Carte d'anniversaire mathématique

Par MathOMan, dimanche 5 juillet 2009 à 19:50 - Exo, enigme, casse-tête - Tags - RSS

C'est le moment de transmettre à mon père mes vœux d'anniversaire en forme d'une petite devinette.

Aujourd'hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?

Pour résoudre cet exercice je conseille d'effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on peut utiliser le fait que j'ai plus de vingt-trois ans, que mon père aussi avait plus de vingt-trois ans lorsqu'il a pris la responsabilité de devenir mon père et, enfin, qu'il n'est pas centenaire...

En tout cas je te souhaite une bonne fête d'anniversaire, papa !

Commentaires

1. Le dimanche 5 juillet 2009 à 21:41, par Tukikun

Il a 45 ans (ou 73...) !

J'aime bien votre blog, et j'apprécie beaucoup d'être dans vos liens, merci. Mon blog est en train d'être fait (kilomaths.com). Dès qu'il sera en ligne, vous y serez sans faute !

Ca m'a fait rire en le parcourant tout à l'heure de tomber sur votre article sur les fourmis que j'ai mis sur mon site après vous, mais sans avoir aucunement copié ! ^.^

Bonne soirée, et bon anniversaire à votre père !

2. Le lundi 6 juillet 2009 à 09:05, par MathOMan

Oui, vous avez bien fait le calcul ! Mon père a 73 ans (c'est moi, qui est plus proche des 45 que lui ; je viens de rajouter la condition des 23 ans pour exclure la solution 45). Dès que votre blog est en ligne, je le mettrai en lien. Bonne continuation à Grenoble !

Voici le raisonnement détaillé pour les non-matheux :

Les années bissextiles sont les multiples de 4 (par exemple l'année 2008 était bissextile). Exception : les années multiples de 100 ne sont pas bissextiles (par exemple 1900 n'était pas bissextile). Exception à l'exception : les multiples de 400 sont bissextiles (par exemple 2000 était bissextile). Donc dans l'ère qui nous intéresse les années bissextiles viennent tous les 4 ans :
1904, 1908, 1912, ... , 1996, 2000, 2004, 2008
Le but de notre problème est de trouver parmi ces années celles où le 5 juillet tombe sur un dimanche.

On remarque qu'une année normale a 365 jours, donc 52 semaines plus 1 jour. Une année bissextile a 366 (le 29 fevrier en plus), donc 52 semaines plus 2 jours. Le décalage des jours de la semaine d'une année à l'autre est donc d'un jour pour une année normale, et de deux jours pour une années bissextile.

En partant du dimanche 5 juillet 2009 on trouve

5 juillet 2008 samedi (on fait —1 jour)

5 juillet 2007 jeudi (—2)

5 juillet 2006 mercredi (—1)

5 juillet 2005 mardi (—1)

5 juillet 2004 lundi (—1)

Entre samedi et lundi il y a une différence de cinq jours. On voit donc que si on recule en groupes de quatre ans on recule de 5 jours ou, de manière équivalente, on avance de 2 jours. Or le plus petit commun multiple entre 2 et 7 est 14, donc si on avance en groupes de 2 jours, il faut le faire 7 fois pour revenir au départ. Par conséquence il faut attendre 7 années bissextiles, c'est-à-dire 7x4=28 ans, pour retrouver une année bissextile ayant la même distribution de jours de la semaine.

Comme 4x2 = 7+1 on sait alors que le 5 juillet 1992 était un dimanche (on calcule 2008-4x4=1992). De même 28 ans et 56 ans plus tôt : 1964 et 1936. Comme la condition des 23 ans exlût la possibilité 1964, mon père est né en 1936 et a 73 ans aujourd'hui.

3. Le mardi 7 juillet 2009 à 00:10, par Missmath

Bon anniversaire à votre papa et vivement ce nouveau blogue de maths. J'adore le nom kilomaths et j'aime Math o'man.

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Pourquoi ne pas lire aussi :

UVSQ - 2011/2012

Par Mathoman, mercredi 16 septembre 2009 à 19:11 - UVSQ - Tags

Sur cette page des remarques et documents destinés aux étudiants qui suivent mes cours et TD à l'UVSQ en 2011/2012.

Probabilités — L2 éco

Polycopié — Cours, exercices & corrigés (mise à jour le 08/02/2012)
Il est possible que vous devez ré-actualiser la page (touche F5).
Exos à préparer pour la séance TD du 15 février : 3.4, 3.6, 3.7, 3.10, 3.12
Contrôle continu 1 : 22 février 2012 dans votre groupe de TD (carte d'étudiant)
Le programme inclut la séance TD du 15 février
Contrôle continu 2 : 28 mars 2012 de 18h30 à 20h dans l'amphi 1 (carte d'étudiant)
Le programme inclut la séance TD du 21 mars
Toute absence non-justifiée par un certificat médical donne lieu à la note 0.
Note globale = (moyenne des notes de CC + note de partiel) / 2
La note globale doit être au moins 10 pour que la matière soit validée.
En session 2, la moyenne des notes de CC intervient seulement si elle est supérieure à la note du partiel session 2.

Préparation Capes — exercices corrigés

Cercles

Théorie des groupes — L2 chimie

TD no.1 — Enoncé des exercices
Patrons des solides de Platon — Réalisation: Carole Le Bellier

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Qui peut m'expliquer ce jeu?

Par Mathoman, mercredi 26 novembre 2008 à 18:01 - Sujets hors sujet - Tags

J'ai besoin de votre aide. Cette fois ce n'est pas pour résoudre un problème mathématique que je pose, mais plutôt le contraire. Il y a dix mois, Fafa m'a offert pour mon anniversaire cette sorte de puzzle tridimensionnel en bois.


Pièces en cube	Pièces du jeu décomposées

Le problème c'est que ce jeu est vendu sans règles écrites et que le jour de mon anniversaire, elle avait déjà oublié les explications du vendeur. Et comme ça ne s'est pas passé dans un magasin mais dans un marché de Noël, impossible de le retrouver... Alors que faut-il faire avec ces pièces en bois? Si quelqu'un le sait, s'il vous plaît, manifestez-vous!

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Peut-on relier deux points par un chemin injectif ?

Par Mathoman, lundi 8 juin 2009 à 15:00 - Maths pour matheux - Tags

Les commentaires du billet un exercice de topologie sur le blog de PB soulevait quelques questions intéressantes. Une parmi elles possède la réponse suivante :

Dans une variété topologique connexe on peut relier tout couple de points distincts par un chemin injectif.

Remarquons que ce résultat ne vaut plus sur des espaces non-séparés comme la droite avec un point dédoublé (une variété topologique est séparée par définition).

Démonstration :

Rappellons d'abord que sur une variété topologique les notions connexe et connexe par arcs sont équivalentes.
Quelques notations : B(r) désigne la boule ouverte de rayon r et de centre 0 dans $\mathbb{R}^n$ pour la norme euclidienne. Pour noter la boule fermée, on mettra une barre dessus.

Soit M une variété topologique de dimension n et x un point de M. Notons E le sous-ensemble de M constitué de x et de tous les points qu'on peut relier injectivement à x. Notre but est de prouver que E=M. Vu que M est connexe et que E est non-vide, il suffit de montrer que E est ouvert et fermé.

Ouvert : Soit y un point arbitraire dans E. Dans l'atlas de la variété M il existe une carte .
- Si $x\in U$ alors $U\subset E$ car dans une boule on peut toujours relier injectivement deux points distincts par un segment.
- Dans l'autre cas où x n'est pas dans U nous posons r=1/2 et nous allons prouver que $\varphi^{-1}(B(r))\subset E.$ On sait déjà qu'il existe un chemin injectif $\lambda\::\:[0,1] \rightarrow M$ tel que $\lambda(0)=x$ et $\lambda(1)=y$ . L'ensemble $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est compact, et comme M est séparé, on déduit qu'il est fermé (voir aussi remarque 2 en bas).
  
  Par continuité l'image réciproque $\lambda^{-1}(\varphi^{-1}(\overline{B}(r)))$ est fermé dans [0,1] et possède donc un plus petit élément $t_0$ . On a l'inégalité $t_0>0$ car $\lambda(0)=x\not\in U.$
  
  Le point $\varphi(\lambda(t_0))$ ne peut pas être contenu dans la boule ouverte $B(r)$ , sinon $\varphi(\lambda(t_0-\epsilon))$ le serait également pour $\epsilon>0$ assez petit, contrairement à la définition de $t_0$ . Donc $\varphi(\lambda(t_0))$ est sur le bord de la boule $B(r)$ . Par construction on peut relier injectivement $\lambda(t_0)$ à tout point de $\varphi^{-1}(B(r))$ sans rencontrer $\lambda([0,t_0[)$ . En juxtaposant ces deux chemins, on relie donc injectivement x à n'importe quel point de $\varphi^{-1}(B(r)).$ Donc $\varphi^{-1}(B(r))$ est un voisinage ouvert de y contenu dans E.

Fermé : Nous devons prouver que le complémentaire de E est ouvert. Soit donc y un point arbitraire dans M\E, autrement dit y est un point qui ne peut pas être relié injectivement à x. On prend une carte . Alors on sait déjà que x ne peut pas être dans U. De deux choses l'une :
- Soit l'ouvert U est une partie de M\E — dans ce cas on a terminé.
- Soit U n'est pas inclu dans M\E — dans ce cas il existe un point z dans l'intersection $U\cap E$ . Pour $r=||\varphi(z)||$ on a $0<r<1$ . Il existe un chemin injectif $\lambda\::\:[0,1] \rightarrow M$ allant de x à z. L'ensemble
  $K=\lambda([0,1])\cap\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$
  est compact car c'est l'intersection d'un compact et d'un fermé. (Pour voir que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est fermé on utilise, comme en haut, le fait que M est séparé.)
  Parmi tous les points du compact $\varphi(K)$ il existe un ayant norme minimale. Nous notons w ce point et $\lambda(t_0)$ son correspondant sur la variété (toujours via la carte $\varphi$ ). Clairement $\lambda(t_0)\neq y$ . D'une part on a la restriction de $\lambda$ à $[0,t_0]$ et d'autre part le chemin correspondant au segment [w,0] ; en juxtaposant ces deux chemins injectifs on obtient un chemin de x à y qui, par construction, est injectif. Contradiction, ce cas ne peut pas avoir lieu.

Remarque 1 :

L'idée de la preuve est de se ramener à l'intuition que nous avons de notre espace usuel. Quand une trajectoire passe de l'extérieur d'une boule à l'intérieur d'une boule, elle doit forcément traverser le bord de la boule, elle coule comme une rivière. Or cela n'est plus vrai dans les espaces non-séparés comme la droite à deux origines dédoublées, 0' et 0''. Quand je fais un chemin de 0' à 0'' alors je rentre directement dans l'intérieur de la boule [-1,1]'' sans passer par -1 ou par 1. Le chemin apparait miraculeusement de nul part, il jaillit comme une source...

Il est donc intéressant de voir où la preuve ne fonctionne plus dans cet exemple. Evidemment c'est au moment où on utilise le fait qu'un compact d'un espace séparé est toujours fermé. Sur la droite dédoublée l'ensemble [-1,1]'' est compact mais il n'est pas fermé, car son complémentaire $\:]-\infty,-1[\,\cup\,]1,+\infty[\,\cup\,\{0'\}\:$ n'est pas ouvert.

Remarque 2 :

On est tenté de dire que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue. Mais cela serait faux ! En effet, $\varphi$ est seulement définie sur U et pas sur toute la variété M. On peut donc dire que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est un fermé de l'espace U (pour la topologie induite par M), mais de là on ne peut pas conclûre directement qu'il s'agit d'un fermé de M. C'est pourquoi nous devons faire ce détour :

$\overline{B}(r)$ compact dans B(1),
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ compact dans U,
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ compact dans M,
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ fermé dans M (séparé).

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Vladimir Arnold Trivium - conclusion

Par Mathoman, lundi 3 janvier 2011 à 13:10 - Enseigner les maths - Tags

Avant les vacances d'été j'avais écrit un billet avec les exercices du Trivium mathématique de Vladimir Arnold. Grâce aux efforts estivaux de certains lecteurs, notamment de JLT, presque toute question a trouvé sa solution (sauf les 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74). Quelle conclusion peut-on tirer ?

D'abord ce trivium est loin d'être trivial. Il apprend de l'humilité à beaucoup parmi nous, enseignants souvent spécialisés dans certains domaines, et nous rappelle qu'on a la mémoire courte, c'est-à-dire qu'on a tendance à oublier des choses si on ne les utilise/enseigne plus. Deuxièmement, on apprend à apprécier l'outil Wikipédia pour chercher des définitions ou clarifications de certaines notions. Je crois que j'aurais fait mes études plus facilement si Wikipédia avait déjà existé ; mais il y a encore dix ans il fallait aller à la bibliothèque, passer beaucoup de temps à ne rien trouver ou encore trouver des articles et livres où la notion recherchée apparaissait englobée par 200 pages de définitions ou théorèmes...

Mais laissons le dernier mot à l'auteur du Trivium lui-même : en fait, Arnold a écrit un Mathematical Trivium bis dans lequel il résume certaines réactions à son premier Trivium. En plus il y a aussi son texte sur l'enseignement des mathématiques et la vidéo suivante sur les mathématiques expérimentales :

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Mathématiciens, sportifs à haut niveau ?

Par Mathoman, mardi 24 mars 2009 à 20:49 - Maths et société - Tags

La fameuse Médaille Fields, équivalent en maths du prix Nobel, est seulement attribuée a des mathématiciens d'au plus 40 ans. On veut ainsi éviter que cette récompense soit donnée à un mathématicien émérite seulement à cause de sa grande réputation. Alors se pose la question, à quel âge un mathématicien a-t-il sa plus grande force ? Jean Dieudonné en donne sa réponse dans son Abrégé d'histoire des mathématiques ; et il y parle comme un botaniste parlerait de la croissance d'une plante précieuse :

La vocation mathématique s'éveille le plus fréquemment aux environs de la seizième année [...] Toutefois, contrairement à une opinion assez répandue, le début de la période créatrice se situe rarement avant l'âge de 20 à 25 ans ; les cas de Pascal, Clairaut, Gauss et Galois sont exceptionnels. Si les conditions extérieures sont favorables à son activité, on peut escompter qu'un mathématicien créateur continuera à découvrir des résultats importants jusque vers 50 ou 55 ans ; on cite quelques exemples de beaux théorèmes démontrés par des sexagénaires, mais on n'en connaît guère dont l'auteur ait dépassé 70 ans.

La vie mathématique est donc contraire à celle d'un créateur dans les arts. Les écrivains ou compositeurs mûrissent très souvent avec le temps (rares sont les compositeurs dont les premières symphonies sont meilleures que les dernières). En maths c'est plutôt comme dans le sport à haut niveau, on est plus performant lorsqu'on est jeune. La limite des 40 ans de la Médaille Fields correspond à l'âge où un keeper prend sa retraite.

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La devinette des fourmis sur la tige

Par Mathoman, vendredi 19 décembre 2008 à 17:16 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Il y a dix ans, pour sortir un peu des maths pûres, je travaillais pendant quelques semaines dans la forêt guyanaise sur le tournage d'un film documentaire scientifique sur les fourmis. Le monde des insectes sociaux (fourmis, abeilles, guêpes, termites) est fascinant, pas seulement du point de vue de la biologie, mais aussi du point de vue mathématique. A part les questions de génétique (forcément liées à la combinatoire et aux probabilités), il y a aussi beaucoup de théorie de jeux dans le comportment de ces "automates vivants", ainsi que de la théorie des graphes et même des algorithmes de fourmis.

A tous ceux qui veulent en savoir davantage je recommande vivement (comme cadeau de Noël?) le livre de vulgarisation scientifique Voyage chez fourmis de Bert Hölldobler et Edward O. Wilson ainsi que Le gène égoïste de Richard Dawkins.

Lors du tournage du film j'avais le temps d'observer un peu les fourmis et de calculer certaines distances qu'elles parcourent périodiquement. Voici un joli petit problème sur les fourmis.

Devinette
Une colonie de 101 fourmis se trouve sur une fine tige de longueur 100cm. Chaque fourmi se déplace à la vitesse de 1cm par seconde dans un sens fixe, mais si deux fourmis se rencontrent elles changent de sens. Lorsqu'une fourmi arrive à l'un des deux bouts de la tige elle tombe.

problème mathématique déplacement des fourmis

Est-ce que toute la colonie va disparaître de la tige? Si oui, après combien de temps?

Réponse
A vous de chercher! Je la divulguerai prochainement...

En attendant, je vous invite à regarder un petit film amusant en Super8 que j'ai réalisé après le dernier jour du tournage officiel et auquel les auteurs du film sur les fourmis ont gracieusement participé en tant qu'acteurs.

Formica alucafca

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Précision mathématique chez les tambours suisses

Par Mathoman, lundi 17 novembre 2008 à 02:19 - Sujets hors sujet - Tags

Petite pause musicale — ou plutôt machinale car ces petits bonhommes Duracell ont la précision d'une horloge suisse! Une coordination parfaite au niveau local et global.

Voici, à titre de comparaison, la batucada brésilienne Batala dans laquelle je jouais pendant quelques années la caixa (caisse claire). Ce n'est pas la même précision, mais on s'amuse quand-même ;-) Vive le samba à Paris !

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Humour mathématique

Par Mathoman, mardi 28 octobre 2008 à 11:42 - Humour - Tags

Après le précédent billet, bien triste, il est le temps de rire un peu ! Voici quelques blagues et une contrepèterie de matheux pour retrouver notre sourire ;-)

Que répond une mathématicienne venant d'accoucher à qui l'on demande "Avez-vous eu un garçon ou une fille ?"
"Oui."

Logarithme et exponentielle sont au restaurant. Qui paie l'addition ?
C'est exponentielle, car logarithme népérien...

Quel est le comble du mathématicien ?
C'est de se faire piquer sa moitié par un tiers dans un car.

Combien de fois peut-on soustraire 5 de 23 et combien reste-t-il ?
Autant de fois que l'on veut et il reste 18 à chaque fois.

Qu'est-ce qu'un ours polaire ?
Un ours cartésien après un changement de coordonnées.

Qu'est-ce qui est jaune, normé et complet ?
Un espace de Bananach.

Pourquoi la vie est-elle complexe ?
Elle a des composantes réelles et imaginaires.

Qu'obtient-on en croisant un éléphant et une banane ?
|elephant| |banane| sin(theta)

Qu'est-ce qu'un homme complexe dit à une femme réelle ?
"Viens danser !"

What's purple and commutes ?
An abelian grape.

What's yellow and equivalent to the Axiom of Choice.
Zorn's Lemon.

Théorème : Tout entier positif est intéressant.

Preuve : Supposons le contraire. Alors l'ensemble des entiers positifs non-intéressants est non-vide. D'après l'axiome du bon ordre il possède un plus petit élément. Alors cet élément est drôlement intéressant — contradiction !

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La collection d'exercices de Vladimir Arnol'd

Par Mathoman, vendredi 25 juin 2010 à 10:24 - Maths pour matheux - Tags

En 1991 le mathématicien russe Vladimir Arnol'd publia un

Trivium mathématique (fichier pdf).

Il y vise ceux qu'il appelle les mathématiciens ignorants qui ont étudié les super-variétés ou les théorèmes de plongements mais ne savent pas résoudre des problèmes concrets et simples — ou, avec les mots de Pólya, ceux qui ressemblent à des singes qui sont toujours en haut d'un arbre :

A mathematician who can only generalise is like a monkey who can only climb up a tree, and a mathematician who can only specialise is like a monkey who can only climb down a tree. [...] A real mathematician must be able to generalise and specialise. — George Pólya

Selon Arnold le niveau de la culture mathématique baisse. Et il ne parle pas de la baisse du niveau du bac mais de celle du bac+5. (Or, comme le remarque Martin Andler ici, la question de la baisse de niveau est mal posée à cause de la massification de l'enseignement. Le nombre de mathématiciens en l'an 2000 est beaucoup plus grand que celui en 1900, en absolu et aussi en pourcentage de la population.)
Aux yeux d'Arnold je suis certainement un mathématicien très médiocre, voire ignorant ! De la même manière que je suis étonné quand un étudiant titulaire du bac S puisse avoir du mal à dériver sin(2x) ou à distinguer entre condition nécessaire et condition suffisante, Arnold serait choqué par le fait que je ne sais pas faire d'emblée sa liste de problèmes. En fait, si certains exercices de sa liste me sont très accessibles (par exemple les exercices 45 à 55), il y en a d'autres où je ne sais même pas par où commencer, comme par exemple le no. 72 (un problème de diffusion ?).

Pour Arnold cette collection ne contient pas de questions difficiles, mais seulement des questions qui forment le strict minimum essentiel — il serait alors intéressant de savoir combien un agrégé français moyen en résoudra en une semaine si on lui donne acces à wikipedia et à une bibliothèque de recherche. Quelle est votre estimation ? Plus ou moins que la moitié des problèmes ?

Si on regarde la liste des problèmes proposés on voit bien la préférence de l'auteur pour la géométrie et les équations différentielles. Il y a aussi un peu de topologie algébrique, mais on cherchera en vain des questions d'analyse ou algèbre pures, par exemple.

Vladimir Arnol'd est mort il y a trois semaines pas loin de chez moi, dans l'hôpital Saint-Antoine à Paris.

Mise-à-jour : JLT n'a pas chômé pendant le mois de juillet et a résolu la plupart des exercices !

Restent encore à faire: les no. 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74.

Les solutions des exercices se trouvent dans les commentaires (pour déplier cliquer ci-dessous) mais ne sont pas dans l'ordre. Pour s'y retrouver utilisez la fonction find (Ctrl+F) de votre browser et recherchez le numéro de l'exercice par exemple sous la forme "no.54" ou "no.04".

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Perelman surprend de nouveau la communauté scientifique

Par Mathoman, mercredi 1 avril 2009 à 14:53 - Maths et société - Tags

Grande surprise : le mathématicien russe Grigori Perelman vient d'annoncer que sa preuve de la conjecture de Poincaré, publiée en novembre 2002 sur ArXiv (revue scientifique en ligne sans comité de lecture), est fausse. Apparemment Perelman le savait tout le temps et attendait que quelqu'un trouve l'erreur ! Maintenant il se moque de toute la communauté mathématique, qui pendant six ans était incapable de vérifier les subtilités de sa (fausse) démonstration. Aujourd'hui il va même plus loin et propose un contre-exemple à la conjecture de Poincaré ; en fait ce contre-exemple (à vérifier scrupuleusement...) est en dimension 22 et Perelman a des pistes pour la construction de contre-exemples en toute dimension supérieure.

Il semble que cette fois, pour son travail destructeur, le chercheur russe ne réfuse plus d'être récompensé :

"Mathematicians are so easily baffled — now I want the Fields medal and the money, even if I'm too old for it!"

Vous pouvez lire l'entretien complet avec cet homme d'exception ici.