La promenade

Par MathOMan, vendredi 23 avril 2010 à 18:28 - Exo, enigme, casse-tête - Tags - RSS

Trois femmes se promènent sur une allée de 100 m de long, d'un bout à l'autre. Lorsqu'une femme atteint la fin de l'allée elle fait demi-tour. Les vitesses respectives des trois femmes sont constantes et valent 1 km/h, 2 km/h et 3 km/h. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une durée au moins d'une minute durant lequel toutes les trois marchent dans la même direction.
(On peut supposer qu'il n'y pas d'hommes qui les dérangent.)

Commentaires

1. Le samedi 24 avril 2010 à 10:53, par Natacha

Des gens réussissent vraiment à marcher à 1 km/h ?

2. Le samedi 24 avril 2010 à 15:42, par Med

Bonjour,

Je pense que ça revient à exprimer les fonctions:

di(t) avec di est la position de la femme i à l'instant t {i=1,2,3}

Puis pour montrer qu'il existe un intervalle où les 3 femmes marchent dans le même sens, cela revient à résoudre l'équation:

d1'(t)+d2'(t)+d3'(t)=1+2+3=6

Normalement ce sera une fonction périodique qui présente des intervalles où la fonction est constante et vaut 6; ces intervalles doivent être d'une largeur supérieure à 1min.

A+

3. Le mardi 27 avril 2010 à 17:00, par MathOMan

Merci pour ce commentaire, je vais y répondre dans quelques jours...

4. Le mardi 27 avril 2010 à 22:54, par JLT

Il revient au même de considérer trois femmes A, B, C parcourant un cercle de longueur 1 à vitesse constante, en 12, 6 et 4 minutes respectivement, et de montrer que si on considère une subdivision PQRS du cercle en quatre arcs égaux, alors il existe un intervalle d'une minute pendant lequel A, B et C sont sur le même demi-cercle délimité par PR.

On peut supposer qu'à l'instant t=0, B se trouve au point P. Toutes les 3 minutes, B effectue 1/2 tour et A effectue 1/4 de tour, donc au bout d'un nombre entier de demi-tours, A est à distance au plus 1/8 de B. Quitte changer l'origine du temps et à renommer les points PQRS, on peut supposer qu'à l'instant t=0, B est en P et A est à distance au plus 1/8. De plus, quitte à renverser le temps on peut supposer que A est sur l'arc (PQ).

Pendant l'intervalle de temps [0,3], A et B se trouvent sur l'arc (PQR), et C effectue 3/4 de tour. Si à l'instant t=0, C est sur l'un des arcs (PQ), (RS) ou (ST), alors pendant l'intervalle de temps [0,3], C décrit au moins l'un des arcs (PQ) ou (QR) (ce qu'il fait en une minute), donc il existe bien un intervalle de temps d'une minute pendant lequel A, B et C sont sur l'arc (PQR). Si à l'instant t=0, C est sur l'arc (QR), alors à l'instant t=9, B est en R, A est sur l'arc (SP) à distance au plus 1/8 de S, et C est sur l'arc (RS), donc pendant l'intervalle de temps [9,10], A, B et C se trouvent sur l'arc (RSP).

5. Le mercredi 5 mai 2010 à 17:22, par MathOMan

Voici une solution illustrée par des dessins. Ce n'est pas très élégant, mais je ne connais pas de solution plus simple que celle-ci ou encore celle de JLT. Mmh, ça serait bien d'en trouver une plus conceptuelle qui se fait en quelques lignes...

Considérons les trois fonctions périodiques $f_1, g_2$ et $g_3$ ayant les représentations graphiques suivantes.

La fonction $f_1$ (resp. $g_2$ , resp. $g_3$ ) a pour période 12 (resp. 6, resp. 4).

Notons A et B les deux extrémités de l'allée. On peut régler la montre tel que la première femme part de A à l'instant t=0 ; alors à 6 minutes elle atteint B et à 12 minutes elle de retour à A. La fonction $f_1$ représente la direction du mouvement de la première femme en fonction du temps.

De manière analogue les fonctions $f_2$ et $f_3$ de la forme suivante représentent les directions des deux autres femmes

$f_j(t) =g_j(t-t_j),$

avec $t_2\in[0,6[$ et $t_3\in[0,4[\,.$
Sur le dessin suivant on voit, en glissant les deux segments rouges horizontalement d'une distance de 4, que pour tout $t_3\in[0,4[$ il existe un réel a tel que

on a $f_1=f_3=1$ sur [a,a+2[

on a $f_1=f_3=-1$ sur [a+6,a+8[.

Maintenant on glisse les segments rouges horizontalement d'une distance de 6 dans le dessin ci-dessous. Il y aura toujours un intervalle de largeur au moins 1 sur lequel les segments rouges et bleus se superposent. Cela prouve le résultat demandé.

6. Le jeudi 24 juin 2010 à 01:05, par pruvieros

On prend pour t=0 (origine du temps) un moment où F1 atteint une extrémité de l'allée.
On va ensuite découper le temps en tranches de 6 minutes à partir de t=0
Pendant chacune de ces tranches, F1 parcourt l'allée dans toute sa longueur, en changeant de sens à chaque tranche.
Simultanément, pendant chacune de ces tranches, F2 effectue toujours le même parcours, à savoir un cycle complet qui contient donc nécessairement le trajet allant d'une extrémité de l'allée à l'autre. Ce trajet de F2 s'effectue toujours dans le même sens dans chaque tranche et dure 3 minutes.
On voit donc F1 et F2 marcher dans le même sens pendant 3 minutes une tranche sur deux.
Or en 3 minutes, F3 aura marché au moins une minute dans chaque sens puisqu'elle change de sens toutes les 2 minutes.
Elle marche donc au moins une minute dans le même sens que F1 et F2, une tranche sur deux.

7. Le vendredi 25 juin 2010 à 00:56, par MathOMan

Or en 3 minutes, F3 aura marché au moins une minute dans chaque sens puisqu'elle change de sens toutes les 2 minutes.

Ce raisonnement me semble faux. Elle pourrait par exemple marcher 1/2 minute avec eux, puis deux minutes dans l'autre sens, puis encore 1/2 minute avec eux.

8. Le vendredi 25 juin 2010 à 16:36, par pruvieros

Effectivement, la fin de ma démo était fausse.
Voici un correctif (un peu condensé) qui de plus aboutit à un résultat meilleur que celui demandé.
Merci pour ce bel exercice MathOMan. Je suis sûr qu'il existe une solution élégante. Tu parles d'une belle collection d'exercice... quand les livreras-tu ici?
A bientôt.

On prend pour t=0 (origine du temps) un moment où F1 atteint une extrémité de l'allée. On va ensuite découper le temps en tranches de 6 minutes à partir de t=0

Pendant chacune de ces tranches, F1 parcourt l'allée dans toute sa longueur, en changeant de sens à chaque tranche.
Simultanément, dans chaque tranche, F2 effectue toujours le même parcours, à savoir un cycle complet qui contient nécessairement la liaison entre les deux extrémités de l'allée, liaison s'effectuant toujours dans le même sens dans chaque tranche (puisque durée d'une tranche = durée du cycle de F2) et nécessitant 3 minutes.
On voit donc F1 et F2 marcher dans le même sens pendant 3 minutes une tranche sur deux (toutes les 6 minutes).

Par ailleurs, dans deux tranches de 6 minutes successives, F3 effectue des parcours exactement opposés. En effet comme elle change de sens toutes les 2 minutes, elle marche à chaque instant dans le sens opposé à celui qu'elle empruntait 2 minutes plus tôt, dans le même sens que celui qu'elle empruntait 4 minutes plus tôt, et dans le sens opposé à celui qu'elle empruntait 6 minutes plus tôt.

Enfin, on peut observer que dans n'importe quelle plage de 3 minutes - et donc en particulier celles où F1 et F2 marchent dans le même sens - il existe une séquence où F3 marche au moins une minute et demie dans un sens donné (en effet, dans un laps de temps de 3 minutes, F3 ne peut changer de sens plus de 2 fois, d'où le résultat). Considérons l'une de ces séquences d'une minute et demie. Toutes les 6 minutes celle-ci se répéte à l'identique pour F1 et F2 et à l'opposé pour F3 (compte tenu du § précédent).

Ainsi, toutes les 12 minutes (une tranche de 6 minutes sur deux), on verra F1, F2 et F3 marcher dans le même sens pendant une minute et demie.

9. Le mercredi 30 juin 2010 à 08:23, par pruvieros

Cette démo est encore fausse! Désolé...

10. Le mercredi 30 juin 2010 à 10:58, par MathOMan

J'espère que la mienne est juste ;-)

11. Le vendredi 2 juillet 2010 à 19:44, par pruvieros

l'utilisateur enki a trouvé une solution très courte ici.

12. Le lundi 11 octobre 2010 à 17:21, par jefc

moi j'ai essayé de résoudre avec des roues dentées,
j'imagine une roue dentée assez large sur laquelle s'engrène 3 pignons
un de 120 dents D1
un de 60 dents D2
un de 40 dents D3
chacun des pignons est bicolore (noir et blanc disons, de partie égale)
on place un repère pour que D1 et D2 soit en opposition au bout 1/2 tour de D2 D1 sera toujours dans la même couleur et D2 change de couleur elles seront en phase pendant encore 1/2 tour de D2 et 1/4 de tour de D1 pendant ce temps D3 fait 1 tour elle va donc être en phase pendant 1/2 tour de D3.
Un peu au début
pendant 1/2 de D3 D2 fait 1/4 tour et D1 fait 1/6 tours
si D1 fait 1 tour en 12 minutes on a la même configuration pendant 1/6 tours de D1 soit 2 minutes donc au moins 1 minute. CQFD

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