Forme générale d'une formule

Par MathOMan, mardi 19 janvier 2010 à 18:26 - Maths pour tous - Tags - RSS

Tout étudiant apprend les formules

$\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2\,, \qquad \qquad\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\,,\qquad\qquad n\in\mathbb{N}\,.$

Soit p un entier positif. Montrer que, plus généralement, la somme des premiers n termes de la suite $k^p$ avec $k\geq1$ est un polynôme rationnel en n de degré p+1.

Commentaires

1. Le mardi 19 janvier 2010 à 20:55, par Klaus

En s'inspirant d'une des démonstrations pour le cas $p=2$ (du site web les suites).
Supposons que le théorème soit vrai pour $p, \ p-1, \ ...$ .
On a
$(k+1)^{p+2}=\sum_{j=0}^{p+2} {p+2 \choose j}k^j$
Donc
$\sum_{k=1}^{n+1} k^{p+2}=\sum_{j=0}^{p+2}{p+2 \choose j}\sum_{k=1}^{n}k^j=\sum_{k=1}^{n}k^{p+2}+\sum_{k=1}^{n}k^{p+1}+\underbrace{\sum_{j=0}^{p}{p+2 \choose j}\sum_{k=0}^{n}k^j}_{P(n)}<br />$
où $P(n)$ est par hypothèse un polynôme rationnel de degré p+1.
D'où
$\sum_{k=1}^{n}k^{p+1}=(n+1)^{p+2}-P(n)<br />$
D'où la conclusion pour $p+1$ (polynôme rationnel de degré $p+2$ .)

2. Le mercredi 20 janvier 2010 à 06:49, par MP

Pour le membre numéro 2 de la suite d'égalité de la deuxième ligne, l'indice du bas ne serait pas plutôt k=0 que k=1 (ça manque un terme pour j=0 avec la convention 0^0 = 1) ?

Pour le membre numéro 3, il ne manquerait pas aussi un (p+2) en facteur devant somme(k=1..n,k^(p+1)) (qui vient de Comb(p+1,p+2) ?

Mais la récurrence marche quand même...

3. Le mercredi 20 janvier 2010 à 12:37, par Klaus

Merci, désolé pour les coquilles. :)
(D'ailleurs, serait-il possible d'agrandir le champ de texte des commentaires, cela rendrait plus simple ce genre de rédactions ?)

4. Le mercredi 20 janvier 2010 à 22:21, par JLT

Non, il n'est pas vrai que "tout etudiant apprend ces formules". A la question :

calculer 1+2+...+100

seuls 27% des etudiants de L1 math-info que j'ai testes en debut d'annee ont donne la bonne reponse (5050). Le test ne comptait pas dans la moyenne, donc il est possible que certains n'aient pas pris la peine de reflechir, mais c'est quand meme symptomatique...

Quant a la 2e formule, je n'ai pas fait de sondage mais le pourcentage d'etudiants qui la connaissent me semble nettement plus faible.

5. Le jeudi 21 janvier 2010 à 16:13, par MathOMan

Oui, JLT, je me suis mal exprimé. Je voulais dire "étudient" ou "démontrent" les formules. Moi aussi, je ne retiens pas celle de la somme des carrés par cœur.

Voici la preuve de Klaus (Mann ?) corrigé des coquilles. Comme l'a remarqué MP le facteur p+2 manquait (sinon on montrerait par récurrence que le polynôme était à coefficients entiers — or c'est faux) et il manquait aussi un 1.
$\begin{array}{rcl} \sum_{k=1}^{n} (k+1)^{p+2}&=&\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=0}^{p+2}{p+2 \choose j}k^j =\sum_{j=0}^{p+2}{p+2 \choose j}\sum_{k=1}^{n}k^j\\&\,&\\& =&\sum_{k=1}^{n}k^{p+2}+(p+2)\sum_{k=1}^{n}k^{p+1}+\underbrace{\sum_{j=0}^{p}{p+2 \choose j}\sum_{k=1}^{n}k^j}_{P(n)} \end{array}$

avec P(n) un polynôme rationnel de degré p+1 d'après l'hypothèse de récurrence. D'où

$\begin{array}{rcl} \sum_{k=1}^{n}k^{p+1}&=&\frac1{p+2}\,\left(\sum_{k=1}^{n} (k+1)^{p+2}-\sum_{k=1}^{n}k^{p+2} -P(n) \right)\\&&\\&=& \frac1{p+2}\,\left((n+1)^{p+2}-1-P(n) \right). \end{array}$

Ainsi $\sum_{k=1}^{n}k^{p+1}$ est bien un polynôme rationnel de degré p+2. En plus, cette preuve nous apprend que le coefficient dominant est toujours l'inverse du degré.

6. Le jeudi 21 janvier 2010 à 17:54, par MathOMan

> serait-il possible d'agrandir le champ de texte des commentaires ?
C'est fait !

7. Le dimanche 20 juin 2010 à 11:18, par Serma

Une très belle réponse à la question posée obtenue par dénombrement de 2 façons différentes de l'ensemble Sp des (p+1)-uplets :
Sp={(x1,x2,...,xp+1), 1<=xi<=n+1, i=1,...,p+1 et x1>xi, i=2,...,p+1}

Voir pino.univalle.edu.co/~arb...

Ça nous change des raisonnements par récurrence !

Et cela répond aux curieux qui se demandent pourquoi la somme des n premiers entiers est aussi C(n+1,2).

8. Le dimanche 20 juin 2010 à 12:21, par Serma

Parmi les résultats observés par l'auteur sur la somme Sp(n) des n premiers entiers élevés à la puissance p :

C'est un polynôme en n de degré p+1. Le coefficient de n^(p+1) est 1/(p+1).

On peut toujours mettre n.(n+1) en facteur dans Sp(n).

Le coefficient de n^p est toujours 1/2.

Ajouter un commentaire

Pourquoi ne pas lire aussi :

Maths CM2

Par Mathoman, mercredi 21 janvier 2009 à 21:30 - Maths pour tous - Tags

Pourquoi le nombre $\pi$ de la formule $2\pi R$ pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule $\pi R^2$ pour calculer la surface d'un disque ?

Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.

aucun commentaire

Fibres d'une application complexe

Par Mathoman, lundi 31 janvier 2011 à 16:35 - Maths pour matheux - Tags

Hier Pierre Lecomte a posé dans son blog un exercice sur des angles et la cotangente qui m'a inspiré la généralisation complexe suivante.

Notons

$A :=\left\{ (\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^3\;|\; \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}\right\}.$

Question:
Déterminer les fibres de l'application $f\: :\; A\: \to \: \mathbb{C}^3$ définie par

$f(\alpha,\beta,\gamma)=(\cot\beta\cot\gamma,\,\cot\alpha\cot\gamma,\,\cot\alpha\cot\beta).$

Réponse:
Soit H est l'hyperplan de C³ d'équation u+v+w=1 et D_k, k=1,2,3, les droites

$D_1=(1,0,0)+\mathbb{C}(0,1,-1), \;\;D_2=(0,1,0)+\mathbb{C}(1,0,-1), \;\;D_3=(0,0,1)+\mathbb{C}(1,-1,0).$

Notons D'₁=D₁\{(1,0,0)}, D'₂=D₂\{(0,1,0)}, D'₃=D₃\{(0,0,1)} les droites épointées. Alors l'image de f est

$f(A)=H\setminus(D'_1\cup D'_2\cup D'_3).$

Les fibres de f en les points (1,0,0),(0,1,0) et (0,0,1) sont une union dénombrable de plans complexes (desquels on a enlevé des points isolés), tandis que la fibre en tout point de $H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3)$ est discrète. Plus précisément, la restriction de f à $f^{-1}(H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3))$ est un revêtement au-dessus $H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3)$ .

Preuve:
D'abord nous remarquons que la formule d'addition

$\cot(\alpha+\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$

peut s’écrire aussi comme $\cot\beta\cot(-\alpha-\beta)+\cot\alpha\cot(-\alpha-\beta)+\cot\alpha\cot\beta=1.$ Cela signifie que pour tout $(\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^3$ on a

$\cot\beta\cot\gamma+\cot\alpha\cot\gamma+\cot\alpha\cot\beta=1 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}.$

Par conséquence l'image de f est contenue dans l'hyperplan H.
Soit maintenant $(\alpha,\beta,\gamma)\in A$ .

Premier cas: $\alpha\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}.$ Alors $\beta+\gamma\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}$ et par conséquence $\cot\beta=\tan\gamma$ et on a $f(\alpha,\beta,\gamma)=(1,0,0)$ .
Second cas: $\alpha\not\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}.$ Supposons par l'absurde que la première coordonnée de $f(\alpha,\beta,\gamma)$ est égale à 1. Ainsi $\cot\beta\cot\gamma=1$ et $\cot\alpha\cot\gamma+\cot\alpha\cot\beta=0$ . Alors $\cot\beta=-\cot\gamma.$ Par conséquence $(\cot\beta)^2=-1$ , c'est-à-dire $\cot\beta=\pm i$ . C'est une contradiction, car la cotangente est une application de $\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{C}\setminus\{\pm i\}.$

On vient de prouver que l'image de f ne contient pas la droite épointée D'₁, et par permutation des coordonnées elle ne contient ni D'₂ ni D'₃. Les seuls points de l'image de f ayant une coordonnée 0 ou 1 sont les trois points (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). On vient aussi de voir que la fibre en (1,0,0) est

$f^{-1}(1,0,0)=\left(\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}\right)\times\left{(\beta,\,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^2\,|\,\beta+\gamma\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}\right}.$

De même on obtient les fibres en (0,1,0) et (0,0,1) par permutation des coordonnées.

Montrons maintenant que la restriction de f réalise un revêtement au-dessus $H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3).$ Notons arccot la fonction réciproque de la cotangente. C'est une fonction analytique multivaluée sur $\mathbb{C}\setminus\{\pm i\}$ , primitive de s=-dz/(1+z²). On remarque que le résidu de s en i (resp. -i) vaut i/2 (resp. -i/2). Donc un petit tour dans le sens positif autour de +i (resp. -i) ajoute $-\pi$ (resp. $\pi$ ) à la détermination de arccot.
Soit (u,v,w) dans H tels que u>0, v>0 et w>0. En résolvant l'équation $f(\alpha,\beta,\gamma)=(u,v,w)$ on trouve:

(*) $(\alpha,\beta,\gamma)=\left(\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v,w>0.$

Cette formule (*) se prolonge analytiquement sur tout $H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3).$ Pour voir cela il suffit de vérifier que les valeurs des racines évitent les points ±i où arccot n'est pas défini. Supposons par l'absurde que (vw/u)^½=±i. Alors vw/u=-1. Avec l'égalité u+v+w=1 cela implique v=1 ou w=1. Donc (u,v,w)=(0,1,0) ou (0,0,1), points qui ne sont pas dans $H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3).$ Le prolongement analytique est donc possible, on obtient bien un revêtement, ce qui termine la preuve.

Si u fait un petit tour autour de 0 alors la détermination de la racine change de + en -. Vu que pour tout réel x on a $\rm{arccot}(-x)=\pi - \rm{arccot}(x)$ on obtient alors l'autre solution

(**) $\left(\pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v,w>0.$

Regardons le cas particulier où on prolonge (*) d'un point (u,v,w) dans H avec u>0, v>0, w>0 vers un point (u',v',w') dans H avec u'<0, v'<0, w'>0. Essentiellement il y a à choisir entre deux types de chemins:

Dans le plan de la variable u on fait un petit demi-tour (sens positif) autour de l'origine et dans le plan des v on fait la même chose. (Le point w reste proche de 1.) Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
(I) $\left(\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v<0,\:w>0.$
La variable u fait un petit demi-tour autour de l'origine et v fait la même chose mais dans le sens opposé. Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
(II) $\left(\rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v<0,\:w>0.$

Evidemment ces deux formules n'ont pas besoin de prolongement analytique pour être démontrées. Si la formule (I) donne un triplet de somme $k\pi$ alors la formule (II) donne un triplet de somme $(3-k)\pi.$

1 commentaires

Oeuf de pâques

Par Mathoman, mardi 4 mai 2010 à 11:57 - Maths pour tous - Tags

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :
a(1+ky)x² + by² = 1
Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci
ax²/(1+ky)+ by² = 1.
Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

1 commentaires

A propos

Par Mathoman, lundi 1 septembre 2008 à 22:42 - A propos - Tags

Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule $e^{i\times\pi}+1=0$ qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

la relation d’égalité =
l’addition +
la multiplication $\times$
le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
le nombre transcendant $\pi$ (pour calculer l'aire d’un cercle)
le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
le nombre imaginaire i (solution de l’équation $x^2+1=0$ ).

L’auteur du blog
c'est moi, $\text{[math]}$ , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

aucun commentaire

Carte d'anniversaire mathématique

Par Mathoman, dimanche 5 juillet 2009 à 19:50 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

C'est le moment de transmettre à mon père mes vœux d'anniversaire en forme d'une petite devinette.

Aujourd'hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?

Pour résoudre cet exercice je conseille d'effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on peut utiliser le fait que j'ai plus de vingt-trois ans, que mon père aussi avait plus de vingt-trois ans lorsqu'il a pris la responsabilité de devenir mon père et, enfin, qu'il n'est pas centenaire...

En tout cas je te souhaite une bonne fête d'anniversaire, papa !

3 commentaires

Faut-il un corps pour la méthode du pivot ?

Par Mathoman, jeudi 30 septembre 2010 à 19:36 - Maths pour matheux - Tags

A l'occasion de la solution d'un joli exercice de type colle sur les matrices (voir le blog de Pierre Lecomte), je suis naturellement amené à poser la question suivante.

Soit A une matrice inversible à coefficient dans un corps. Alors par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en la matrice unité. En fait c'est la méthode du pivot de Gauss qui permet cela. On en déduit que A est un produit de matrices correspondantes aux trois types d’opérations élémentaires (permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout d’une ligne à une autre).
Cette écriture en produit est pratique car elle permet de prouver plein de choses. Par exemple, pour montrer que le déterminant conserve les produits il suffit de le vérifier pour la multiplication entre une matrice de ce type et une matrice quelconque — et c'est tout facile.

Or comment ça se passe-t-il sur un anneau ? Plus précisément :

Soit R un anneau commutatif et A une matrice carrée avec coefficients dans R telle que det(A) est une unité de R. On sait que A est une matrice inversible (c’est du classique, voir par exemple ici pour la formule qui donne l'inverse en fonction de (det A)^-1 et de la comatrice).
Question : Peut-on ramener A à la matrice unité par des opérations élémentaires ?

Peut-être avez-vous déjà réfléchi là-dessus et connaissez la réponse...

13 commentaires

Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

Par Mathoman, jeudi 18 septembre 2008 à 17:18 - Conjecture - Tags

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et $U_1,U_2,\,\dots\,,U_n$ un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert $U_j$ soit $f_j$ une fonction holomorphe injective telle que $df_j=df_k$ sur toutes les intersections $U_j\cap U_k$ . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

$\:f(z)=e^{1/z}=\sum_{k=0}^{\infty}\:\frac1{k!z^k}\;$

est holomorphe sur $\mathbb{C}\backslash0$ et possède une singularité essentielle en $0$ . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme $f(z)\neq0$ pour tout $z\in\mathbb{C}\backslash0$ , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe $w\neq0$ et pour tout $\epsilon>0$ il existe une infinité de nombres complexes $z$ tels que $0<|z|<\epsilon$ et $f(z)=w$ .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul $w$ et un $\epsilon>0.$ Il existe alors deux réels $r>0$ et $\varphi$ tels que

$w=re^{i\varphi}.$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ posons $u_n=\ln r+i(\varphi+2\pi n)$ et $z_n=1/{u_n}.$ Alors $\lim_{n\to\infty}z_n=0$ .
Ainsi on a on a

$f(z_n)=e^{u_n}=e^{\ln r+i(\varphi+2\pi n)}=re^{i \varphi}=w.$

Par conséquence, en prenant $n$ assez grand, on voit que $w$ possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé $0<\,|z|\,<\epsilon$ .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par

$g(z)=\sum_{p \in P}^{}\frac{1}{p!z^p}$ .

On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

2 commentaires

Quel est le socle commun pour entrer en fac ?

Par Mathoman, mardi 1 septembre 2009 à 11:37 - Maths et société - Tags

Il bien connu (voir par exemple mon billet ou celui de Fabien sur les connaissances de élèves en terminale ou encore l'article de Michel Delord sur la maîtrise générale du calcul à l’entrée en sixième) que les exigences pour passer d'une classe à l'autre du cursus scolaire ont baissé. Les lacunes ainsi accumulées deviennent presque insurmontables, de manière qu'à la fin on est obligé de donner le bac assez facilement (voir par exemple cet excellent article sur la baisse de niveau du bac de physique ou ces réflexions sur la différence de niveau du bac entre la métroploe et la Réunion).

Quelles sont les conséquences pour les études supérieures que, selon les projets politiques, devraient entamer et réussir 50% des jeunes ? Voici un constat pratique. Recemment j'étais à la cafétéria d'une université parisienne. Sur le comptoir on avait posé cette affiche :

Le Crous cautionne-t-il le faible niveau en calcul mental des étudiants?

Vu à la fac : tableau de prix pour les nuls

D'abord je me suis dit que le CROUS de Paris propose un tarif dégressif pour des commandes groupées — mais non, il s'agit simplement d'un tableau nécessaire aux nombreux étudiants qui ne savent pas calculer quatre fois six... Le socle commun pour entrer en fac, finalement à quel niveau est-il ? Faut-il introduire les nombres négatifs pour le mesurer ?

1 commentaires

Remarques sur l'enseignement des math au collège

Par Mathoman, samedi 27 mars 2010 à 14:37 - Enseigner les maths - Tags

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

$\frac3{40}\;+\;\frac1{12}\;+\;\frac3{8}\;.$

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

$\begin{array}{rcl} \frac3{40}\;+\;\frac1{12}\;+\;\frac3{8} \;&=&\;\frac3{2^3\times5}\;+\;\frac1{2^2\times3}\;+\;\frac3{2^3} \\ \;&=&\;\frac{3\times3}{2^3\times3\times5}\;+\;\frac{2\times5}{2^3\times3\times5}\;+\;\frac{3\times3\times5}{2^3\times3\times5} \\&&\phantom{\frac{\frac AA}{\frac AA}}\\ \;&=&\;\frac{9+10+45}{2^3\times3\times5}\;=\;\frac{64}{2^3\times3\times5}\;=\;\frac{8}{3\times5}\;=\;\frac{8}{15} \end{array}$

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est $2^3\times3\times5$ car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle. On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite. En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

12 commentaires

Evaluation par QCM dans l'enseignement supérieur

Par Mathoman, lundi 7 juin 2010 à 15:00 - Enseigner les maths - Tags

Dans mon dernier billet sur l'enseignement des mathématiques je parlais du système américain et allemand des devoirs maison hébdomadaires. Je me félicite du succès de ce billet : en effet, les responsables de l'enseignement des maths en cycle préparatoire à l'école d'ingénieurs Estaca l'ont lu et ont décidé la mise en place de ce système à partir de la rentrée prochaine.

Aujourd'hui j'aimerais parler d'une autre idée pour rendre plus efficace le contrôle des acquis des étudiants : les questionnaires à choix multiples. Traditionnellement nous, les matheux, nous n'aimons pas les QCM. Nous considérons les mathématiques comme une sorte d'art où le chemin du raisonnement choisi et la grâce avec laquelle on danse sur ce chemin, c'est-à-dire le style de rédaction, sont aussi importants que le résultat à trouver. Et cela ne peut pas être évalué par un QCM. — C'est vrai. Or quand nous corrigeons les partiels en premier cycle nous faisons souvent l'expérience que très peu d'étudiants savent rédiger correctement une suite d'idées. Et la remarque suivante montre que ce phénomène perdure même dans les semestres supérieurs : L’utilisation des hypothèses données dans l’énoncé doit être signalée au moment opportun et non en vrac en début de question, afin de montrer l’articulation du raisonnement (extrait du rapport du jury de l'agrégation 2009).
Il y a donc un décalage entre nos attentes et les résultats. Et ce n'est pas étonnant car le système des TD actuel n'apprend une rédaction cohérente. Comme le professeur de TD ne peut pas contrôler l'écrit de chacun, les étudiants ne font que recopier une rédaction exemplaire au tableau — ce qui est déjà une bonne chose mais ne suffit point, ça serait comme si on voulait apprendre à jouer le violon en écoutant Gidon Kremer. On revient donc au problème déjà cité de l'efficacité des TD...

Alors à quoi bon d'évaluer les étudiants par des choses sur lesquelles ils n'ont pas eu l'occasion de s'entraîner ? J'ai donc décidé, pour ma part, de faire désormais l'évaluation en forme de QCM (dans les établissements qui n'ont pas mis en place un système de correction de devoirs maison). Mon premier tel examen 100% QCM peut être consulté ici.

Quelles sont les compétences mathématiques qu'on peut évaluer par un QCM ? A mon avis, un bon pourcentage des méthodes au programme d'un premier cycle en école d'ingénieur ou en tronc commun de L1 : dériver, intégrer, systèmes linéaires, équations différentielles linéaires, etc. D'après ce que j'ai vu c'est déjà suffisant pour trier les bons et les mauvais étudiants ;-)

Recherche de collaborateurs

Maintenant je viens avec une proposition concrète : qui a envie de participer à établir une base d'exercices en ligne en forme de QCM ? Qui est-ce qui a déjà de l'expérience en ce domaine (peut-être avec WIMS) et souhaite la partager ? L'idée serait la suivante.

Une grande base de questions serait disponibles en ligne pour que les étudiants puissent s'entraîner chez eux.
Une autre partie de questions serait reservée aux épreuves que les étudiants passent dans les salles d'ordinateur le jour de l'examen.
Les résultats étant calculés automatiquement il n'y aura plus de travail de correction ni erreur d'évaluation possible.
Une fois la base d'exercices créée et assez grande, on peut la rentabiliser et organiser des évaluations très fréquentes...
Les exercices ne devraient pas forcément être interactives, originales ou d'une grande valeur pédagogique en e-learning (comme souvent dans WIMS), car ils serviraient uniquement à évaluer, l'enseignement en TD restant inchangé.

11 commentaires

Catégories

Forme générale d'une formule

Commentaires

Ajouter un commentaire

Pourquoi ne pas lire aussi :

Maths CM2

Fibres d'une application complexe

Oeuf de pâques

A propos

Carte d'anniversaire mathématique

Faut-il un corps pour la méthode du pivot ?

Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

Quel est le socle commun pour entrer en fac ?

Remarques sur l'enseignement des math au collège

Evaluation par QCM dans l'enseignement supérieur

Archives

Blogs de maths

Autres sites

Blogs divers

Syndication