Germe de fonction infiniment dérivable
Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd’hui lors d’une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point :
Existe-t-il une fonction f de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tout naturel n,
\(f^{(n)}(0)=n^{n^n}\;\;?\)
Théorème de Borel…
D’après un théorème de Borel, on peut imposer des valeurs arbitraires à toutes les dérivées d’une fonction de classe \(C^\infty\) en un point donné d’avance.
Bonne ballade! 😉
Sorry, JTL, je n’avais pas vu ton commentaire!
Tout à fait, ça marche avec le théorème de Borel. On en trouve une preuve dans cet article (page 2).