Noël est le temps des casse-noisettes, non des casse-têtes pour mes amis les matheux. Voici une égalité :

Le but est de démontrer qu'elle est vraie pour tout entier n strictement positif. Comme d'habitude en maths c'est la dévise short is beautiful, c'est-à-dire il faut trouver une solution courte et élégante, sans avoir beaucoup de calcul à faire. On pourra s'inspirer de l'image d'un père noël ayant des cadeaux à distribuer dans des chaussettes...

Vous achetez une moquette pour couvrir le sol d'une pièce qui fait 9m x 12m. Le vendeur vous donne deux morceaux, 10m x 10m et 1m x 8m.
Vous protestez: "La superficie totale est bien celle de ma chambre mais ce ne sont pas les bonnes tailles!"
Le vendeur: "Je vous rassure, il suffit de couper le grand morceau en deux, ensuite vos trois morceaux rentreront parfaitement.''
Mais arrivé à la maison vous avez du mal à suivre le conseil du vendeur — et pourtant c'est possible! Quelle coupe faut-il faire?



Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

Vous avez douze boules d'or qui se ressemblent. Elles ont exactement le même poids à l'exception d'une qui est une imitation, et vous ne savez pas si elle est plus lourde ou plus légère que les vraies boules d'or.

Vous disposez d'une simple balance à plateaux. Est-il possible d'isoler avec trois pesées la fausse boule et de déterminer en même temps sa nature (plus lourde ou plus légère)?



Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

Quand on dit que quelqu'un a une bonne vision dans l'espace, c'est pour exprimer que cette personne est capable de restituer à partir des informations d'un dessin 2-dimensionnel (par exemple sur une feuille de papier ou à l'écran de votre ordinateur) la position d'un objet dans l'espace 3-dimensionnel.

Ce qui est facile pour certains peut être difficile pour d'autres. Cette vision dans l'espace n'est pas innée à tout le monde, c'est une capacité qu'on peut entraîner ; et dans certaines professions elle est indispensable, par exemple en architecture.

Quand on passe d'une configuration à 3 dimensions vers un dessin à 2 dimensions, forcément on perd certaines informations. Ainsi le dessin d'un cube transparent ci-haut admet deux "vues" possibles qu'on a representées avec deux cubes opaques.
Tandis que la première de ces deux possiblilités ne semble pas poser beaucoup de problèmes, la deuxième n'est pas évidente pour tous. C'est pourquoi ci-dessous je la reprends en ajoutant deux hommes, l'un portant le cube, l'autre se promenant dessus. Cela clarifie la perspective.

Exercice
Vous pouvez maintenant faire un exercice : cachez les deux cubes à droite, fixez le cube à gauche et essayez de passer d'une perspective à l'autre ! C'est un bon entraînement...

Souvent on utilise aussi des traits en pointillets pour distinguer les bords invisibles des bords visibles:

Un autre exercice
Voici un autre exercice basé sur le même concept mais qui exige plus d'imagination.

On peut voir de deux manières la silhouette de la danseuse ci-dessus:

• La fille nous montre son dos. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa droite et c'est sa jambe droite qui est levée.
• Nous voyons le visage de la fille. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa gauche et c'est sa jambe gauche qui est levée.

Essayez de passer d'une vue à l'autre ! C'est beaucoup plus dur qu'avec les cubes. Et ça devient encore plus difficile, si elle tourne.

• Soit elle tourne sur sa jambe gauche. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.
• Soit elle tourne sur sa jambe droite. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner contre le sens des aiguilles d'une montre.

Quant à moi, je vois spontanément la première possibilité. Mais quelques fois j'arrive à adopter la deuxième vue, et seulement si je fais un effort. Et j'y reste bloqué, c'est-à-dire immédiatement après je ne peux plus revoir la première vue.

Il est aussi intéressant de tenir compte de l'ombre de la jambe soulevée. Comme on ne voit qu'une silhouette de la danseuse on déduit que l'éclairage est placé derrière la fille ; donc quand l'ombre du pied soulevé appraît en bas de l'image cela signifie que ce pied est plus loin du spectateur que pendant la phase où l'ombre est hors du cadre. Le seul sens possible est alors le deuxième !

Paradoxes
Lorsqu'on essaie de coder un objet 3D dans un dessin 2D, on peut perdre de l'information, mais on peut aussi créer des informations contradictoires, c'est-à-dire on peut faire des représentations pour lesquels il n'existe pas d'objet dans l'espace à 3 dimensions l'ayant pour image — ce qu'a fait l'artiste Maurits Cornelis Escher avec son escalier impossible

ou le mathématicien Roger Penrose avec son fameux triangle impossible (aussi tripoutre ou tribarre).

Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule    qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

• la relation d’égalité =
• l’addition +
• la multiplication
• le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
• le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
• le nombre transcendant (pour calculer l'aire d’un cercle)
• le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
• le nombre imaginaire i (solution de l’équation ).

L’auteur du blog
c'est moi, , alias MathOMan.

J'ai étudié les mathématiques à Munich, Nice, Bonn et Paris pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier).

En 2002 j'ai passé l'agrégation (r.83). En 2009, après quelques années turbulentes au sein de divers établissements de l'Education Nationale, j'ai pris mon destin dans mes propres mains et maintenant j'assure, en tant qu'enseignant-freelance, des cours, TD, heures d'interrogation en maths et informatique dans plusieurs écoles d'ingénieurs (ESTACA, ESILV, ISEP) et classes prépa parisiennes. Si vous avez du travail (hors enseignement dans le secondaire et cours particuliers) à me proposer n'hésitez pas à me contacter.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Aujourd'hui j'ai reçu cet email d'un collègue dont je dois taire le nom car il habite dans le spectre d'un "corps" à un élément :

\begin{lamentations}
J'ai enfin découvert le chaînon manquant entre le buse et l'évier : un élève dont je dois taire le nom a réussi écrire « ln(-1) » à 4 reprises dans sa copie !
\end{lamentations}

Lorsque nous enseignants corrigeons des copies d'examen en première ou deuxième année à l'université ou dans une école d'ingénieurs, très souvent nous nous arrachons les cheveux. Nous ne comprenons pas pourquoi les étudiants n'arrivent pas à refaire des exercices semblables à ceux qu'on a traités en TD ; ou pourquoi ils n'arrivent pas à faire des raisonnements simples.

Evidemment pour une grande partie le responsable de cet échec est le système de l'enseignement secondaire et primaire qui, en cherchant la facilité du zapping sans apprentissage des connaissances fondamentales, fait que dans l'enseignement supérieur on construit sur du sable. Mais comme nous n'y pouvons rien changer, il faut chercher à améliorer le système où nous intervenons, c'est-à-dire l'enseignement supérieur, et le rendre plus efficace.

Ayant fait une partie de mes études en Allemagne je vais proposer une idée inspirée du système universitaire allemand. D'ailleurs cette idée existe aussi dans les pays anglo-saxons. La photo suivante illustre la solution que je propose.

Etudiant de maths à l'université de Munich rendant l'un de ses d.m. hebdomadaires

Devoirs maisons notés

De quoi s'agit-il ? Il s'agit de devoirs maisons qui sont à rendre chaque semaine. Vous allez répondre : Mais qui est-ce qui va corriger tout ça ? Dans un amphi il peut bien avoir 150 à 200 étudiants par module, ça fait donc beaucoup de copies par semaine ! Les profs aux universités allemandes passent-ils leur nuits à corriger des copies ? Dans une classe prépa française, oui, ça peut fonctionner (et ça fonctionne car il y a beaucoup moins d'élèves et un professeur bien payé), mais pas à l'université !
Evidemment on ne peut pas transposer le système des prépa à une système universitaire où les TD et cours sont souvent assurés par des vacataires. Car on aura du mal à recruter un vacataire qui corrige chaque semaine les devoirs maison de ses groupes de TD ; sans augmentation sensible de sa paye il ne le fera pas.

L'étudiant Korrektor ou Grader

Donc qui est-ce qui va corriger toutes ces copies pour un salaire correct ? Les universités allemandes et américaines nous donnent l'exemple, ils font de l'outsourcing, en confiant ce travail à un personnel moins qualifié et donc moins coûteux : des étudiants de 3^e ou 4^e année. Ces Korrektoren ou graders sélectionnés, même s'ils n'ont pas forcément le niveau nécessaire pour enseigner, sont bien capables de corriger les copies suivant les instructions et le barême imposé par le professeur responsable du cours. La rémunération est certainement plus basse que celle qu'on devrait payer à un docteur ou agrégé.

Organisation

Chaque semaine les copies sont à rendre avant une heure et un jour fixe. La note des devoirs maison peut être intégrée dans la moyenne générale (avec un faible coefficient pour ne pas inciter à la tricherie). Dans l'examen final certains exercices pourraient être inspirés des DM.
Les exercices des DM sont corrigés dans des séances de correction qui remplacent les actuels séances de TD. On peut rentrer dans le sens même des exercices car le temps d'assimilation de l'énoncé n'est plus pris sur le temps de la séance.
D'ailleurs on pourrait encourager le travail en groupe en autorisant de rendre une seule copie par binôme (cela diminuerait aussi le coût ce correction). Je sais de mes propres études que j'ai beaucoup appris à travailler à deux ou à trois sur un DM.

Avantages

1. Contrôle régulier des acquis. Dans le système français actuel l'étudiant est censé de préparer son exercice à la maison avant le TD ; or dans la séance de TD ce n'est pas lui, mais le professeur ou un autre étudiant, qui expose la solution, et donc le travail de l'étudiant ne sera jamais controlé. Il n'y a simplement pas le temps pour contrôler tous. Après quelques semaines, l'étudiant cesse de préparer ses exercices ou il le fait avec une rédaction peu complète.
   Seulement des devoirs maison corrigés garantissent un travail complet et régulier.

2. Apprentissage de la rédaction. Un débutant en mathématiques apprend à rédiger et raisonner clairement seulement si on le corrige. Quand j'étais moi-même étudiant en première année je n'aurais jamais appris à bien rédiger si je n'avais pas su que ce que j'écrivais serait lu par un correcteur.

3. Gratification. Je dis souvent que les mathématiques sont une sorte de masturbation mentale... mais masturbation fertile ! Si on veut que les étudiants aiment les maths au moins un tout petit peu, il faut leur donner la chance de la découverte. Or dans le système actuel des TD (où on ne contrôle pas le travail de tous) l'étudiant moyen ne prépare pas ses exos. Dans la séance de TD il n'a jamais le temps de trouver le truc, il y aura toujours quelqu'un autre avant lui, le professeur ou un étudiant très fort, qui présente la solution. Cela prive l'étudiant du plaisir que peuvent donner les mathématiques car il n'est jamais récompensé par le sentiment d'avoir trouvé le truc lui-même.

4. Augmenter l'autonomie des étudiants. De la même manière que vous ne trouvez personne qui a appris à jouer au piano en allant au concert, on peut dire que les mathematiques passives n'existent pas. Or dans une séance de TD peu de temps est laissé au travail de chaque élève. Il est évident que les DM augmentent la capacité de travail autonome. Le jour d'un examen l'étudiant se trouve seul devant sa feuille, il ne peut pas poser une question à son professeur de TD. Avec les devoirs maison il se prépare mieux à cette situation.

5. Le labo de maths, c'est la tête. Pour des sciences expérimentales comme la physique, la chimie, la biologie, les séances de TP en laboratoire sont essentielles. En mathématiques c'est la tête qui joue le rôle de laboratoire. Et quelque fois vaut mieux que l'enseignant reste loin et laisse le temps aux expériences de fermir dans la tête de l'étudiant. C'est comme avec un élève de violon qui pratique, quelque fois vaut mieux ne pas être à côté...

6. Approfondir les connaissances, inciter à l'esprit de recherche. Dans une séance de TD du système actuel on ne peut jamais poser de vrais problèmes intéressants qui demandent un peu de temps de refléxion. On se restreint souvent à des exercices d'application de quelques recettes et si on fait un exo plus intéressant on n'a pas le temps de laisser chercher tous les élèves. Or dans une feuille de DM on peut aussi donner quelques exercices qui demandent un peu plus de recherche.

7. Recruter des futurs enseignants ou chercheurs. Les étudiants en 3^e ou 4^e année sélectionnés et payés pour être correcteurs font ainsi leurs premières expériences dans une équipe pédagogique de l'enseignement supérieur. Ce point peut enrichir leur CV. On pourrait également valoriser ce travail dans leur cursus d'études.

8. Démystifier la réussite. Les étudiants correcteurs en 3^e ou 4^e année serviront de bon exemple aux étudiants de 1^ère ou 2^e année et montrent qu'il est bien possible de réussir.

9. Economiser de l'argent en augmentant le niveau. Vu que les actuels séances de TD n'existeraient plus et céderaient la place à des séances de correction de d.m. on peut les faire en groupes plus grands. En plus, inutile de dépenser de l'argent dans des cours de mise à niveau que certains établissement font ; car on peut faire autant de cours de mise à niveau qu'on veut — si les étudiants ne travaillent pas chez eux, c'est du temps et de l'argent perdu.

Voilà donc mes idées d'Outre-Rhin. Ca marche très bien là-bas, je vous assure. Pourquoi ne pas l'essayer ici ?

Souvent les étudiants en première année ont une idée intuitive pour une preuve mais lorsqu'ils l'écrivent avec les termes de la logique mathématique leur rédaction est très maladroite, voire fausse ou illisible. Ces lignes leur sont destinées. Je vais montrer sur des exemples très simples ce qu'il faut faire et ce qu'il faut éviter.

Syntaxe d'une assertion

Une assertion (ou proposition) mathématique est une phrase contenant un verbe. Les verbes mathématiques sont par exemple

et leurs négations. Par exemple

7 + 1 = 8

est une assertion (qui est vraie), et

1 < 0

est une assertion (qui est fausse). Mais

7+1

n'est pas une assertion car elle ne contient pas de verbe, donc on ne peut pas se demander si elle est vraie ou fausse. Entre deux assertions équivalentes on n'écrit pas = mais le symbole . Ce symbole étant lui-même un verbe c'est donc un emboîtement d'assertions (pensez aux poupées russes).
Ecrire n'a aucun sens car [1,5] n'est pas une assertion (c'est un intervalle). En revanche, on peut écrire
Il ne suffit pas de mettre un verbe pour avoir une assertion, il faut aussi que la syntaxe soit correcte. Par exemple écrire et n'ont pas de sens. Mais et sont des assertions (qui sont vraies d'ailleurs).
Le langage mathématique suit les mêmes règles que notre langage habituel (phrase principale, phrase relative, conjonctions,...). Si quelqu'un vous disait

Nous ¤ camping # faisez ((à pluie sec

pouvez-vous dire qu'il dit la vérité ou non ? Non, vous ne pouvez pas ! Or c'est précisément ce que certains étudiants (de plus en plus nombreux) écrivent trop souvent sur leurs copies de mathématiques : des juxtapositions de symboles qui ne donnent aucun sens. Et donc nous, les correcteurs, ne pouvons pas donner de point pour ce charabia.
Les symboles ne sont que des raccourcis d'écriture. Vous devriez être capables de rédiger sans eux. Si la traduction en langage français de ce que vous écrivez à l'aide de symboles n'a pas de sens, alors il y a un problème.

Introduire les objets avant leur utilisation

Ne faites jamais apparaître un objet sans l'introduire. Par exemple n'écrivez pas

.

Peut-être votre enseignant au lycée vous a donné cette mauvaise habitude, mais la lettre S n'est pas universellement reconnue pour désigner l'ensemble de solutions d'une équation. Il faut donc faire précéder par une petite phrase comme : Notant S l'ensemble de solutions de l'équation x²-6x+5=0 on obtient... Mais cela est bien lourd. Ecrivez donc plus simplement

Exemples de bonne syntaxe

Les théorèmes 1, 2 et 3 ci-dessous sont des assertions. Les deux premiers sont équivalents ; et chacun d'entre eux implique le troisième.

Théorème 1.  Soit . Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur si et seulement si a > 0.

Théorème 2.  Pour tout réel a la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur si et seulement si a > 0.

Théorème 3.  Si a > 0 est un réel alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur .

Exemples de mauvaise syntaxe

Les théorèmes 4 et 5 ci-dessous ne sont pas des assertions (syntaxe incorrecte) — donc impossible de dire s'ils sont vrais ou faux.
Le théorème 6 est une assertion très mal formulée. (Elle est vraie, réfléchissez-y !)

Théorème 4.  . Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur si et seulement si a > 0.

Théorème 5.  Pour tout réel x la fonction f définie par f(x)=ax est strictement croissante sur si et seulement si a > 0.

Théorème 6.  Il existe tel que la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur si et seulement si a > 0.

La preuve du théorème 2 devrait commencer comme suit.

Preuve du théorème 2.  Soit a un réel. Blabla...

En revanche, écrire soit a un réel dans la preuve du théorème 1 serait très confus car le réel a est déjà donné par l'énoncé du théorème 1.

Mauvaise rédaction de la preuve

Preuve du théorème 2 (version débutant).  Soit a un réel.
Supposons a > 0. Il faut montrer que pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). Or x < y et a > 0 entraînent ax < ay ou encore f(x) < f(y). Donc f est strictement croissante.
Réciproquement supposons que f est strictement croissante, c'est-à-dire pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). On voit sur l'inégalité ax < ay que a doit être forcément positif, sinon l'inégalité devrait être dans l'autre sens.

Trois erreurs :

• On voit sur l'inégalité ax < ay .... Or les symboles x et y n'ont pas été introduits précédemment. Il fallait écrire soit x et y....
• La fin du raisonnement devrait être... n'est pas clair.
• Le débutant écrit il faut montrer que... puis il donne la définition d'une fonction strictement croissante. Or redonner une définition tellement basique c'est presqu'un insulte vis-à-vis du correcteur ! Evitez de redonner des définitions que tout le monde connaît et n'écrivez pas ce que vous voulez démontrer si c'est déjà écrit clairement dans l'énoncé.
  En revanche, si ce que vous allez démontrer est une reformulation équivalente ou seulement une condition nécessaire du résultat voulu alors il est souhaitable que vous écrivez "je vais démontrer que...". Par exemple c'est une bonne idée d'écrire : Soit a > 0. Pour montrer que la fonction la fonction de l'énoncé est strictement croissante je vais prouver que sa dérivée est strictement positive.

Bonne rédaction

Preuve du théorème 2.  Soit a un réel.

Supposons a > 0. Soient x, y deux réels tels que x < y. Alors on a
f(x) = ax < ay = f(y). Cela prouve que f est strictement croissante.

Réciproquement supposons f strictement croissante. Alors l'inégalité 0 < 1 entraîne l'inégalité 0 = f(0) < f(1) = a.

Structure d'une preuve

Exemple de structure d'une preuve bien rédigée :

Enoncé.  Soient A et B des ensembles et f une application de A dans B. Montrer que si on a (H) alors f est injective.
Preuve.
Supposons (H). Soient x et y deux éléments de A tels que f(x) = f(y) ......
...... (je raisonne) ...... j'utilise la propriété (H) ...... (je raisonne) ...... j'obtiens x = y.
Cela prouve l'injectivité de f.

Autrement dit, vous introduisez deux éléments x et y qui vérifient l'égalité f(x) = f(y), puis vous gardez en tête (mais surtout sans l'écrire) que vous voulez arriver à l'égalité x = y. Sur le chemin du raisonnement vous devez, très probablement, utiliser la propriété (H).

Preuve alternative (par contraposition).
Supposons (H). Soient x et y deux éléments distincts de A ......... (je raisonne) ........
........ j'utilise la propriété (H) ........ (je raisonne) ........ je trouve que f(x) est différent de f(y). Cela prouve l'injectivité de f.

Autre conseil

Mon collègue et ami Laurent Kaczmarek a écrit des conseils de rédaction utiles concernant la notation des fonctions en analyse.