Forme générale d'une formule
Par MathOMan, mardi 19 janvier 2010 à 18:26 - Maths pour tous - Tags - RSS
Par MathOMan, mardi 19 janvier 2010 à 18:26 - Maths pour tous - Tags - RSS
Par Mathoman, mercredi 21 janvier 2009 à 21:30 - Maths pour tous - Tags
Pourquoi le nombre
de la formule
pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule
pour calculer la surface d'un disque ?
Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.
Par Mathoman, dimanche 5 juillet 2009 à 19:50 - Exo, enigme, casse-tête - Tags
C'est le moment de transmettre à mon père mes vœux d'anniversaire en forme d'une petite devinette.
Aujourd'hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?
Pour résoudre cet exercice je conseille d'effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on peut utiliser le fait que j'ai plus de vingt-trois ans, que mon père aussi avait plus de vingt-trois ans lorsqu'il a pris la responsabilité de devenir mon père et, enfin, qu'il n'est pas centenaire...
En tout cas je te souhaite une bonne fête d'anniversaire, papa !
Par Mathoman, jeudi 18 septembre 2008 à 17:18 - Conjecture - Tags
A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:
Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe etun recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert
soit
une fonction holomorphe injective telle que
sur toutes les intersections
. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.
Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...
En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.
Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.
Exemple typique pour le théorème de Picard
La fonction définie par
et possède une singularité essentielle en
. L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme
pour tout
, cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe
et pour tout
il existe une infinité de nombres complexes
tels que
et
.Calcul direct avec cet exemple
Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul
et un
Il existe alors deux réels
et
tels que
posons
et
Alors
.
assez grand, on voit que
possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé
.Un exemple moins évident
Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
.Par Mathoman, mardi 1 septembre 2009 à 11:37 - Maths et société - Tags
Il bien connu (voir par exemple mon billet ou celui de Fabien sur les connaissances de élèves en terminale ou encore l'article de Michel Delord sur la maîtrise générale du calcul à l’entrée en sixième) que les exigences pour passer d'une classe à l'autre du cursus scolaire ont baissé. Les lacunes ainsi accumulées deviennent presque insurmontables, de manière qu'à la fin on est obligé de donner le bac assez facilement (voir par exemple cet excellent article sur la baisse de niveau du bac de physique ou ces réflexions sur la différence de niveau du bac entre la métroploe et la Réunion).
Quelles sont les conséquences pour les études supérieures que, selon les projets politiques, devraient entamer et réussir 50% des jeunes ? Voici un constat pratique. Recemment j'étais à la cafétéria d'une université parisienne. Sur le comptoir on avait posé cette affiche :
![]() |
Vu à la fac : tableau de prix pour les nuls |
D'abord je me suis dit que le CROUS de Paris propose un tarif dégressif pour des commandes groupées mais non, il s'agit simplement d'un tableau nécessaire aux nombreux étudiants qui ne savent pas calculer quatre fois six... Le socle commun pour entrer en fac, finalement à quel niveau est-il ? Faut-il introduire les nombres négatifs pour le mesurer ?
Par Mathoman, lundi 1 septembre 2008 à 22:42 - A propos - Tags
Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !
Le logo du site
illustre la fameuse formule
qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

(pour calculer l'aire d’un cercle)
).L’auteur du blog
c'est moi,
, alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques à Munich, Nice, Bonn et Paris pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier).
En 2002 j'ai passé l'agrégation (r.83). En 2009, après quelques années turbulentes au sein de divers établissements de l'Education Nationale, j'ai pris mon destin dans mes propres mains et maintenant j'assure, en tant qu'enseignant-freelance, des cours, TD, heures d'interrogation en maths et informatique dans plusieurs écoles d'ingénieurs (ESTACA, ESILV, ISEP) et classes prépa parisiennes. Si vous avez du travail (hors enseignement dans le secondaire et cours particuliers) à me proposer n'hésitez pas à me contacter.
Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)
Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.
Par Mathoman, lundi 15 juin 2009 à 17:37 - Maths pour tous - Tags
Il est rare qu'une simple question de la vie quotidienne devient un problème de mathématiques quasiment insurmontable... mais ça peut arriver ! Il y a une quarantaine d'années le mathématicien autrichien Leo Moser se posait, probablement lors d'un déménagement entrepris tout seul, la question suivante :
Quelle est la taille maximale d'un canapé que je dois déménager horizontalement le long d'un couloir lorsque celui-ci présente un angle doit ?
Supposons que la largeur du couloir vaut 1. Comme un demi-disque de radius 1 passe clairement par l'angle, la taille l'aire maximale est minorée par
. Mais évidemment on peut faire mieux. L'anglais John Michael Hammersley proposa la solution ci-dessous en forme de combiné téléphonique, sans pourtant prouver que c'est la solution maximale (et effectivement Gerver a trouvé plus tard un sofa encore plus grand). En outre il démontre que la taille maximale est majorée par 
On a donc un majorant et un minorant, mais quelle est la valeur exacte de la taille maximale ? Actuellement c'est toujours un problème ouvert. Pour monter des fonds de recherche pour bien attaquer ce problème important de mathématiques très appliquées, peut-être faudrait-il organiser une conférence inter-disciplinaire entre mathématiciens et la branche de scientifiques la plus concernée : les psycho-analystes !
Par Mathoman, samedi 6 septembre 2008 à 21:28 - Maths pour matheux - Tags
. Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!
et 
signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans
. Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de
:





est la sphère
. Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point x.
par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons
Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire
et son bord
dans les cas n=1,2,3.







Par Mathoman, dimanche 8 novembre 2009 à 23:17 - Maths pour tous - Tags
Le fait que
est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration
de cette égalité.
On poseX = 0,99999...Alors on a l'égalité10X = 9,99999...dont on soustrait la première,9X = 9,00000...D'où X = 1.
Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve
mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 fois 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.
Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :
Une bien meilleure méthode
On pose X = 0,99999... et on admet (!) que
0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X
donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.
En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.
Autrement dit,Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1. CQFD
Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.
Brenoms
D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.
Par Mathoman, vendredi 26 février 2010 à 08:10 - Maths pour matheux - Tags
Mon dernier billet où on parlait de racines multiples de polynômes m'a rappelé quelques souvenirs de notions que j'avais apprises pendant ma maîtrise.
Le résultant de deux polynômes
Considérons deux polynômes


La proposition suivante est la raison d'être du résultant.
Proposition. On a R(P,Q)=0 si et seulement si P et Q possèdent un diviseur commun non-constant.
Le discriminant d'un polynôme
Dans le cas où Q est la dérivée de P le résultant porte un nom particulier : on appelle R(P,P') le discriminant de P. La proposition ci-dessus implique le corollaire ci-dessous.
Corollaire. Un polynôme complexe admet une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul.
Testons au moins la véracité de ce corollaire sur les polynômes de second degré (que les profs de lycée appellent trinômes) !


Nous retrouvons ainsi le fait, connu par tout lycéen en classe première S, que le polynôme de second degré aX²+bX+c possède une racine double si et seulement si b²-4ac=0.
Groupe fondamental du complémentaire du lieu discriminant
Maintenant revenons au niveau maîtrise (des nos jours master ou encore magistère...) pour poser les deux questions suivantes. Dans l'espace
on appelle lieu discriminant le sous-ensemble
formé des
tels que le polynôme

est connexe par arcs.
? Le décrire par générateurs et relations.Les réponses sont plutôt faciles ; pour la deuxième question, pas la peine de tout formaliser, le handwaving suffit car dans cet exemple le formalisme ne donne rien en valeur ajoutée...
Par Mathoman, samedi 5 décembre 2009 à 18:00 - Maths et société - Tags
Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :
Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture.Etc., etc....
Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.
J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.
De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son
shaped knowledge !(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.
(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.
Commentaires
1. Le mardi 19 janvier 2010 à 20:55, par Klaus
2. Le mercredi 20 janvier 2010 à 06:49, par MP
3. Le mercredi 20 janvier 2010 à 12:37, par Klaus
4. Le mercredi 20 janvier 2010 à 22:21, par JLT
5. Le jeudi 21 janvier 2010 à 16:13, par MathOMan
6. Le jeudi 21 janvier 2010 à 17:54, par MathOMan
Ajouter un commentaire