Ceci n'est pas pipé

Par MathOMan, lundi 5 avril 2010 à 19:31 - Exo, enigme, casse-tête - Tags - RSS

En probabilités on dit qu'un dé est pipé si les chances de ses six faces ne sont pas les mêmes. Dans le cas habituel, celui d'un dé non-pipé (ou dé parfait), la probabilité pour chaque face est 1/6 et on parle de variable aléatoire équirépartie.

Si on lance deux dés habituels et si on prend la somme des deux résultats on obtient un nombre entre 2 et 12. Ce qui étonne alors souvent le débutant c'est que la probabilité de cette somme n'est pas équirépartie ; par exemple, obtenir un 11 est moins probable qu'obtenir un 10. La raison pour cela est qu'on retrouve le 10 avec (4,6) ou (6,4) ou (5,5) tandis que pour le 11 on a seulement les deux possibilités (5,6) ou (6,5).

Question (existence d'un jeu de deux dés pipés) :

Peut-on piper un couple de dés de sorte que le jeu qui consiste à prendre la somme des deux dés lancés donne une loi aléatoire équirépartie ?

Commentaires

1. Le mardi 6 avril 2010 à 20:26, par JLT

Assume this is possible. Let a(i) (resp. b(i)) the probability to obtain the number i=1..6 on the first (resp. second) dice. We have

(i) a(1)b(1)=1/11,
(ii) a(6)b(6)=1/11,
(iii) a(i)b(j) < Prob(sum of two dice = i+j) = 1/11 if (i,j) is different from (1,1) and (6,6).

Therefore, a(i)b(j) is maximum exactly when (i,j)=(1,1) or (i,j)=(6,6). It follows that a(i) is maximum when i=1 or i=6, and b(j) is maximum when j=1 or j=6. Thus, a(i)b(j) is maximum when (i,j)=(1,6), a contradiction.

2. Le jeudi 22 avril 2010 à 16:46, par MathOMan

J'avoue que je ne suis pas complètement la preuve de JLT ; à partir du moment It follows that ce n'est pas évident pour moi. Voici une autre démonstration, élégante et facile.

Comme JLT on fait une preuve par l'absurde. Supposons que de tels dés existent et notons $a_k$ (resp. $b_k$ ) la probabilité du premier (resp. second) dé d'obtenir le nombre k (k=1,...,6). On considère les polynômes

$P=\sum_{k=1}^6 a_kX^{k-1}\;,\;\;\;Q=\sum_{k=1}^6 b_kX^{k-1}\;,\;\;\;PQ=\sum_{k=1}^{11} c_kX^{k-1}.$

Alors il vient que le coefficient $c_k$ est égal à la probabilité d'obtenir le nombre k+1 comme somme des deux dés (k=1,...,11) ; par exemple $c_3=a_1b_3+a_2b_2+a_3b_1.$ Or par hypothèse ce coefficient vaut 1/11. Autrement dit

$PQ=\frac1{11}\left(1+X+X^2+\cdots+X^{10}\right).$

Maintenant on utilise la vielle astuce de la somme téléscope :

$\begin{array}{rcl} 11(1-X)PQ&=&(1-X)\left(1+X+X^2+\cdots+X^{10}\right)\\ &=&\left(1+X+X^2+\cdots+X^{10}\right)-\left(X+X^2+X^3+\cdots+X^{11}\right)\\&=&1-X^{11}. \end{array}$

Donc le polynôme (1-X)PQ possède onze racines simples, à savoir les racines 11^e de l'unité. En particulier PQ n'a pas de racine réelle. Or P est de degré impair, donc sa limite en $-\infty$ est l'opposé de sa limité en $-\infty$ , d'où l'existence d'une racine réelle par le théorème des valeurs intermédiaires — contradiction. $\lightning$

3. Le jeudi 22 avril 2010 à 17:25, par JLT

Voici quelques détails supplémentaires (et une petite simplification) de ma preuve :

Si b(6)>b(1), alors a(1)b(6)>a(1)b(1). Impossible. Donc $b(6)\le b(1)$ , ce qui entraîne $a(6)b(6)\le a(6)b(1) < 1/11 =a(6)b(6)$ . Impossible.

P.S. J'avais aussi pensé à utiliser des polynômes, mais j'ai donné cette autre preuve qui a l'avantage d'être plus élémentaire car n'utilise pas les nombres complexes, et de plus se généralise facilement à plusieurs dés n'ayant pas nécessairement le même nombre de faces.

4. Le vendredi 23 avril 2010 à 15:50, par MathOMan

Effectivement, c'est très clair maintenant. Merci pour l'explication !

5. Le mercredi 1 septembre 2010 à 19:59, par RuBi6

Mais, existe-il un total de points qui soit le plus probable, quelques soient la nature des dés, pipés ou non?

6. Le jeudi 2 septembre 2010 à 13:01, par toufou

@RuBi6

Non malheureusement. Imagine deux dés qui tombent toujours sur la même face (à l'aide d'une table aimantée par exemple), la somme des deux dés va dépendre du choix des faces pipées.

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Pourquoi ne pas lire aussi :

Oeuf de pâques

Par Mathoman, mardi 4 mai 2010 à 11:57 - Maths pour tous - Tags

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :
a(1+ky)x² + by² = 1
Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci
ax²/(1+ky)+ by² = 1.
Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

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Calcul de pourcentage - les pièges à éviter

Par Mathoman, samedi 18 juin 2011 à 11:21 - Les maths pour les nuls - Tags

Dans la Quinzaine universitaire no.1336 page 11 (11 juin 2011) publiée par le SNALC (Syndicat national des lycées et collèges), on peut lire un article sur l'évolution du salaire et du pouvoir achat des professeurs. Dans les calculs qui sont présentés on trouve à peu près toutes les erreurs qu'il faut éviter quand on fait des calculs de pourcentage. En gros, l'auteur écrit ceci:

En 1981 je gagnais 158% du salaire le plus bas (SMIC) et en 2009 je gagnais 193% du SMIC. Donc dans ces 28 ans mon pouvoir d'achat a augmenté de 35%, soit 1,25% par an.

N'étant pas économiste je ne suis pas certain qu'il est légitime de calculer le pouvoir d'achat en prenant le SMIC comme référence (ça semble faux, voir par exemple ici ou là) — mais cela n'est pas mon reproche ici. Mathématiquement les calculs sont complètement faux!

Première erreur: Une augmentation de 35% en 28 ans ne correspond pas à une augmentation annuelle de 1,25% mais à une augmentation annuelle de environ 1,08%.
Il est vrai que 35% divisé par 28 vaut 1,25%; or augmenter une quantité 28 fois par 1,25% revient à la multiplier par 1,0125²⁸, ce qui vaut environ 1,42 et correspond donc à une augmentation totale de 42% et pas de 35%. En revanche 1,0108²⁸ = 1,35 (arrondi).

En général, il ne faut jamais prendre la somme de pourcentages de variation mais le produit de leurs coefficients multiplicateurs. Pour donner un exemple plus simple: deux augmentations successives de 50% font une augmentation globale de 125% (et pas de 100%) car 1,5×1,5=2,25.

Deuxième erreur: Pour passer de 158% à 193% on ne fait pas une augmentation de 35% mais de 22%. En effet 193/158 vaut 1,22 environ. (Cela fait 0,72% par an.)

En résumé, l'auteur est passé à côté d'une belle occasion pour souligner son propos car en réalité les chiffres concernant la faible progression de son pouvoir d'achat en 28 ans sont encore pire! La bonne version serait:

En 1981 je gagnais 158% du SMIC et en 2009 c'était 193%. Donc dans ces 28 ans mon pouvoir d'achat (référencé à celui d'un Smicard) a augmenté de 22%, soit 0,72% par an.

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Conseils aux étudiants pour une bonne rédaction

Par Mathoman, samedi 21 novembre 2009 à 11:51 - Apprendre les maths - Tags

Souvent les étudiants en première année ont une idée intuitive pour une preuve mais lorsqu'ils l'écrivent avec les termes de la logique mathématique leur rédaction est très maladroite, voire fausse ou illisible. Ces lignes leur sont destinées. Je vais montrer sur des exemples très simples ce qu'il faut faire et ce qu'il faut éviter.

Syntaxe d'une assertion

Une assertion (ou proposition) mathématique est une phrase contenant un verbe. Les verbes mathématiques sont par exemple

$=\;\;\;<\;\;\;>\;\;\;\leq\;\;\;\geq\;\;\;\subset\;\;\;\supset\;\;\;\in\;\;\;\ni\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\Leftarrow\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\perp\;\;\;\parallel$

et leurs négations. Par exemple

7 + 1 = 8

est une assertion (qui est vraie), et

1 < 0

est une assertion (qui est fausse). Mais

7+1

n'est pas une assertion car elle ne contient pas de verbe, donc on ne peut pas se demander si elle est vraie ou fausse. Entre deux assertions équivalentes on n'écrit pas = mais le symbole $\Leftrightarrow$ . Ce symbole étant lui-même un verbe c'est donc un emboîtement d'assertions (pensez aux poupées russes).
Ecrire

$1 \leq x \leq 5\;\;\Leftrightarrow\;\; [1,5]$

n'a aucun sens car [1,5] n'est pas une assertion (c'est un intervalle). En revanche, on peut écrire

$1 \leq x \leq 5\;\;\Leftrightarrow\;\; x\in [1,5].$

Il ne suffit pas de mettre un verbe pour avoir une assertion, il faut aussi que la syntaxe soit correcte. Par exemple écrire $\{7\}\in\mathbb{N}$ et $7\subset\mathbb{N}$ n'ont pas de sens. Mais $\{7\}\subset\mathbb{N}$ et $7\in\mathbb{N}$ sont des assertions (qui sont vraies d'ailleurs).
Le langage mathématique suit les mêmes règles que notre langage habituel (phrase principale, phrase relative, conjonctions,...). Si quelqu'un vous disait

Nous ¤ camping # faisez ((à pluie sec

pouvez-vous dire qu'il dit la vérité ou non ? Non, vous ne pouvez pas ! Or c'est précisément ce que certains étudiants écrivent sur leurs copies de mathématiques : des juxtapositions de symboles qui ne donnent aucun sens. Et donc nous, les correcteurs, ne pouvons pas donner de point pour ce charabia.
Les symboles ne sont que des raccourcis d'écriture. Vous devriez être capables de rédiger sans eux. Si la traduction en langage français de ce que vous écrivez à l'aide de symboles n'a pas de sens, alors il y a un problème.

Introduire les objets avant leur utilisation

Ne faites jamais apparaître un objet sans l'introduire. Par exemple n'écrivez pas

$x^2-6x+5=0\;\;\Leftrightarrow\;\; S=\{1,5\}$ .

Peut-être votre enseignant au lycée vous a donné cette mauvaise habitude, mais la lettre S n'est pas universellement reconnue pour désigner l'ensemble de solutions d'une équation. Il faut donc faire précéder par une petite phrase comme : Notant S l'ensemble de solutions de l'équation x²-6x+5=0 on obtient... Mais cela est bien lourd. Ecrivez donc plus simplement

$x^2-6x+5=0\;\;\Leftrightarrow\;\; x\in\{1,5\}$ .

Exemples de bonne syntaxe

Les théorèmes 1, 2 et 3 ci-dessous sont des assertions. Les deux premiers sont équivalents ; et chacun d'entre eux implique le troisième.

Théorème 1. Soit $a\in \mathbb{R}$ . Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si et seulement si a > 0.

Théorème 2. Pour tout réel a la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si et seulement si a > 0.

Théorème 3. Si a > 0 est un réel alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

La preuve du théorème 2 devrait commencer comme suit.

Preuve du théorème 2. Soit a un réel. Blabla...

Evidemment on aurait pu écrire soit b un réel et continuer à travailler avec ce b. Ca serait tout à fait correct car dans le théorème 2 le réel a est une variable locale car précédé par le quantificateur $\forall$ . Ecrire soit a un réel ou soit b un réel revient à fixer ce réel ce qui en fait une variable globale pour la suite du raisonnement.
C'est le moment de mentionner une subtilité. Le théorème 1 commence par soit a un réel. De ce fait a est déjà fixé (une variable globale) dans le théorème 1 et ça serait inutile et même faux de commencer la preuve par dire soit a un réel. Il est déjà donnée et nous devons travailler avec lui et pas avec un autre a ni un autre b.

Mauvaise rédaction de la preuve

Preuve du théorème 2 (version débutant).
Soit a un réel. Supposons a > 0. Il faut montrer que pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). Or x < y et a > 0 entraînent ax < ay ou encore f(x) < f(y). Donc f est strictement croissante.
Réciproquement supposons que f est strictement croissante, c'est-à-dire pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). On voit sur l'inégalité ax < ay que a doit être forcément positif, sinon l'inégalité devrait être dans l'autre sens.

Trois erreurs :

On voit sur l'inégalité ax < ay .... Or les symboles x et y n'ont pas été introduits précédemment. Il fallait écrire soit x et y....
La fin du raisonnement devrait être... n'est pas clair.
Le débutant écrit il faut montrer que... puis il donne la définition d'une fonction strictement croissante. Or redonner une définition tellement basique c'est presqu'un insulte vis-à-vis du correcteur ! Evitez de redonner des définitions que tout le monde connaît et n'écrivez pas ce que vous voulez démontrer si c'est déjà écrit clairement dans l'énoncé.
En revanche, si ce que vous allez démontrer est une reformulation équivalente ou seulement une condition nécessaire pour la proposition que vous cherchez à prouver alors il est souhaitable que vous écrivez "je vais démontrer ceci...". Par exemple c'est une bonne idée d'écrire : Soit a > 0. Pour montrer que la fonction définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur R je vais prouver que sa dérivée est strictement positive.

Bonne rédaction

Preuve du théorème 2 (version de l'étudiant expérimenté).
Soit a un réel.
Supposons a > 0. Soient x, y deux réels tels que x < y. Alors on a
f(x) = ax < ay = f(y). Cela prouve que f est strictement croissante.

Réciproquement supposons f strictement croissante. Alors l'inégalité 0 < 1 entraîne l'inégalité f(0) < f(1). Cela prouve que a = f(1) > f(0) = 0.

Structure d'une preuve

Exemple de structure d'une preuve bien rédigée :

Enoncé. Soient A et B des ensembles et f une application de A dans B. Montrer que si on a l'hypothèse (H) ... alors f est injective.
Preuve.
Supposons (H). Soient x et y deux éléments de A tels que f(x) = f(y) ......
...... (je raisonne) ...... j'utilise la propriété (H) ...... (je raisonne) ...... j'obtiens x = y.
Cela prouve l'injectivité de f.

Autrement dit, vous introduisez deux éléments x et y qui vérifient l'égalité f(x) = f(y), puis vous gardez en tête que vous voulez arriver à l'égalité x = y. Si vous voulez vous pouvez l'écrire x = y en bas de votre page pour savoir où vous voulez arriver. Mais surtout ne l'écrivez pas plus tôt car c'est votre but et non votre point de départ ! Sur le chemin du raisonnement vous devez, très probablement, utiliser la propriété (H).

Preuve alternative (par contraposition).
Supposons (H). Soient x et y deux éléments distincts de A ......... (je raisonne) ........
........ j'utilise la propriété (H) ........ (je raisonne) ........ je trouve que f(x) est différent de f(y). Cela prouve l'injectivité de f.

Autre conseil

Mon collègue et ami Laurent Kaczmarek a écrit des conseils de rédaction utiles concernant la notation des fonctions en analyse.

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Sur les réformes du recrutement des professeurs à l'Education Nationale

Par Mathoman, vendredi 11 décembre 2009 à 11:33 - Maths et société - Tags

Chers lecteurs, j'ai beaucoup apprécié les commentaires détaillés que vous avez laissés à mon dernier billet concernant la suppression de cours d'HG selon la réforme du lycée. Aujourd'hui je vais donner mon point de vue sur deux autres changements prévus par cette réforme : le recrutement.

Mutation et attribution de poste

Le premier point concerne l'attribution des postes. Dans un article du Monde on peut lire que l'Eduction Nationale modifie son mode de recrutement vers un système à l'anglo-saxonne ou à l'allemande. Le concours devient un examen à l'issue duquel les professeurs n'auront pas de poste assuré et devront postuler auprès des écoles, collèges ou lycées en fonction des besoins, comme dans une entreprise. Peut-être l'Education Nationale a fait de bonnes expériences avec son système de mouvement sur postes spécifiques et souhaite élargir ce concept à tous les postes.

Encore une fois, je trouve que c'est une bonne idée de récruter sur profil. En plus, le fait de poser candidature pour un certain poste implique automatiquement que l'enseignant sera plus motivé que s'il est nommé sur un poste qui souvent ne lui convient pas soit à cause de sa situation géographique soit à cause de son environnement. Au lieu de subir une affectation il doit agir et reste maître de son destin.

Autre avantage possible : le principe d'offre/demande pourra générer une plus juste rémunération car il est clair que certains postes ne trouveront aucun candidat, donc il faudra les rendre plus attractifs par des primes financières importantes ou des décharges horaires ! En effet, certains considèrent le système actuel comme injuste car les professeurs qui enseignent devant des classes plus agréables sont payés plus que leurs collègues. Dans cette vidéo des auditions sur le métier d'enseignant Philippe Meirieu dit à peu près ceci : Dans le passé la société avait besoin de professeurs en classes préparatoires et donc on a augmenté leur salaire. Aujourd'hui nous avons besoin de personnel dans des établissements difficiles, il faudrait maintenant faire un effort financier pour ces einseignants.
En fait, un professeur agrégé en prépa touche 50% plus pour chaque heure de cours avec sa classe. On justifie cette augmentation de salaire par une charge de travail plus importante en CPGE. Or on peut aussi argumenter — et c'est le point de Philippe Meirieu — que le temps de récupération du système nerveux d'un enseignant en collège difficile après un cours devant une bande d'adolescents de niveau très hétérogène est bien supérieure au temps de préparation de cours en prépa.
Ce qui amenerait à poser les enseignants de prépa devant le choix suivant : Soit vous gardez votre prépa mais avec le même salaire horaire que toute le monde ou bien vous prenez une classe de collège qui vous fait moins de travail. Combien vont choisir le collège ?

Concours et recrutement

Le deuxième point de la réforme dont je veux parler ici c'est l'idée d'élever les niveaux des enseignants en les recrutant à bac + 5 contre bac + 3 aujourd'hui. Je pense que c'est une très mauvaise idée, au moins en mathématiques.

Déjà aujourd'hui l'Education Nationale ne dispose pas d'assez de postes qui nécessitent un niveau avancé de maths, alors pourquoi monter le niveau de recrutement ? A mon avis, il vaudrait mieux le baisser les exigences disciplinaires pour pouvoir recruter dans le vivier de profils dont les chefs d'établissement ont vraiment besoin. Et de quoi ont-ils besoin ? De personnages capables à tenir, garder et surveiller une classe. L'enseignement passe au second plan.

On a parfois l'impression que les critères de recrutement sont complètement découplés des missions confiées aux professeurs. Par exemple dans le rapport du jury de l'agrégation externe de mathématiques 2008 (page 52) on peut lire :

Signalons que la grande majorité des candidats ne sait pas faire la différence entre une bijection indéfiniment dérivable et un difféomorphisme.

En effet, c'est triste. Mais d'autre part Jean-Pierre Obin, inspecteur général de l'éducation nationale, dit clairement (voir vidéo ici) que les professeurs doivent s'occuper de l'éducation civique et morale des élèves. Et ceux qui connaissent les collèges d'aujourd'hui savent que cela représente 80% du temps et de l'énergie dépensés par un professeur. Le problème est alors trouver des fins connaisseurs de difféomorphismes qui sont aussi des éducateurs passionnés et charismatiques pour des élèves qui n'ont rien à voir avec les difféomorphismes. C'est un recrutement paradoxale...

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Avis de recherche

Par Mathoman, vendredi 6 février 2009 à 12:38 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Mon ami Laurent Kaczmarek souhaite recenser toutes les démonstrations du résultat suivant d'algèbre linéaire.

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n'est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts.

Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

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La mouche dans le pot

Par Mathoman, vendredi 14 janvier 2011 à 11:03 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Après l'exercice sur la mouche et les araignées voici un exercice de physique sur une mouche et un pot :

Problème: on dispose d'un pot avec couvercle et d'une balance ultra précis. On tare le pot fermé puis on introduit une mouche qui reste en vol. Si on pèse à nouveau, pèse-t-on la mouche ?

C'est un lecteur du blog qui me l'a envoyé et souhaite connaître la réponse. Je pense que la solution n'est pas difficile.

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Une preuve à prendre avec précaution

Par Mathoman, dimanche 8 novembre 2009 à 23:17 - Maths pour tous - Tags

Le fait que

0,999999... = 1

est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration de cette égalité.

On pose
X = 0,99999...
Alors on a l'égalité
10X = 9,99999...
dont on soustrait la première,
9X = 9,00000...
D'où X = 1.

Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve — mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 × 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.

Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :

Une bien meilleure méthode

On pose X = 0,99999... et on part de

0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X

donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,

0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.

En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient

1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.

Autrement dit,

1 > 0,1 > 0,01 > 0,001 > 0,0001 > ... > 1 - X.

Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1. CQFD

Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.

Brenoms

D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.

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Carte d'anniversaire mathématique

Par Mathoman, dimanche 5 juillet 2009 à 19:50 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

C'est le moment de transmettre à mon père mes vœux d'anniversaire en forme d'une petite devinette.

Aujourd'hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?

Pour résoudre cet exercice je conseille d'effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on peut utiliser le fait que j'ai plus de vingt-trois ans, que mon père aussi avait plus de vingt-trois ans lorsqu'il a pris la responsabilité de devenir mon père et, enfin, qu'il n'est pas centenaire...

En tout cas je te souhaite une bonne fête d'anniversaire, papa !

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Apprendre à compter

Par Mathoman, lundi 27 avril 2009 à 18:12 - Maths et société - Tags

Voici deux figures : $ $ $ $ et o o o o .

Question : Qu'ont-elles en commun ? Réponse : 4.

Ce qui nous paraît évident ne l'est pas pour tout le monde. Mon ami Nik est parti un an enseigner dans une université à Tokio. C'est une période assez longue pour tenter d'apprendre le japonais ; mais ce n'est pas une langue comme les autres ! Normalement l'une des premières choses qu'on fait dans une langue étrangère, c'est apprendre à compter. Or compter en japonais n'est pas pour les débutants, c'est réservé aux avancés car on compte avec des nombres différents, selon le type d'objet.

A la base il y a deux façons de compter 1, 2, 3,... , à savoir ichi, ni, san, yon, go,... ou hito, futa, mi, yo,... — plus précisément il faut faire les distinctions suivantes :

des objets longs et fins (parapluies, crayons) : ippon, nibon, sanbon,...
des objets plats (feuilles, tickets) : ichi-mai, nimai, sanmai,...
des étages d'un immeuble : ikkai, nikai, sankai,...
les mois : ichi-gatsu, ni-gatsu, san-gatsu,...
les jours dans le mois : tsuitachi, futsuka, mikka, yokka,...
des personnes : hitari, futari, san-nin, yon-nin,...
des liquides (bières pression) : hitotsu, futatsu, mittsu, yotsu,...

Peut-être il y a là un rélique d'une époque lointaine où on comptait encore sans avoir une idée abstraite de la notion de nombre. Savoir compter et faire abstraction des objets qu'on compte, c'est quelque chose qu'on n'invente pas, on l'apprend. C'est, comme l'invention de la roue, une acquisition culturelle : il suffit qu'une seule fois un seul humain ait l'idée puis ça se répand et se transmet de génération en génération.

L'histoire des mathématiques est pleine d'exemples de concepts simples et basiques qui ont pris des siècles pour être découverts — pourtant, expliqués clairement, ils sont compréhensibles par tous. C'est pourquoi on pourrait attendre en vain qu'un élève invente lui-même les outils nécessaires pour résoudre un problème...

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Quelques blagues pour matheux

Par Mathoman, mercredi 17 décembre 2008 à 11:06 - Humour - Tags

Ajourd'hui quelques lignes pour illustrer que le cerveau n'est pas le seul organe actif des matheux...

Comment "le font"-ils ?

Les topologistes le font discrètement.
Les topologistes le font de manière ouverte.
Les topologistes le font avec du caoutchouc.
Les couples de topologistes le font en se rendant connexes.
(les logiciens le font) ou NON (les logiciens le font).
Les algébristes le font en groupe ou en anneau.
Les algébristes le font avec leur corps.
Les algébristes le font associativement.
Les algébristes le font en s'inversant.
Les algébristes le font en se multipliant.
Les analystes le font continûment.
Les analystes le font sur un support compact.
Les experts en théorie de la mesure le font presque partout.
Les experts en équations différentielles le font suivant les conditions initiales.
Les experts en théorie des ensembles le font avec application.
Les experts en combinatoire le font de toutes les manières possibles.
Les mathématiciens le font une infinité de fois s'il peuvent le faire une fois et ensuite une fois de plus.

Comment "le faisaient" les grands ?

Cantor le faisait en diagonale.
Fermat essayait de le faire dans la marge mais n'avait pas assez de place.
Galois l'a fait la nuit juste avant.
Möbius le faisait toujours du même côté.
Klein l'avait simultanément dedans et dehors.
Cauchy le faisait avec un ami (Schwarz, Lipschitz, Riemann).
Markov le faisait à la chaîne.
Archimède le faisait dans sa baignoire.
Newton tomba dans les pommes.
Bourbaki le faisait dans un cas particulier du théorème 10.2.5 en utilisant subtilement le lemme 7.3.2.

Deux contrepèteries

Nul n'est jamais assez fort pour ce calcul !
Mon prof de maths a montré Bézout.

Une réciproque
The duchess: "Excuse me that I am late, but I was so fucking busy and vice versa."

Recommandation bibilographique : Ces blagues m'ont été envoyées par email au fil des années. Mais il existe même des livres sur ce sujet. Le lecteur qui souhaite s'y approfondir se plonger avec profit dans l'ouvrage de référence Je fais des maths comme un(e) cochon(ne) de Gérard-Olivier Maitry publié en 2008.

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