Sur cette page des remarques et documents destinés à mes étudiants à l'UVSQ.

• Polycopié — Cours, exercices & corrigés avec liens interactifs (màj 12/04/2012)
• Contrôle no.1 Sujet A — Enoncé et corrigé
• Contrôle no.1 Sujet B — Enoncé et corrigé
• Contrôle no.2 — Enoncé et corrigé
• Partiel — Enoncé et corrigé.
  Barème : 5 points (ex.1), 3 × 1.5 points (ex.2), 3 × 1.5 points (ex.3), 2 × 1.5 points (ex.4), 4 points (ex.5).
  Donc au total 20 points + 1 "cadeau"
• Partiel : Toute absence non-justifiée par un certificat médical donne lieu à la note 0.
  Note globale = (CC + note de partiel)/2 . La note globale doit être au moins 10 pour que la matière soit validée. En session 2, la note de CC intervient seulement si elle est supérieure à la note du partiel session 2.
  Les exercices du partiel seront similaires à ceux traités en TD et en cours:
  Chapitre 1: 1 à 6, 10
  Chapitre 2: 1 à 12, 15
  Chapitre 3: 1 à 11, 14
  Chapitre 4: 1 à 12
  Chapitre 5: 1 à 3, 5 à 7, 9, 12 à 14
  Chapitre 6: 1 à 30
• Apparemment certains étudiants parmi vous aiment le travail avec les nombres et ont de bonnes notes en maths. Je leur recommande vivement d'envisager le master d'ingéniérie de la statistique à la faculté des Sciences.

• Cercles
• Produit scalaire. Barycentres
• Trigonométrie
• Produit vectoriel et produit mixte
• Isométries et homothéties dans le plan
• Similitudes dans le plan
• Problèmes de fonctions. Un exercice sur les aires

• Polycopié — Chapitre isométries dans l'espace
• TD no.1 — Enoncé des exercices
• TD no.2 — Enoncé des exercices
• Contrôle no.1 — Enoncé et corrigé
• Contrôle no.2 — Enoncé et corrigé
• Partiel — Enoncé et corrigé
• Patrons des solides de Platon — Réalisation: Carole Le Bellier

Cette page contient les feuilles de TD Maple en classe préparatoire au Lycée Jean-Baptiste Say (les séances reprennent en janvier 2012).

PCSI

• Feuille 1 (avec corrigé) — séances du 5 au 19 janvier 2012
• Feuille 2 (avec corrigé) — séances du 26 janvier au 2 février 2012
• Feuille 3 (avec corrigé) — séances à partir du 2 février 2012

PT*

• Feuille — séances du 7, 14 et 21 janvier 2012

Ca me met toujours en colère de lire des erreurs de chiffres dans la presse. Notamment quand c'est pendant un campagne électorale et que ça concerne l'argent des électeurs. Ainsi on peut lire sur le site du journal du Monde des affirmations complètement fausses concernant l'impôt sur le revenu:

Le souhait de François Hollande d’aligner fiscalités du patrimoine et du travail les a choqués, tout comme sa tranche d'imposition à 75%. « Agressif », selon eux. « Omar Sy, on lui enlève 75% de ce qu’il a gagné [...]»

Que la personne citée (qui de plus est expert-comptable) affirme volontairement de telles erreurs de calcul est son problème. Mais que la journaliste reprend ces mensonges sans les rectifier ou au moins les commenter en dit long sur le manque de ses connaissances en la matière (ou sur ses intentions).

Expliquons l'erreur. Les taux d'imposition communiqués sont toujours des taux marginaux. Mathématiquement parlant il s'agit d'une dérivée ; concrètement cela signifie que n'est imposable à ce taux que le montant qui dépasse la tranche précédente.

Exemple: Calcul explicite pour un revenu de 100 000 € en 2011:

Prenons l'exemple concret d'un contribuable qui en 2012 declare 100 000 € de revenu pour l'année 2011. Voici les tranches d'imposition selon les données officielles prises sur le site du ministère des finances.

jusqu’à 5 963 € :           0 %
de 5 963 € à 11 896 € :  5.5 %
de 11 896 € à 26 420 € :  14 %
de 26 420 € à 70 830 € :  30 %
plus de 70 830 € :           41 %

Les premiers 5 963 € ne sont pas imposables. Le montant dépassant 5 963 € et inférieur à 11 896 € est imposé au taux de 5.5 %. Cela fait

De même on trouve pour les impôts dans chacune des autres tranches:

Au total ça fait donc un montant d'impôts de 27 642 €.

Conclusion : Un contribuable qui gagne 100 000 € en 2011 (et qui est donc dans une tranche d'imposition marginale de 41%) est redevable de seulement 27.6% de ses revenus (et non 41%).

Le même type de calcul s'applique évidemment à l'acteur Omar Sy mentionné par l'expert-comptable dans l'article lorsque ses revenus dépassent un million d'euros et s'il est imposé par un possible gouvernement de Hollande: le taux marginal sera de 75%, mais ce taux s'applique seulement au montant qui dépasse le million. Le million, quant à lui, est imposé, en sa plus grande partie, au taux de 41%.

Imaginez pour un instant que les taux seraient des taux réels et pas seulement des taux marginaux. Alors le citoyen qui a un revenu de 26 430 € garderait moins dans sa poche que celui dont le revenu est juste 10 € moins élevé, car par hasard il a la malchance de se trouver tout près d'une transition entre deux tranches. Ça serait complètement injuste !

Mathématiquement parlant, l'impôt doit être une fonction continue du revenu pour qu'il n'y ait pas de tels sauts. Avec des taux marginaux par tranches, on obtient une fonction croissante et affine par morceaux; et puisque le taux marginal augmente en fonction du revenu il s'agit d'une fonction convexe. Voici sa représentation graphique avec le revenu sur l'axe des x et l'impôt sur l'axe des y.

J'espère que les journalistes améliorent leur niveau en mathématiques élémentaires; et que les lecteurs gardent un esprit critique et ne croient pas tous les calculs que les journalistes et politiciens proposent dans les journaux, à la télé et sur internet...

Personnellement je pense qu'il serait préférable de communiquer dans les média le taux d'imposition effectif sans détailler le taux marginal. Et pourquoi pas introduire une fonction qui n'est pas affine par morceaux mais lisse (différentiable)?

Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule    qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

• la relation d’égalité =
• l’addition +
• la multiplication
• le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
• le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
• le nombre transcendant (pour calculer l'aire d’un cercle)
• le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
• le nombre imaginaire i (solution de l’équation ).

L’auteur du blog
c'est moi, , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

A chaque nombre naturel avec n² chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n² chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)

Feuilles de khôlles en classe préparatoire PCSI du Lycée Charlemagne à Paris pour des étudiants qui souhaitent s'entraîner.

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Nombres complexes
2. Nombres complexes (deuxième tour)
3. Fonctions usuelles
4. Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires
5. Géométrie en basses dimensions
6. Géométrie en basses dimensions (deuxième tour)
7. Courbes planes
8. Coniques
9. Programme mixte I
10. Programme mixte II
11. Nombres réels et limites
12. Fonctions continues
13. Fonctions continues et fonction dérivables
14. Fonctions dérivables. Groupes
15. Fonctions dérivables. Groupes
16. Polynômes. Limites
17. Polynômes. Limites
18. Intégrales
19. Intégrales
20. Espaces vectoriels
21. Espaces vectoriels
22. DL AL
23. DL AL
24. AL. Convexité
25. AL. Convexité
26. Espaces euclidiens

Une petite erreur de calcul d'ordre 10¹⁰

On peut lire ici et là que la dette de l'état allemand a baissé considérablement en une seule journée. En fait, la comptabilité d'une banque allemande nationalisée en 2009 lors de crise financière a fait une "petite erreur", elle a pris pour une dette ce qui était en réalité un avoir ! Du coup l'état allemand a "gagné" d'un seul coup 55,5 milliards d'euros. C'était juste une petite faute de signe...

Ce "fait divers" du monde des finances sert comme introduction à ce billet sur le niveau de math des bacheliers français d'aujourd'hui, et plus particulièrement de ceux qui se destinent à des études scientifiques. Cette année j'enseigne, entre autres, à deux groupes de première année de licence en sciences (au total une cinquantaine d'étudiants). Puisque j'ai remarqué qu'un bon nombre des étudiants ne sait pas calculer avec des pourcentages et des puissances, j'ai consacré la première semaine à cela. Ce n'est pas vraiment prévu dans un programme qui porte sur les nombres complexes, l'algèbre linéaire, etc. Mais je suis de l'avis qu'un futur chimiste ou physicien doit savoir répondre à une question comme celle-ci : "Si la demi-vie d'une certaine substance radioactive est de 30 ans, quel est le pourcentage de diminution par an?"

Exemples de copies d'étudiants en première année d'université

Au mois d'octobre j'ai posé ce contrôle (45 minutes). Toutes les questions avaient été traitées en cours et TD, avec des énoncés identiques ou similaires (voir le polycopié du cours). Ce n'est donc pas surprenant qu'il y avait quelques très bonnes notes. Mais d'autre part le nombre de copies dépourvues de sens était tellement grand que cela m'inquiète. Avant de poursuivre la lecture de ce billet vous êtes priés de vous faire une idée vous-même en consultant quelques extraits scannés ici :

Quand on corrige de telles copies on est déjà heureux si le résultat est juste, même si l'écriture mathématique qui y conduit est fausse (comme dans cet exemple). Tout le monde fait des erreurs, moi aussi. C'est humain. Mais ici c'est le type d'erreur qui est inquiétant, et leur fréquence. Il y en a trop pour s'en amuser et pour parler de "florilège". Au total il y avait 48 copies (je n'ai pas tout scanné). Les 48 étudiants sont titulaires des bacs suivants: 39 bac S, 1 bac ES, 4 bac STL et 4 bac pro. La majorité des étudiants se destinent aux études de chimie.

Remarques et questions

1. Le bac d'aujourd'hui a-t-il encore une valeur? Si oui, laquelle?
2. Que dit la Cour des comptes? Il y a un grand gâchis d'argent public si l’Éducation Nationale ne parvient pas à enseigner correctement les opérations de bases +, -, × et ÷.
3. Après le bac la gabegie continue puisqu'à la fac on met tous dans le même panier, au lieu de créer des groupes de niveau. (Il est évident qu'avec des cours additionnels de soutien on n'arrive pas à combler ces lacunes du collège.) Pour donner une image : si une école de danse mettait dans un même cours ceux qui doivent apprendre les pas de base et ceux qui exécutent déjà les passes les plus compliquées, alors tous les élèves, les avancés et les débutants, demanderaient de se faire rembourser.
4. Est-ce le rôle de l'université d'enseigner les mathématiques de niveau collège?
5. Quel rôle jouent les conseillers d'orientation? Pourquoi ces étudiants sont-ils orientés vers les études scientifiques?
6. Les programmes scolaires en sciences établis par le ministère de l’Éducation Nationale sont-ils assez stimulants au niveau intellectuel pour attirer les meilleurs élèves vers les études scientifiques (et pas vers les études de droit, de commerce, gestion, etc.)?
7. Faut-il faire des contrôles pareils? Supposez vous êtes parent d'un étudiant qui a obtenu 20 points dans ce contrôle et vous voyez le sujet du contrôle, que feriez-vous? Puisque le niveau d'abstraction de ces exercices est adapté à un élève de troisième et pas à un étudiant en première année de faculté de sciences, vous lui conseilleriez certainement de changer d'établissement.
8. Peut-on enseigner le calcul dans C et dans Rⁿ à des personnes qui ne savent pas calculer dans R?
9. Que faut-il enseigner à un public tellement hétérogène?
10. D'après discussions avec des collègues partout en France je sais que ce constat ne concerne pas seulement mon université.
11. Faut-il en parler? Ce n'est pas politiquement correct d'affirmer que pas tous les bacheliers sont prêts pour des études supérieures. Si on veut la massification de l'enseignement il faut se donner des moyens efficaces. Faire les mêmes mathématiques pour tous et laisser passer tout le monde n'est apparemment pas la bonne méthode.
12. Cette très forte hétérogénéité qui empêche un enseignement efficace (et par suite la réussite des étudiants) n'est pas un phénomène qui ne concerne que la France (voir cet article en provenance des Pays-Bas). On l'attribue en général aux "nouvelles pédagogies". En Allemagne, on fait des constats similaires, pas dans les universités mais dans les FH (sorte de IUT). Lire par exemple cette lettre ouverte qu'un professeur de mathématiques de l'IUT de Berlin adresse à ses étudiants au premier semestre. Là-bas les bons étudiants des semestres supérieurs sont payés pour revoir le programme du collège et du lycée avec certains étudiants de première année repérés au début de l'année par un test sélectif (ils ont même écrit un bon polycopié).
13. Même en prépa le niveau est devenu très hétérogène. Les profs ne savent plus sur quelle base recruter tellement la signification des notes au lycée est devenue relative. Récemment en math sup dans un grand lycée parisien, je collais deux élèves ; l'une a très vite compris un exercice qui définit le logarithme complexe (une nouvelle notion pour elle), tandis que l'autre ne savait même pas dessiner la droite d'équation x+y=1 (elle y arrivait seulement après dix minutes, après m'avoir proposé trois faux dessins). Après on lira dans la presse que la prépa humilie les élèves (Bruno Sire)... mais si on y envoie quelqu'un qui n'a aucune base pour y réussir alors n'est-ce pas prévisible que ça crée des frustrations chez un élève qui ne comprend rien tout au long de la journée?

Encore quelques précisions sur ce contrôle :
La moyenne et la médiane des résultats se situent autour de 11, mais elles auraient été un ou deux points inférieures si j'avais corrigé avec une exigence normale.
Il s'agit d'un deuxième contrôle, sorte de rattrapage d'un contrôle très mal réussi par presque tous. En fait,a semaine avant j'avais fait un premier contrôle. Mon frère, matheux qui travaille dans l'industrie d'appareils médicaux, était chez moi en visite et m'a proposé de corriger les copies. Après vingt minutes il était découragé par les copies catastrophiques et disait: "Annule ce contrôle et rends les copies avec le corrigé. Ensuite tu leur dis que la semaine prochaine il y aura un autre contrôle similaire." Ensuite, c'est lui qui a conçu le nouveau sujet, plus simple, dont il est question dans ce billet. Les exercices étaient pratiquement les mêmes que ceux du premier contrôle, seulement encore plus élémentaires. Les étudiants qui n'ont pas réussi n'ont donc soit pas envie d'apprendre, soit ils n'ont pas les capacités de comprendre le corrigé.

Je viens de voir une belle vidéo sur les séries de Fibonacci et leurs apparitions chez les plantes. Elle est bien réalisée, avec des moyens très simples, avec des commentaires amusants (en anglais). Le nombre d'or aussi est mentionné (l'explication en quel sens il est le nombre le plus irrationnel n'est pas complète pourtant, lire plutôt ici).
A noter qu'il y a déjà une deuxième partie en ligne et qu'une troisième est promise pour bientôt!

Oh, j'aurais presque oublié de souhaiter le bonne année 2012 à mes lecteurs!! Voici une autre vidéo pleine de joie et d'optimisme.

Il y a un peu plus d'un an je parlais ici pourquoi après le bac j'ai choisi d'étudier les mathématiques. Et quelques lecteurs ont apporté leurs propres témoignages. Pour la plupart c'était un choix de passion, pas de raison. En fait, les études de math, en particulier les deux premières années, demandent un tel effort pour comprendre ce nouveau langage qu'il est difficilement imaginable que quelqu'un le fasse juste pour obtenir un diplôme. (Diplôme qui, en France, peine à être valorisé en dehors des institutions universitaires ou de recherche. Dans d'autres pays comme l'Allemagne c'est bien différent.) En plus, le métier d'un mathématicien peut être difficilement expliqué à des non-mathématiciens ce qui fait que pour un bachelier ça reste plutôt mystérieux...
Mais les temps évoluent, les mathématiques se diversifient et envahissent de plus en plus d'autres branches de sciences et technologies. Par conséquence le monde de l'industrie s'ouvre de plus en plus aux diplômés en mathématiques et c'est pour cette raison que la SMAI organise 1er Forum Emploi Mathématiques qui se tiendra jeudi 26 janvier 2012 à Paris. Conseil à tous les étudiants en maths: inscrivez-vous!

C'est avec plaisir que j'annonce la nouvelle édition du livre Mathématiques Licence 1 chez Pearson. Il s'agit d'un ouvrage collaboratif où plusieurs auteurs ont rédigé des parties différentes. Cette nouvelle édition est entièrement revue et corrigée et je remercie T. de Kilomaths pour sa chasse efficace aux erreurs et ses nombreux commentaires et suggestions intelligentes.

Couverture 2012 décorée par un éléphant studieux. Avertissement aux lecteurs: Ne plus emprunter ou acheter l'ancienne version avec le dauphin nageant!

J'ai profité de la nouvelle édition 2012 pour ré-écrire l'une des parties dont je suis responsable, à savoir le chapitre sur l'algèbre linéaire. Probablement tout professeur de mathématiques a constaté que, pour faire un cours d'analyse en première ou deuxième année, il n'y a pas beaucoup de progressions différentes possibles; et le choix des preuves semble également assez restreint. En revanche, pour la progression du cours d'algèbre linéaire il est devant l'embarras du choix. Cela doit être inhérent à la nature conceptuelle du sujet. Dans ce point de vue l'analyse semble bien plus linéaire que l'algèbre linéaire.

Pour cette édition je crois avoir trouvé un enchaînement cohérent qui me satisfait à la fois sur le plan théorique que sur le plan pratique. Car il ne faut pas oublier que nos étudiants ont vite besoin d'exemples de calcul concrets. Évidemment il est tentant de traiter d'abord toute la théorie, puis d'introduire, quelques mois plus tard, les systèmes linéaires pour leur donner aussitôt leur coup de grâce. Mais on se trouverait vite devant un amphi vide!* J'ai donc essayé d'accompagner constamment les nouvelles notions d'exemples numériques. Et je fais du calcul matriciel avant de parler d'applications linéaires.
Ce livre, plein d'exemples et d'exercices corrigés, est fait pour les étudiants en licence sciences qui souhaitent progresser autant dans la théorie et que dans les applications. A tous ceux qui veulent aller plus loin en algèbre linéaire je recommande vivement l'ouvrage d'Egbert Brieskorn (en deux tomes).