Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

Par Mathoman, lundi 15 septembre 2008 à 23:44 - Maths pour matheux - Tags

Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions

$\mathbb{B}^1$ est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord $\mathbb{S}^0=\{-1,1\}$ est constitué des deux extrémités. $\mathbb{B}^2$ est un disque et son bord $\mathbb{S}^1$ est un cercle. $\mathbb{B}^3$ est une ``vraie'' boule et son bord $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère.
$\;$

Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.

Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace . Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:
- Si n=1 alors on est dans le plan euclidien $\mathbb{R}^2$ . Le demi-cercle supérieur $\mathbb{S}^1_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment $\mathbb{B}^1$ (en bleu).
  $\;$
- Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord $\mathbb{S}^2_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque $\mathbb{B}^2$ (en bleu).
  $\;$

Chaque droite $D\in\mathbb{P}^n$ coupe la sphère $\mathbb{S}^n$ en deux antipodes: $~\frac{x}{||x||}~$ et $~\frac{-x}{||x||}~$ où $x$ est arbitraire dans $D\backslash\{0\}$ .
Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

De cette observation on déduit que l'application $f\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,$

est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

$\forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />$

Par conséquence $\: \mathbb{P}^n\:$ est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de $\: \mathbb{S}^n_+\:$ par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que $\: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \:$ et l'équateur n'est rien d'autre que le bord $\: \mathbb{S}^{n-1}\:$ de $\: \mathbb{B}^n\:$ . Par conséquence $\: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\:$ .

$\,$
Le résultat précédent implique en particulier que $\:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:$ .
Or $\:\mathbb{B}^1$ =[-1,1] et par conséquence $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
Ainsi $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est en bijection avec le cercle $\,\mathbb{S}^1\,$ . Nous obtenons $\mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1$ . Illustration:

D'autre part $SO(2)$ est le groupe des rotations du plan euclidien orienté $\mathbb{R}^2$ . Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans $[0,2\pi[$ il est évident que $SO(2)$ est en bijection avec le cercle $\mathbb{S}^1$ .
Conclusion: $SO(2)\simeq \mathbb{P}^1$ .
$\,$

Pour la suite voir le fichier pdf.

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Exercice sur les cordes d'un cercle

Par Mathoman, samedi 26 décembre 2009 à 19:38 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit $\scr{C}$ un cercle, A,B deux points distincts sur $\scr{C}$ et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

cercle, cordes, milieu d'un segment, preuve difficile

Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

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Cercle, ellipse et suite d'éclats

Par Mathoman, samedi 15 mai 2010 à 11:20 - Maths et les arts - Tags

L'artiste suisse Felice Varini expose actuellement à la Galérie Xippas à Paris. Il aime jouer avec des illusions optiques dans l'espace, des sortes de trompe l'œil. Plus précisément, en termes mathématiques, il profite du fait que la projection de l'espace à trois dimensions sur un plan (espace à deux dimensions) n'est ni injective ni isométrique.

Par exemple une ellipse peut se transformer en cercle par cette projection. Les installations de Varini l'illustrent, il suffit de changer de perspective (ou comme dit Varini, se mettre hors point de vue). Les photos suivantes sont extraites du site web de l'artiste.

Felice Varini : Quatre cercles dansants

Hors point de vue

Et comme les cercles ne sont pas posés sur un support plane, il arrive bien souvent qu'ils consistent de plusieurs parties non-connexes. Dans l'exemple ci-dessus les dessins des cercles rentrent même à l'intérieur de la salle de séjour (sur la première photo la porte est ouverte). On constate également que l'épaisseur du trait doit varier en fonction de l'emplacement.
L'été dernier Varini a même encerclé tout un village dans les Alpes Suisses !

Felice Varini : Cercle et suite d'éclats (Vercorin, Suisse, été 2009)

Hors point de vue

Et pour finir, voici une autre illusion d'optique, cette fois fabriquée par un mathématicien, le japonais Kokichi Sugihara, de l’Institut pour les sciences mathématiques de Kawasaki. Quatre boules sous le seul effet de la gravation...

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Question de codimension en algèbre linéaire

Par Mathoman, lundi 11 mai 2009 à 21:59 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

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WolframAlpha : Recherche de mots et de maths à la fois

Par Mathoman, dimanche 17 mai 2009 à 13:48 - Maths pour tous - Tags

Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.

Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de

$x^3+y^3-\sin(y^2)=1.$

On peut entrer des combinaisons de mots et d'expressions mathématiques, comme par exemple

integral log(sin(x))

ce qui donne une primitive de la fonction ainsi que des graphiques à variable complexe, etc. On peut également faire une recherche avec des mots seuls comme

Weierstrass function

En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !

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Les mathématiques passives n'existent pas

Par Mathoman, jeudi 17 septembre 2009 à 15:17 - Maths pour tous - Tags

Le grand chercheur Alain Connes (géométrie non-commutative, médaille Fields) a donné un entretien très intéressant sur sa vie, la recherche et l'enseignement des mathématiques. Des extraits de cet entretien sont disponibles en streaming sur le site internet d'Arte.

Pour les visionner cliquez ici.

Une phrase m'a particulièrement marqué :

On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.

Je suis complètement d'accord. Les mathématiques passives n'existent pas. Il est possible d'apprendre la compréhension d'une langue étrangère en regardant suffisamment la télé dans cette langue ; on peut alors atteindre un degré pour suivre plus ou moins ce qui est dit sans maîtriser activement la langue.
Mais en mathématiques cela ne marche (malheureusement) pas. L'apprenti mathématicien peut aller dans tous les cours et écouter attentivement ce que dit son professeur, mais s'il ne se confronte pas régulièrement à des exercices il sera vite perdu et ne comprendra plus rien ;-)

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Cours gratuits en vidéo

Par Mathoman, dimanche 29 mars 2009 à 12:05 - Apprendre les maths - Tags

De plus en plus de sites proposent des cours en vidéo. Comme le cours suivant sur les fonctions continues, destiné aux élèves de terminale S ou ES :

Netprof.fr propose également le fichier pdf de ce cours. On peut être d'un avis partagé sur la qualité de ces cours (par exemple, dans la vidéo ci-dessus on ne distingue pas vraiment entre ce qui est définition et ce qui est proposition ou entre ce qui est démontré et ce qui est admis — le prof demande à l'élève d'apprendre par cœur que les fonctions polynômiaux sont continues, puis dans le premier exercice qui suit il en traite un cas particulier sans utiliser ce fait...), mais en tout cas c'est une très belle initiative. L'internaute pourra passer des journées entières à s'instruire sur le web.

A un niveau bien plus élévé, le site Videolectures propose des colloques filmés dans des centres de recherche et des universités, comme cet exposé de Gregory Chaitin intitulé

Un siècle de controverses sur les fondations des mathématiques

Il propose également les notes de son exposé...

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Vidéos des auditions sur le métier d'enseignant

Par Mathoman, vendredi 13 mars 2009 à 20:03 - Enseigner les maths - Tags

Après les blagues d'hier, aujourd'hui un thème qui fait moins rire :

Fin 2007 le Ministère de l'éducation nationale a tenu des auditions sur le métier d'enseignant. Chaque audition a été filmée et est diffusée en streaming sur le site web du Ministère. J'apprécie cette transparence.

D'une part il y a, apparemment, une pénurie de professeurs mais d'autre part beaucoup de gens (qui ne sont pas tous enseignants ou n'exercent ce metier devant une classe) sont passionés par les questions d'éducation et ont une opinion sur ce qui devrait être l'école. Donc le nombre d'orateurs devant cette commission est élévé et ces auditions ont duré plusieurs semaines (calendrier des auditions). Evidemment je n'ai pas vu l'intégralité de ces vidéos ; je me suis concentré sur les auditions de quelques orateurs bien connus, comme par exemple Luc Ferry qui parle ouvertement de certains problèmes, sans langue de bois...

On a également invité le philosophe Alain Finkielkraut. Il pose, entre autres, la question cruciale concernant le rôle des nouvelles technologies à l'école : Qu'est-ce qui sera plus utile dans la société de demain, être capable de se fixer longtemps sur une même activité ou gérer plusieurs taches en même temps ?

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Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

Par Mathoman, jeudi 18 septembre 2008 à 17:18 - Conjecture - Tags

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et $U_1,U_2,\,\dots\,,U_n$ un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert $U_j$ soit $f_j$ une fonction holomorphe injective telle que $df_j=df_k$ sur toutes les intersections $U_j\cap U_k$ . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

$\:f(z)=e^{1/z}=\sum_{k=0}^{\infty}\:\frac1{k!z^k}\;$

est holomorphe sur $\mathbb{C}\backslash0$ et possède une singularité essentielle en $0$ . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme $f(z)\neq0$ pour tout $z\in\mathbb{C}\backslash0$ , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe $w\neq0$ et pour tout $\epsilon>0$ il existe une infinité de nombres complexes $z$ tels que $0<|z|<\epsilon$ et $f(z)=w$ .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul $w$ et un $\epsilon>0.$ Il existe alors deux réels $r>0$ et $\varphi$ tels que

$w=re^{i\varphi}.$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ posons $u_n=\ln r+i(\varphi+2\pi n)$ et $z_n=1/{u_n}.$ Alors $\lim_{n\to\infty}z_n=0$ .
Ainsi on a on a

$f(z_n)=e^{u_n}=e^{\ln r+i(\varphi+2\pi n)}=re^{i \varphi}=w.$

Par conséquence, en prenant $n$ assez grand, on voit que $w$ possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé $0<\,|z|\,<\epsilon$ .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par

$g(z)=\sum_{p \in P}^{}\frac{1}{p!z^p}$ .

On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul direct...

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Les involutions en langage courant

Par Mathoman, mardi 20 octobre 2009 à 09:13 - Maths pour tous - Tags

La langue des français ne finit pas par me surprendre. Ils ne faut pas toujours prendre à la lettre ce qu'ils disent. Par exemple il a quarante balais ne signifie pas qu'il s'agit d'un collectionneur d'outils de nettoyage, non mais quel manque d'imagination de la part de l'étranger que je suis, évidemment il fallait comprendre qu'on compte ici les années...

Mais encore plus bizarres sont les deux expressions suivantes qui inversent le sens. Contrairement à ce qu'on devrait croire t'inquiète ne signifie pas inquiète-toi mais ne t'inquiète pas ! Et fais gaffe ne veut pas dire fais une gaffe mais ne fais pas de gaffe !

J'avoue qu'en ma patrie, la Bavière, aussi il y a des illogismes. Par exemple, on peut entendre des bavarois dire i hob koa Mo net gsehn. Traduction en allemand correct : ich habe keinen Mann nicht gesehen. La double-négation kein/nicht en allemand fait une affirmation, mais pas chez les bavarois car ils aiment faire chose à part du reste de l'Allemagne.

En général, une négation en mathématiques et en langue est ce qu'on appelle une involution, c'est-à-dire une opération qui appliquée deux fois nous ramène au point de départ. Comme la multiplication avec -1. Si je multiplie deux fois par -1 je retrouve le nombre initial car -(-x)=x. Un autre exemple d'involution est une réflexion, par exemple par rapport à un plan : l'image miroir d'un image miroir est l'image initial.

Blague : A Krka lors de la conférence mondiale bi-annuelle des linguistes un chercheur fait un exposé détaillé sur les principes de la double-négation. Il explique alors qu'une double-négation est équivalente à une affirmation, mais qu'une double-affirmation ne peut jamais, mais vraiment jamais produire une négation. Après une heure son exposé compliqué en MindMaps et PowerPoint, avec des matrices, des équations comme $(-1)\times(-1)=1$ et $1\times 1\neq-1$ se termine, les scientifiques s'apprêtent à applaudir quand soudainement vient du dernier rang de l'amphi un Oui, oui...

Exercice : Un condamné est dans une pièce avec deux portes, chacune gardée par un gardien. Il sait que l'une des portes amène à la liberté et l'autre à la prison et que l'un des gardiens dit toujours la vérité tandis que l'autre ment toujours. Il a le droit de poser à un gardien au choix une seule question à réponse oui/non, puis il a le droit de sortir par la porte qu'il veut. Quelle question posera-t-il et quelle porte prendra-t-il ensuite ?

Remarque : Il existe une solution bien connue. Mais il existe aussi une autre qui ne suppose même pas que chaque gardien soit au courant qu'il existe une autre porte avec un autre gardien.

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