Lieu discriminant

Mon dernier billet où on parlait de racines multiples de polynômes m’a rappelé quelques souvenirs de notions que j’avais apprises pendant ma maîtrise.

Le résultant de deux polynômes

Considérons deux polynômes

\(P=a_0+a_1 X+a_2 X^2+\,\cdots\,+a_n X^n,\;Q=b_0+b_1 X+b_2 X^2+\,\cdots\,+b_m X^m.\)

Leur résultant R(P,Q) est le déterminant de la matrice de Sylvester, matrice carré d’ordre m+n dont on comprend la construction par l’exemple ci-dessous pour n=4 et m=3.

\(R(P,Q)=\begin{vmatrix}
a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0
\end{vmatrix}\)

La proposition suivante est la raison d’être du résultant.

Proposition. On a R(P,Q)=0 si et seulement si P et Q possèdent un diviseur commun non-constant.

Le discriminant d’un polynôme

Dans le cas où Q est la dérivée de P le résultant porte un nom particulier : on appelle R(P,P’) le discriminant de P. La proposition ci-dessus implique le corollaire ci-dessous.

Corollaire. Un polynôme complexe admet une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul.

Testons au moins la véracité de ce corollaire sur les polynômes de second degré (que les profs de lycée appellent trinômes)&nbsp!

On calcule alors le discriminant de P comme déterminant d’une matrice 3×3 (règle de Sarrus),

\(R(P,P’)=
\begin{vmatrix}
c & b & a \\
b & 2a &0 \\
0 & b & 2a
\end{vmatrix} =
c\begin{vmatrix}
2a &0 \\
b & 2a
\end{vmatrix}
-b \begin{vmatrix}
b & a \\
b & 2a
\end{vmatrix} = -a(b^2-4ac).
\)

Nous retrouvons ainsi le fait, connu par tout lycéen en classe première S, que le polynôme de second degré aX²+bX+c possède une racine double si et seulement si b²-4ac=0.

Groupe fondamental du complémentaire du lieu discriminant

Maintenant revenons au niveau maîtrise (des nos jours master ou encore magistère…) pour poser les deux questions suivantes. Dans l’espace \(\mathbb{C}^n\) on appelle lieu discriminant le sous-ensemble \(\Delta\) formé des \((a_0,\,\ldots\,,a_{n-1})\) tels que le polynôme

\(P = a_0+ a_1X +\,\cdots\, + a_{n-1}X^{n-1} + X^n\)

possède une racine multiple.

1. Montrer que \(\mathbb{C}^n\setminus\Delta\) est connexe par arcs.
2. Quel est le groupe fondamental de \(\mathbb{C}^n\setminus\Delta\) ? Le décrire par générateurs et relations.

Les réponses sont plutôt faciles ; pour la deuxième question, pas la peine de tout formaliser, le handwaving suffit car dans cet exemple le formalisme ne donne rien en valeur ajoutée…