Un exercice bizarre à propos de la température sur terre
Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son talent à des questions aussi appliquées que la météorologie et l’océanographie 😉
Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu’il existe une infinité d’ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.
Bonjour !
On considère un cercle C de périmètre p>2000 km (il en existe beaucoup) sur la surface terrestre S.
On considère une paramétrisation "naturelle" f:R/pZ->C, de sorte que la distance entre les points f(t) et f(t+1000) soit égale à 1000km pour tout t (on utilise ici le fait que le périmètre de C est >2000km).
Pour tout point A de S, notons T(A) la température en A.
Posons g(t)=T(f(t+1000))-T(f(t)).
Par compacité, on a une température maximum T(f(u))
Alors g(u) est négatif (ou nul) et g(u-1000) est positif (ou nul). Par connexité, g s’annule quelque part. On a montré qu’il existe deux points du cercle C, distants de 1000km, où la température est la même.
On peut appliquer ceci à une infinité de cercles C deux à deux disjoints (par exemple des "parallèles").
Bien vu ! Bon week-end à toi, PB 😉