pages à tourner...

A l'occasion de la solution d'un joli exercice de type colle sur les matrices (voir le blog de Pierre Lecomte), je suis naturellement amené à poser la question suivante.

Soit A une matrice inversible à coefficient dans un corps. Alors par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en la matrice unité. En fait c'est la méthode du pivot de Gauss qui permet cela. On en déduit que A est un produit de matrices correspondantes aux trois types d’opérations élémentaires (permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout d’une ligne à une autre).
Cette écriture en produit est pratique car elle permet de prouver plein de choses. Par exemple, pour montrer que le déterminant conserve les produits il suffit de le vérifier pour la multiplication entre une matrice de ce type et une matrice quelconque — et c'est tout facile.

Or comment ça se passe-t-il sur un anneau ? Plus précisément :

Soit R un anneau commutatif et A une matrice carrée avec coefficients dans R telle que det(A) est une unité de R. On sait que A est une matrice inversible (c’est du classique, voir par exemple ici pour la formule qui donne l'inverse en fonction de (det A)^-1 et de la comatrice).
Question : Peut-on ramener A à la matrice unité par des opérations élémentaires ?

Peut-être avez-vous déjà réfléchi là-dessus et connaissez la réponse...

Il y a beaucoup de lycées français dans le monde entier mais il n'y a qu'un seul bac français. Ca demande une grande organisation (gérée par l'Agence pour l'enseignement français à l'étranger title="AEFE - Agence pour l'enseignement français à l'étranger"), car les dates des épreuves varient de continent en continent. Le candidats métropolitains s'intéressent chaque année au sujets de bac posé à Pondichéry en Inde, qui est le premier centre d'examen de l'hémisphère nord à passer le bac. Cette année la date de l'épreuve de maths en Inde était le 16 avril.

Je viens de mettre en ligne le sujet de l'épreuve de mathématiques de la série ES et j'ai rédigé un corrigé.

Je trouve toujours intéressant les barèmes des QCM. Dans cette épreuve le QCM est sur 3 points, et ça se présente ainsi :

Pour chacune des quatre questions suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
Barème : Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera ramenée à zéro.

Forcément, si on n'attribue jamais de total négatif alors, en termes de probabilités, c'est un jeu à espérance strictement positive, c'est-à-dire un candidat mal préparé a tout intérêt à répondre au hasard plutôt que de rien répondre. En fait, faisant le calcul, on trouve qu'un candidat répondant au hasard peut s'attendre à obtenir une moyenne de sur cet exercice à 3 points.

Voilà la bac 2009 arrive... Voici les dates des épreuves (sous réserve d'erreurs — ne me tenez pas responsable si vous arrivez en retard !)

Dates des épreuves de bac série S

• Jeudi 18 juin 2009, 8h-12h : Philosophie
• Vendredi 19 juin, 8h-11h30 : Physique-chimie
• Vendredi 19 juin, 14h-17h30 : Sciences de la vie et de la terre ou Biologie-Écologie
• Vendredi 19 juin, 14h-18h : Sciences de l’ingénieur
• Lundi 22 juin, 8h-12h : Français (classe de 1ère)
• Lundi 22 juin, 14h-17h : LV1
• Mardi 23 juin, 8h-12h : Mathématiques
• Mardi 23 juin, 14h-16h : LV2 étrangère ou régionale
• Mercredi 24 juin, 8h-12h : Histoire-géographie

Le conseil de MathOMan

A partir de mardi 19 juin ne travaillez plus, fermez vos livres et rangez vos fiches de révisions. L'apprentissage en dernière minute ne sert à rien, ni en maths ni dans les autres matières ; si vous avez travaillé régulièrement pendant toute l'année vous devriez passer l'épreuve sans problème majeur — et si vous n'avez pas travaillé, alors assumez... Donc mardi, mercredi, puis les jours des épreuves, rélaxez, sortez, faites du sport pour oxygéner votre cerveau, c'est crucial pour bien réussir ; pour la même raison, si votre centre d'examen n'est pas trop loin allez-y à vélo ou à pied !

I will Survive!

Voici un petit clip musical à la Gloria Gaynor, tournée par de jeunes apprentis matheux américains. Alors apprenez bien vos dérivées pour survivre l'épreuve du bac en maths !

Récemment en colle d'arithmétique j'ai posé la question suivante :

Soient x, y, z trois entiers vérifiant

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.

La solution que j'attendais de l'élève n'est pas compliquée (faire une preuve par l'absurde en étudiant l'équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète — enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat... Qui peut donc m'éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?

Explication pour les non-matheux

Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d'un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n'existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant

.

Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C'est seulement en 1994 qu'Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd'hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.

Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l'équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.

Pour revenir à l'histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :

• D'abord l'équation de Fermat est une généralisation d'une autre que tout le monde connaît, à savoir l'équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c'est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
• L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
• L'énoncé n'a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
• Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l'ont fait pour l'honneur de l'esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu'ils ont développés ont fait avancer toute la science.
• Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l'équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.