Avec le temps le nombre d'articles sur ce blog augmente et il devient de moins en moins évident de s'y retrouver. Pour faciliter l'orientation il fallait donc une table de contenu de tous les billets. La voici !

Plan du site MathOMan

Après le dessin "drôle" des courbes dans mon billet précédent, voici un petit dessin qui concerne pas mal de personnes je crois.

En fait, il y a tout un site web avec des bonnes blagues, aussi sur les maths, un peu à la Charlie Brown. Le site web s'appelle XKCD et est probablement tenu par un étudiant en sciences. Voici deux joyaux qui sont à mon goût.

Le suivant me rappelle mes propres expériences comme enseignant.

Et celui-ci fera rire notre bloggeur phycicien-cosmologue FB. Et celle-ci est fausse dans sa manière (avec la convention d'orientation habituelle du plan il faudrait écrire -90°).

Voir aussi ça ou ça ou ça ou ça.

Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit un cercle, A,B deux points distincts sur et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions

1. est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord est constitué des deux extrémités. est un disque et son bord est un cercle. est une ``vraie'' boule et son bord est une ``vraie'' sphère.
   


2. Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.
   
   
   
   
   
   Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.
   
   
   
   Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace . Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:
   
   
   
   
   • Si n=1 alors on est dans le plan euclidien . Le demi-cercle supérieur (en rouge) se projette bijectivement sur le segment (en bleu).
     
   
   
   • Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien et est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord (en rouge) se projette bijectivement sur le disque (en bleu).
     
   
   
   
   


3. Chaque droite coupe la sphère en deux antipodes: et où est arbitraire dans .
   Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:
   
   
   
   De cette observation on déduit que l'application
   
   est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément
   
   
   
   Par conséquence est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que et l'équateur n'est rien d'autre que le bord de . Par conséquence .
   
   
4. Le résultat précédent implique en particulier que .
   Or =[-1,1] et par conséquence est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
   Ainsi est en bijection avec le cercle . Nous obtenons . Illustration:
   
   
   
   D'autre part est le groupe des rotations du plan euclidien orienté . Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans il est évident que est en bijection avec le cercle .
   Conclusion: .
   


5. Pour la suite voir le fichier pdf.

La question suivante est certainement dans le goût de certains lecteurs du blog, un typique petit problème sur lequel nous matheux aimons perdre notre temps...

Tout point de l'espace (trois dimensions) est coloré avec une de cinq couleurs, et toutes ces cinq couleurs interviennent. Montrer qu'il existe un plan contenant au moins quatre couleurs.

Voilà, après une plutôt longue pause (exactement un mois) je suis de retour sur le blog et je commence doucement avec un petit exercice de géométrie plane ;-)

Soit D une droite dans le plan euclidien et n un entier positif. Montrer qu'il existe un point P₀ en dehors de la droite D et des points P₁,...,P_n sur D tels que la distance entre tous deux de ces n+1 points est un entier strictement positif.

Hier soir j'étais chez mon ami artiste-développeur Eric Wenger. Il m'a présenté la nouvelle version de l'un des logiciels dont il est le créateur. Il s'agit d'ArtMatic Voyager avec lequel on peut créer des paysages infinis avec plantes, et beaucoup d'autres choses sans utiliser de bases de données préfabriquées...
Les projections des objets en trois dimensions sur un plan font donc partie du quotidien d'Eric. Voici un bel exercice de géométrie dans l'espace:

Décrire analytiquement le contour d'un tore de rayons r et R en fonction de l'angle entre le plan du tore et la droite entre le centre du tore et l'oeil.

Le contour possède une seule partie connexe lorsque est petit. Lorsque augmente une deuxième partie connexe apparaît à l'intérieur; elle est d'abord singulière, puis lisse. Mais qu'est-ce que ça donne analytiquement? Des ellipses?

Différentes positions d'un tore dans l'espace

L'artiste suisse Felice Varini expose actuellement à la Galérie Xippas à Paris. Il aime jouer avec des illusions optiques dans l'espace, des sortes de trompe l'œil. Plus précisément, en termes mathématiques, il profite du fait que la projection de l'espace à trois dimensions sur un plan (espace à deux dimensions) n'est ni injective ni isométrique.

Par exemple une ellipse peut se transformer en cercle par cette projection. Les installations de Varini l'illustrent, il suffit de changer de perspective (ou comme dit Varini, se mettre hors point de vue). Les photos suivantes sont extraites du site web de l'artiste. On peut réaliser cette illusion optique dans son propre appartement ; voici une vidéo avec un cube.

Felice Varini : Quatre cercles dansants

Hors point de vue

Et comme les cercles ne sont pas posés sur un support plane, il arrive bien souvent qu'ils consistent de plusieurs parties non-connexes. Dans l'exemple ci-dessus les dessins des cercles rentrent même à l'intérieur de la salle de séjour (sur la première photo la porte est ouverte). On constate également que l'épaisseur du trait doit varier en fonction de l'emplacement.
L'été dernier Varini a même encerclé tout un village dans les Alpes Suisses !

Felice Varini : Cercle et suite d'éclats (Vercorin, Suisse, été 2009)

Hors point de vue

Et pour finir, voici une autre illusion d'optique, cette fois fabriquée par un mathématicien, le japonais Kokichi Sugihara, de l’Institut pour les sciences mathématiques de Kawasaki. Quatre boules sous le seul effet de la gravation...

Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.

Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de

On peut entrer des combinaisons de mots et d'expressions mathématiques, comme par exemple

integral log(sin(x))

ce qui donne une primitive de la fonction ainsi que des graphiques à variable complexe, etc. On peut également faire une recherche avec des mots seuls comme

Weierstrass function

En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !

Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

Le grand chercheur Alain Connes (géométrie non-commutative, médaille Fields) a donné un entretien très intéressant sur sa vie, la recherche et l'enseignement des mathématiques. Des extraits de cet entretien sont disponibles en streaming sur le site internet d'Arte.

Pour les visionner cliquez ici.

Une phrase m'a particulièrement marqué :

On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.

Je suis complètement d'accord. Les mathématiques passives n'existent pas. Il est possible d'apprendre la compréhension d'une langue étrangère en regardant suffisamment la télé dans cette langue ; on peut alors atteindre un degré pour suivre plus ou moins ce qui est dit sans maîtriser activement la langue.
Mais en mathématiques cela ne marche (malheureusement) pas. L'apprenti mathématicien peut aller dans tous les cours et écouter attentivement ce que dit son professeur, mais s'il ne se confronte pas régulièrement à des exercices il sera vite perdu et ne comprendra plus rien ;-)