Approximation d'une intégrale

Par MathOMan, mercredi 16 juin 2010 à 19:39 - Exo, enigme, casse-tête - Tags - RSS

Un ami m'a envoyé une belle collection d'exercices dont je parlerai bientôt sur ce blog (c'est ici). L'une des questions est simplement :

Calculer la moyenne de sin¹⁰⁰(x) avec une précision de 10%.

Je suppose qu'il faut comprendre calculer la moyenne sur un intervalle de période (par exemple entre 0 et pi).
Selon l'auteur de cette liste de problèmes, un étudiant qui ne sait pas faire cet exercice en cinq minutes n'aurait aucune maîtrise des mathématiques... Qu'en est-il de vous ? :-)

Et pour rallonger un peu ce billet, voici deux belles phrases.

Algebriquement parlant, Mr M. est execrable, mais Mr G. est (x+1)ecrable.
— Edgar Alan Poe

Même le nombre le plus fort a besoin des nuls : 100000000.
— Zarko Petan

Commentaires

1. Le jeudi 17 juin 2010 à 09:13, par JLT

Il y a au moins 2 methodes permettant de trouver la reponse en moins de 5 minutes, a condition d'avoir deja vu certains exercices classiques de niveau classe prepa ou L2. Sinon, il faut probablement une heure a un etudiant ayant une bonne maitrise des mathematiques pour trouver la solution.

2. Le jeudi 17 juin 2010 à 10:06, par mstoenescu

Il s'agit d'une (célèbre ?) liste de V.I.Arnold ? Le quatrième problème est ..."trouver la centième dérivée d'une (certaine) fraction " ?

3. Le mardi 29 juin 2010 à 09:27, par francky

Pensons par exemple à Wallis...

4. Le mercredi 6 juillet 2011 à 13:50, par Etienne

Intuitivement, 100 est tellement grand et une suite géométrique convergeant tellement vite vers 0 quand la raison est dans ]-1;1[, je dirais 0, je ne dois pas me tromper de plus de 10 %. Evidemment, ce n'est pas une preuve.

5. Le vendredi 22 juillet 2011 à 21:58, par MathOMan

Si tu te trompes car il s'agit d'une valeur x strictement positive (même si c'est très petit) et 0 est à 100% de x. (Le pourcentage se refère évidemment à la valeur x.)

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Pourquoi ne pas lire aussi :

Série classique convergente

Par Mathoman, vendredi 29 octobre 2010 à 09:39 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Pour savoir pour quel $\alpha>0$ la série $\sum_{k=1}^\infty\,\frac1{k^\alpha}$ est convergente, on fait une comparaison avec une intégrale, c'est-à-dire on démontre (par exemple par un dessin) l'encadrement suivant, valable pour tout entier n > 1,

$\int_2^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\;<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\int_1^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\:.$

Par intégration il en résulte que

$\begin{align*} \frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-\frac1{2^{\alpha-1}}\right)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-1\right)\qquad\text{ pour }\alpha\neq1\:,\\&\\&\\ \ln (n) - \ln (2)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k}\;<\;\ln (n) - \ln (1)\:. \end{align*}$

En faisant tendre n vers l'infini on conclût que la série converge si $\alpha>1$ et diverge vers l'infini si $\alpha\leq1\,.$

Question de colle :

Soit $\sum_{k=1}^\infty\,u_k$ une série convergente. Est-il vrai que $\sum_{k=1}^\infty\,u_k^3$ est également convergente ?

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La promenade

Par Mathoman, vendredi 23 avril 2010 à 18:28 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Trois femmes se promènent sur une allée de 100 m de long, d'un bout à l'autre. Lorsqu'une femme atteint la fin de l'allée elle fait demi-tour. Les vitesses respectives des trois femmes sont constantes et valent 1 km/h, 2 km/h et 3 km/h. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une durée au moins d'une minute durant lequel toutes les trois marchent dans la même direction.
(On peut supposer qu'il n'y pas d'hommes qui les dérangent.)

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Trouver la fausse boule d'or

Par Mathoman, mardi 7 octobre 2008 à 13:19 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Vous avez douze boules d'or qui se ressemblent. Elles ont exactement le même poids à l'exception d'une qui est une imitation, et vous ne savez pas si elle est plus lourde ou plus légère que les vraies boules d'or.

Vous disposez d'une simple balance à plateaux. Est-il possible d'isoler avec trois pesées la fausse boule et de déterminer en même temps sa nature (plus lourde ou plus légère)?

Trouver limitation parmi les boules dor

Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

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Une statistique sur les acquis d'élèves en terminale

Par Mathoman, samedi 25 octobre 2008 à 10:40 - Enseigner les maths - Tags

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

Calculer un prix

Faux calcul de prix (erroné)

Calculer un prix (faux)

Calcul de prix (faux)

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

Calculer un pourcentage

Faux calcul de pourcentage

calculer un pourcentage (faux)

Calcul d'un pourcentage (faux)

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

déterminer l'équation d'une droite

trouver une équation de droite

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

Résoudre correctement une équation de premier degré

Résoudre une équation de premier degré (faux)

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

$Calculer avec une fraction double correctement$

$Comment ne pas calculer avec une fraction double$

$Calculer avec une fraction double (faux)$

Autres exemples

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

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Forme générale d'une formule

Par Mathoman, mardi 19 janvier 2010 à 18:26 - Maths pour tous - Tags

Tout étudiant apprend les formules

$\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2\,, \qquad \qquad\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\,,\qquad\qquad n\in\mathbb{N}\,.$

Soit p un entier positif. Montrer que, plus généralement, la somme des premiers n termes de la suite $k^p$ avec $k\geq1$ est un polynôme rationnel en n de degré p+1.

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Multiplicateurs de Lagrange

Par Mathoman, samedi 5 novembre 2011 à 10:57 - Enseigner les maths - Tags

En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x₁, ... ,x_n sous m contraintes données par g₁(x₁,...,x_n)=0, ... , g_m(x₁,...,x_n)=0, alors il existe des réels λ₁, ... ,λ_m tels que

grad f(P) = λ₁ grad g₁(P) + ··· + λ_m grad g_m(P).

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.

n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g₁ et g₂ en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g₁(x,y,z) = g₂(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm², le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.

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Humour et calembours

Par Mathoman, dimanche 30 mai 2010 à 11:30 - Humour - Tags

Pour finir la semaine avec un peu d'humour voici quelques jeux de mots.

Tout ce qui est hideux est négatif.

Et le désir s'accroît quand l'effet se recule.

$\forall x \in \mathbb{R}\;:\quad \phi(x)\neq K(x).\qquad$ En effet, si on fait fi de x, on n’en fait pas grand cas...

Voici un drôle de sketch extrait d'une série norvégienne d'il y a quelques années. Il s'agit d'une sorte de Tech Support médieval, juste au moment de l'apparition d'un tout nouveau moyen de stockage d'information : le livre.

La remarque que fait le moine à son consultant IT du helpdesk est d'ailleurs très typique pour de telles périodes de transition : le système précédent, les rouleaux, seraient plus pratiques que les livres, ils n'y avait pas toutes ces pages à tourner...

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Inversibilité d'une matrice

Par Mathoman, jeudi 21 janvier 2010 à 21:21 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Soit A la matrice carrée d'ordre 20 définie par les propriétés suivantes :

le coefficient d'indice (j,k) vaut 0 si k=j,
le coefficient d'indice (j,k) vaut 4 si k-j est pair et non-nul,
le coefficient d'indice (j,k) vaut 5 si k-j est impair.

Montrer que la matrice A est inversible (sur le corps des rationnels).

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Germe de fonction infiniment dérivable

Par Mathoman, mardi 27 avril 2010 à 16:57 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd'hui lors d'une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point :

Existe-t-il une fonction f de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que pour tout naturel n,

$f^{(n)}(0)=n^{n^n}\;\;?$

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Sens de vissage inversé pour le pédalier gauche du vélo

Par Mathoman, mercredi 14 septembre 2011 à 18:49 - Maths pour tous - Tags

Chers lecteurs fidèles, ça fait un bon moment que je n'ai plus écrit de billet sur ce blog, faute de temps. Mais je vais pouvoir reprendre la cadence habituelle dans quelques mois, je l'espère. En attendant j'aimerais inverser les rôles et vous demander d'écrire quelques lignes sur une question précise que je n'arrive pas à comprendre.

Comme tout le monde le sait on serre une vis en la tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (pour être plus précis il faut rajouter : lorsqu'on aperçoit la vis du côté du tourne-vis). Ce sens d'orientation, appelé filetage droit ou hélice droite, est devenu le standard international (parce que la majorité des humains sont des droitiers et ont plus de force dans leur main droite pour visser une vis à filetage droit qu'une vis gauche). Il y a quelques exceptions pourtant où l'on utilise une l'hélice inverse. La seule situation où j'en rencontre dans la vie de tous les jours est celle de la pédale gauche de mon vélo. Les constructeurs de vélo ont compris qu'il faut mettre un filetage gauche sur l'axe de la pédale gauche (et un filetage droit pour la pédale droite) afin d'empêcher que la pédale ne se desserre de la manivelle au fil du temps. Voici ma question :

Je ne comprends pas pourquoi ça fonctionne. Qui peut me l'expliquer ? En fait, si on bloque la pédale sur son axe et si on continue de pédaler, alors elle se défait ; en effet, le mouvement relatif de la pédale à la manivelle est contre le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale droite, et dans le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale gauche. Donc, selon moi, les billes du roulement mécanique exercent une force de frottement qui desserre la pédale au lieu de la serrer.

Pas de vis droit et gauche sur les axes des pédales
de ma bicyclette... (cliquez pour aggrandir)

Un ami vient de me signaler une autre vis gauche, celle du raccordement à une bouteille de gaz. Mais je ne comprends pas pourquoi on fait ainsi. Qui peut l'expliquer ?

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