Faut-il un corps pour la méthode du pivot ?

Par MathOMan, jeudi 30 septembre 2010 à 19:36 - Maths pour matheux - Tags - RSS

A l'occasion de la solution d'un joli exercice de type colle sur les matrices (voir le blog de Pierre Lecomte), je suis naturellement amené à poser la question suivante.

Soit A une matrice inversible à coefficient dans un corps. Alors par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en la matrice unité. En fait c'est la méthode du pivot de Gauss qui permet cela. On en déduit que A est un produit de matrices correspondantes aux trois types d’opérations élémentaires (permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout d’une ligne à une autre).
Cette écriture en produit est pratique car elle permet de prouver plein de choses. Par exemple, pour montrer que le déterminant conserve les produits il suffit de le vérifier pour la multiplication entre une matrice de ce type et une matrice quelconque — et c'est tout facile.

Or comment ça se passe-t-il sur un anneau ? Plus précisément :

Soit R un anneau commutatif et A une matrice carrée avec coefficients dans R telle que det(A) est une unité de R. On sait que A est une matrice inversible (c’est du classique, voir par exemple ici pour la formule qui donne l'inverse en fonction de (det A)^-1 et de la comatrice).
Question : Peut-on ramener A à la matrice unité par des opérations élémentaires ?

Peut-être avez-vous déjà réfléchi là-dessus et connaissez la réponse...

Commentaires

1. Le jeudi 30 septembre 2010 à 20:46, par JLT

Même pour des matrices de déterminant 1, la réponse est non en général. Ceci est lié à la K-théorie algébrique (et plus précisément au $K_1$ ). Voir sur Wikipedia Algebraic K-theory.

2. Le vendredi 1 octobre 2010 à 14:21, par MathOMan

Merci, la réponse vient de JLT, un spécialiste de la K-théorie. J'ai seulement des vagues souvenirs de questions similaires dans mon mémoire de maîtrise qui portait sur des fibrés vectoriels, des modules projectifs et le théorème de Quillen-Suslin... Le temps a fait du ménage dans ma tête ;-)

3. Le samedi 2 octobre 2010 à 19:33, par Blasselle

Il est possible d'effectuer la méthode du pivot sur certains anneaux, appelons les : Anneaux de Gauss.

Tout anneau unitaire commutatif (pas forcément intègre) admettant un élément x tel que tout élément non inversible est divisible par x, est un anneau de Gauss.
Il existe bien sur de tels anneaux, par exemple les anneaux locaux dont l'idéal maximal est principal.

De plus si on considère (A_i) une famille d'anneau de Gauss alors l'anneau A obtenu en faisant le produit cartésien de ces anneaux est aussi un anneau de Gauss.

J'ai fais de ces deux résultats dont j'ai eu l'idée deux développements pour l'agrégation en les appliquant à Z/nZ vu comme produit de Z/p^i Z et à l'anneau des séries formelles K[[X]].

Je pourrais en rédiger une preuve si cela vous intéresse.

4. Le dimanche 3 octobre 2010 à 13:39, par MathOMan

Bien sûr une preuve serait intéressante pour moi et les lecteurs du blog ! Quand vous écrivez admettant un élément x tel que tout élément non inversible est divisible par x je crois que c'est incomplet et qu'il faut demander en plus que x soit non-inversible (car sinon on peut prendre x=1 et tout anneau unitaire serait de Gauss).

5. Le dimanche 3 octobre 2010 à 15:13, par Blasselle

En effet, et il y a même deux erreurs dans mon post ci-dessus.
D'une part x doit être non-inversible.
Et d'autre part le produit cartésien doit être fini.

Très bien je rédigerais un papier là dessus où je démontrerais même un peu plus...

6. Le lundi 4 octobre 2010 à 09:30, par JLT

Il me semble que si A est un anneau (commutatif unifère) non nécessairement intègre possédant une division Euclidienne, alors toute matrice de déterminant inversible a est produit de matrices de transvection élémentaires et de la matrice de dilatation $\mbox{diag}(1,\ldots,1,a)$ . En gros, l'idée est de faire des divisions Euclidiennes dans la première colonne jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul terme non nul. En faisant encore 2 opérations élémentaires, on se ramène à ce que ce terme soit égal à 1 et se trouve en haut à gauche. On continue ensuite dans la 2e colonne, etc.

7. Le lundi 4 octobre 2010 à 11:22, par Blasselle

Oui je l'avais dors et déjà rédigé dans mon papier mais cela ne marche pas dans tout les anneaux unifère loin de là...

Cette méthode ne marche que pour des anneaux euclidiens. D'ailleurs j'ai remarqué que beaucoup font la confusion et utilise ainsi la division euclidienne à tord.

8. Le mercredi 6 octobre 2010 à 20:03, par MathOMan

Voilà l'article sur les anneaux de Gauss que Jérémy Blasselle nous a rédigé. Je lui remercie beaucoup !

9. Le mercredi 6 octobre 2010 à 20:36, par JLT

Dans l'article de Jérémy Blasselle, il est sous-entendu que si I est un idéal de A, alors $SL_n(A)\to SL_n(A/I)$ est toujours surjective, ce qui ne me semble pas évident (c'est même peut-être faux).

10. Le jeudi 7 octobre 2010 à 17:58, par JLT

P.S. Voici un exemple où $SL_n(A)\to SL_n(A/I)$ n'est pas surjective. Considérons $A=C(B_4)$ l'anneau des fonctions continues sur la boule Euclidienne de $\mathbb{R}^4$ , à valeurs complexes. Alors $C(S^3)$ est un quotient de $A$ , donc de la forme A/I (en fait, I est l'idéal des fonctions continues sur la boule qui s'annulent sur la sphère). Montrons que $SL_2(A)\to SL_2(A/I)$ n'est pas surjective. Cela revient à montrer que $C(B_4,SL_2(\mathbb{C})) \to C(S^3,SL_2(\mathbb{C}))$ n'est pas surjective. Autrement dit, il faut montrer qu'il y a une fonction de $S^3$ dans $SL_2(\mathbb{C})$ qui n'est pas homotope à une fonction constante. Or, $SL_2(\mathbb{C})$ est homéomorphe à $SU(2)\times \mathbb{R}^3$ et $SU(2)$ est homéomorphe à $S^3$ , donc la conclusion vient du fait que $\pi_3(S^3)$ n'est pas trivial.

11. Le jeudi 7 octobre 2010 à 19:45, par MathOMan

Merci pour cette très beau contre-exemple ! Je vulgarise un peu, et JLT me dira ensuite si j'ai bien compris.

La restriction induit un morphisme d'anneaux $A=C(B_4,\mathbb{C})\to C(S^3,\mathbb{C})$ . C'est même un épimorphisme car toute fonction continue (à valeurs complexes) sur la sphère peut se prolonger en fonction continue sur la boule. Son noyau I est l'idéal des fonctions continues sur la boule et nulles sur son bord. Ainsi la restriction induit un isomorphisme $A/I\to C(S^3,\mathbb{C})$ .

On a
$SL_2(A)=SL_2(C(B_4,\mathbb{C}))=C(B_4,SL_2(\mathbb{C}))$ et $SL_2(A/I)=SL_2(C(S^3,\mathbb{C}))=C(S^3,SL_2(\mathbb{C}))$ .

Il faut trouver un élément de $C(S^3,SL_2(\mathbb{C}))$ qui ne s'obtient pas par restriction à partir d'une application définie sur la boule. Pouvoir prolongement une fonction de la sphère à la boule n'est plus garanti maintenant car il s'agit d'applications à valeurs dans $SL_2(\mathbb{C})$ . Plus précisément on a :
Une fonction continue sur la sphère est prolongeable en une fonction continue sur la boule si et seulement si elle est homotope à une fonction constante. En effet, la boule étant union de sphères concentriques il suffit d'interpréter le paramètre $r\in[0,1]$ de l'homotopie comme le rayon de ces sphères ; pour r=0 on a bien une constante.

Le reste est alors un petit raisonnement sur les groupes d'homotopie.

12. Le vendredi 8 octobre 2010 à 13:13, par Blasselle

Dans la seconde preuve du théorème 1.5, on a en fait bien une surjection si le quotient A/I est un anneau de Gauss (ce qui est le cas ici). En effet Sln(A/I) est engendré par des matrices de transvections qui peuvent se relever en des matrices de transvections de Sln(A).
Du coup la preuve de JLT est doublement intéressante puisqu'elle fournit un exemple d'anneau qui n'est pas de Gauss.

Et vous avez raison, le (i) de la proposition 1.6 est en effet totalement faux et il en est de même pour la première preuve du corollaire 1.7. Honte à moi... Du coup, j'ai tout de même bien fait de donner deux preuves pour ce résultat.

Actuellement j'essaye de démontrer que si A est intègre, alors A[X] est de Gauss si et seulement si A est un corps.
Je pense avoir trouvé une matrice de Sl2(A[X]) qui n'est pas engendré par les matrices de transvections si A n'est pas un corps mais je n'arrive pas à le démontrer.
Il s'agit de la matrice suivante : $\begin{pmatrix} a^2 & aX+1 \\ aX - 1 & X^2 \end{pmatrix}$ .

13. Le vendredi 8 octobre 2010 à 21:18, par JLT

Mathoman : oui, c'est bien ce que je voulais dire.

En ce qui concerne le fait que, étant donné une fonction continue f définie sur la sphère S, f est homotope à une fonction constante si et seulement elle se prolonge à la boule B :

La donnée d'une homotopie entre f et une fonction constante équivaut à la donnée d'une application continue F définie sur le cône $C = ([0,1] \times S)/(\{0\}\times S)$ dont la restriction à $\{1\}\times S$ est f. Or, l'application $(t,x)\mapsto tx$ induit une bijection continue g de C vers B. Un argument de compacité entraîne que g est un homéomorphisme. Par conséquent, la donnée d'une homotopie équivaut à celle d'une application continue sur B dont la restriction à S est f.

J'en profite pour dire que j'aurais pu raisonner sur $SL(2,\mathbb{R})$ dont le $\pi_1$ est non trivial, ce qui aurait rendu l'argument plus facile à appréhender si on ne connaît pas les groupes d'homotopie supérieurs.

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Revisitons la multiplication !

Par Mathoman, samedi 3 janvier 2009 à 14:31 - Maths pour tous - Tags

Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

Multiplication posée du bon élève.

Multiplication posée de deux nombres, comment calculer le produit de deux nombres

Méthode du cancre.

Comment multiplier deux nombres, méthode des paresseux

Mode d'emploi :

Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).

Algorithme pour la multiplication de Karatsuba

Trouver le produit de deux nombres entiers

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.

Questions

Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

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Une preuve à prendre avec précaution

Par Mathoman, dimanche 8 novembre 2009 à 23:17 - Maths pour tous - Tags

Le fait que

0,999999... = 1

est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration de cette égalité.

On pose
X = 0,99999...
Alors on a l'égalité
10X = 9,99999...
dont on soustrait la première,
9X = 9,00000...
D'où X = 1.

Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve — mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 × 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.

Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :

Une bien meilleure méthode

On pose X = 0,99999... et on part de

0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X

donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,

0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.

En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient

1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.

Autrement dit,

1 > 0,1 > 0,01 > 0,001 > 0,0001 > ... > 1 - X.

Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1. CQFD

Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.

Brenoms

D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.

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Inversibilité d'une matrice

Par Mathoman, jeudi 21 janvier 2010 à 21:21 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Soit A la matrice carrée d'ordre 20 définie par les propriétés suivantes :

le coefficient d'indice (j,k) vaut 0 si k=j,
le coefficient d'indice (j,k) vaut 4 si k-j est pair et non-nul,
le coefficient d'indice (j,k) vaut 5 si k-j est impair.

Montrer que la matrice A est inversible (sur le corps des rationnels).

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Avis de recherche

Par Mathoman, vendredi 6 février 2009 à 12:38 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Mon ami Laurent Kaczmarek souhaite recenser toutes les démonstrations du résultat suivant d'algèbre linéaire.

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n'est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts.

Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

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Le piège d'une méthode qui marche...

Par Mathoman, jeudi 20 novembre 2008 à 14:03 - Humour - Tags

Mystères de la psychologie

Posez les deux questions suivantes à un ami.

"Comment demandes-tu l'heure à un sourd?" — Probablement il fera un geste.
"Comment demandes-tu un peigne à un chauve?" — Probablement il fera également un geste... au lieu de demander simplement!

Exemple:

Elèves en math spé Lycée Fénelon-Sainte Marie

Presque tout le monde tombe dans ce piège. Et très souvent, si plusieurs personnes sont présentes, ce n'est pas la personne à laquelle on a adressé la parole qui répond mais une autre qui se sent moins observée!

Nous mathématiciens sommes les spécialistes de la généralisation. Si nous avons trouvé une méthode pour résoudre un problème particulier nous essayons de l'adapter à des situations similaires ou plus générales. Nous sommes (dé)formés ainsi et ça fonctionne — au prix que ça n'aboutit pas toujours à la méthode la plus élégante.

Les juristes, en revanche, ont l'habitude de considérer chaque cas de manière indépendante. En effet, tout avocat sait que le fait d'avoir gagné un procès aujourd'hui n'implique pas qu'un procès identique sera gagné demain.
Je posais la question du peigne aussi à mes amis juristes et avocats. Sans avoir procédé à une statistique fiable, j'ai l'impression que le pourcentage des piégés est inférieur chez eux que chez les mathématiciens.

Deux autres exemples:

Philippe Calderon, réalisateur de film

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Maths tordues ou tortues ?

Par Mathoman, vendredi 17 octobre 2008 à 13:45 - Sujets hors sujet - Tags

Définition (selon Wikipédia) : Un Gömböc (mot hongrois) est un corps homogène tridimensionnel convexe comportant un unique point stable et un unique point instable d'équilibre. Posé n'importe comment, il revient toujours à la même position.

La question de trouver un tel corps fût posée par le mathématicien russe Vladimir Arnold et était résolue l'année dernière par deux mathématiciens hongrois. La vidéo suivante montre que certaines tortues ont une carapace qui ressemble à un Gömböc.

Et pour finir avec la même espèce animal voici un très beau dessin connexe (dessiné d'un seul trait) par un artiste de Vanuatu (république en Océanie), spécialisé en dessins de sable. Il part d'une simple grille de référence, donc avec un cahier d'école on devrait pouvoir y arriver... Tout le monde peut s'y entraîner durant des leçons ou séminaires ennuyeux (-;

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Blagues de matheux

Par Mathoman, mardi 16 septembre 2008 à 10:59 - Humour - Tags

Classer les gens

Il y a trois sortes de gens au monde: ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas compter.
Il y a deux sortes de gens au monde: ceux qui pensent que le monde peut être divisé en deux sortes de gens et ceux qui pensent que ce n'est pas possible.
Il y a 10 sortes de gens au monde: ceux qui comprennent la notation binaire et ceux qui ne la comprennent pas.

Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ?

Aucun. C'est laissé au lecteur en exercice.
Aucun. Un mathématicien ne peut pas changer une ampoule, mais il peut prouver que cela est faisable.
Un. Il la donne à un physicien et ramène ainsi le problème à un problème précédemment résolu.
La solution est triviale.
Un seul, une fois que vous avez réussi à lui présenter le problème dans des termes qu'il peut comprendre.

Combien faut-il d'analystes pour changer une ampoule ?
Trois. Un pour prouver l'existence, un pour prouver l'unicité et un pour déterminer les condtions initiales.

Combien faut-il d'analystes numériques pour changer une ampoule ?
3,9967 (après six itérations)

Combien faut-il de mathématiciens constructivistes pour changer une ampoule ?
Aucun. Ils ne croient pas au rotations infinitésimales.

Combien faut-il de géomètres classiques pour changer une ampoule ?
Cela ne peut pas être fait à la règle et au compas.

Combien faut-il de topologistes pour changer une ampoule ?
Un seul. Mais que fait-il du beignet ??

Combien faut-il de Bourbakistes pour changer une ampoule ?
Changer une ampoule est un cas particulier d'un problème plus général concernant l'entretien et la réparation d'un système électrique. Pour déterminer un minorant et un majorant du nombre de personnes nécessaires, nous devons vérifier si les conditions du lemme 2.1 (disponibilité du personnel) et ceux du corollaire 2.3.55 (motivation du personnel) sont vérifiées. Si et seulement si ces conditions sont réunies, on obtient le résultat en appliquant le théorème de la section 3.11.23. Le majorant obtenu est, bien sûr, à prendre en compte dans un espace mesuré, muni de la topologie *-faible.

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Multiplicateurs de Lagrange

Par Mathoman, samedi 5 novembre 2011 à 10:57 - Enseigner les maths - Tags

En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x₁, ... ,x_n sous m contraintes données par g₁(x₁,...,x_n)=0, ... , g_m(x₁,...,x_n)=0, alors il existe des réels λ₁, ... ,λ_m tels que

grad f(P) = λ₁ grad g₁(P) + ··· + λ_m grad g_m(P).

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.

n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g₁ et g₂ en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g₁(x,y,z) = g₂(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm², le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.

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Les limites des logiciels de calcul formel?

Par Mathoman, mardi 29 mars 2011 à 17:24 - Maths pour matheux - Tags

Dans ce billet j'ai posé l'exercice de montrer que la loi binaire

x¤y := x(y²+1)^½+y(x²+1)^½

définit une structure de groupe sur l'ensemble des réels. Le seul obstacle est l'associativité; la preuve n'est pas très difficile (il s'agit d'un simple transport de la loi + par le sinus hyperbolique). Mais avec Maple je n'arrive pas à faire la preuve par force brute; en effet, je ne sais pas comment faire en sorte que le logiciel simplifie l'expression concernée (tandis que le logiciel Xcas y arrive, comme l'a remarqué Tukikun).

Dans le même esprit, je me demande si quelqu'un arrive à démontrer avec Maple que, sur les courbes elliptiques (réelles), l'addition par la méthode des sécantes est associative. Je n'y suis pas arrivé.

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Remarques sur l'enseignement des math au collège

Par Mathoman, samedi 27 mars 2010 à 14:37 - Enseigner les maths - Tags

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

$\frac3{40}\;+\;\frac1{12}\;+\;\frac3{8}\;.$

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

$\begin{array}{rcl} \frac3{40}\;+\;\frac1{12}\;+\;\frac3{8} \;&=&\;\frac3{2^3\times5}\;+\;\frac1{2^2\times3}\;+\;\frac3{2^3} \\ \;&=&\;\frac{3\times3}{2^3\times3\times5}\;+\;\frac{2\times5}{2^3\times3\times5}\;+\;\frac{3\times3\times5}{2^3\times3\times5} \\&&\phantom{\frac{\frac AA}{\frac AA}}\\ \;&=&\;\frac{9+10+45}{2^3\times3\times5}\;=\;\frac{64}{2^3\times3\times5}\;=\;\frac{8}{3\times5}\;=\;\frac{8}{15} \end{array}$

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est $2^3\times3\times5$ car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle. On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite. En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

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