Math 'O Man : le Blog des Maths

Le problème avec la ligne téléphonique occupée




Souvent lorsqu'on veut joindre un bureau administratif par téléphone, c'est occupé. On se dit alors : avant d'essayer à nouveau vaut mieux que j'attende quelques minutes pour que la ligne téléphonique se libère.

Mais est-ce vraiment une bonne stratégie ? Pourquoi attendre quelques minutes et ne pas rappeler toute de suite ou après quelques secondes seulement ? La probabilité que le téléphone sonne occupé dans le futur, ne devrait-elle pas être indépendante de l'état actuel de la ligne ? (En effet, rien ne permet de savoir si l'appel qui occupe la ligne est à son début ou à sa fin.)

Qu'en pensez-vous ?

On suppose ici (de manière très optimiste, je l'avoue) que le personnel du bureau décroche le téléphone à chaque fois qu'il sonne. En plus, on suppose que je n'ai pas d'influence sur les autres personnes susceptibles d'appeler et qu'il s'agit d'une ligne de téléphone à l'ancienne, c'est-à-dire sans boîte vocale active ou possibilité de recevoir de double appels.


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Pourquoi ne pas lire aussi :


Le transport de meubles vu par les matheux


Il est rare qu'une simple question de la vie quotidienne devient un problème de mathématiques quasiment insurmontable... mais ça peut arriver ! Il y a une quarantaine d'années le mathématicien autrichien Leo Moser se posait, probablement lors d'un déménagement entrepris tout seul, la question suivante :

Quelle est la taille maximale d'un canapé que je dois déménager horizontalement le long d'un couloir lorsque celui-ci présente un angle doit ?

Supposons que la largeur du couloir vaut 1. Comme un demi-disque de radius 1 passe clairement par l'angle, la taille l'aire maximale est minorée par \pi/2\approx1,57. Mais évidemment on peut faire mieux. L'anglais John Michael Hammersley proposa la solution ci-dessous en forme de combiné téléphonique, sans pourtant prouver que c'est la solution maximale (et effectivement Gerver a trouvé plus tard un sofa encore plus grand). En outre il démontre que la taille maximale est majorée par 2\sqrt2\approx2,83\,.

déménager des meubles

On a donc un majorant et un minorant, mais quelle est la valeur exacte de la taille maximale ? Actuellement c'est toujours un problème ouvert. Pour monter des fonds de recherche pour bien attaquer ce problème important de mathématiques très appliquées, peut-être faudrait-il organiser une conférence inter-disciplinaire entre mathématiciens et la branche de scientifiques la plus concernée : les psycho-analystes !

Somme de certains déterminants


A chaque nombre naturel avec n2 chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2.

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n2 chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)

Une calculatrice en ligne


Il peut arriver en plein dimanche, quand tous les magasins sont fermés, qu'on doit effectuer un calcul avec la calculatrice, mais les piles de celle-ci sont vides. Pas de panique, il existe une

qui permet de faire les calculs de base et avec des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmes. (Mais elle ne possède pas la possibilité de dessiner des graphes.)

Avertissement :
L'abus de calculatrice nuit gravement aux cerveaux des jeunes qui
ne veulent pas apprendre leur table de multiplication !



LES ZROFS - Le calcul mental

WolframAlpha : Recherche de mots et de maths à la fois


Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.

Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de

x^3+y^3-\sin(y^2)=1.
On peut entrer des combinaisons de mots et d'expressions mathématiques, comme par exemple
integral log(sin(x))
ce qui donne une primitive de la fonction ainsi que des graphiques à variable complexe, etc. On peut également faire une recherche avec des mots seuls comme

Weierstrass function

En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !

Se marier avec quelqu'un qu'on aime


Comment trouver l'amour de sa vie ? Comment se caser ? Comment former un bon couple ? Ce type de questions préoccupe beaucoup de gens. Voici une version matheux de ce problème fondamentale.

Le problème de mariage ou le problème de former les bons couples

Supposons que nous avons n femmes et n hommes, tous célibataires et prêts à se marier ; pour tout entier k dans [1,n] et tout choix de k femmes, l'ensemble des hommes qui sont aimés par au moins une de ces femmes contient au moins k éléments.
Démontrer qu'on peut organiser des mariages tels que chaque femme se marie avec un époux qu'elle aime.

Perelman surprend de nouveau la communauté scientifique


Grande surprise : le mathématicien russe Grigori Perelman vient d'annoncer que sa preuve de la conjecture de Poincaré, publiée en novembre 2002 sur ArXiv (revue scientifique en ligne sans comité de lecture), est fausse. Apparemment Perelman le savait tout le temps et attendait que quelqu'un trouve l'erreur ! Maintenant il se moque de toute la communauté mathématique, qui pendant six ans était incapable de vérifier les subtilités de sa (fausse) démonstration. Aujourd'hui il va même plus loin et propose un contre-exemple à la conjecture de Poincaré ; en fait ce contre-exemple (à vérifier scrupuleusement...) est en dimension 22 et Perelman a des pistes pour la construction de contre-exemples en toute dimension supérieure.

Il semble que cette fois, pour son travail destructeur, le chercheur russe ne réfuse plus d'être récompensé :

"Mathematicians are so easily baffled — now I want the Fields medal and the money, even if I'm too old for it!"

Vous pouvez lire l'entretien complet avec cet homme d'exception ici.

L'application comatrice


Le cofacteur d'indice (j,k) d'une matrice carrée A est (-1)^{k+j}\det(A_{kj})A_{kj} désigne la matrice qu'on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors A_{kj} est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)

A_{kj}=
\begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} \\\vdots & & \vdots &  \vdots& &\vdots\\
a_{k-1,1} & \dots & a_{k-1,j-1}& a_{k-1,j+1}& \dots & a_{k-1,n} \\
a_{k+1,1} & \dots & a_{k+1,j-1}& a_{k+1,j+1}& \dots & a_{k+1,n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\
a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & a_{n,n}\end{pmatrix}\;.

La matrice des cofacteurs de A, s'appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,

\text{com}(A) = \left((-1)^{k+j}\det(A_{kj})\right)_{1\leq k,j\leq n}

Petit exercice :  la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire GL(n,\mathbb{R}) sur lui-même ? Et de GL(n,\mathbb{C}) sur lui-même ?

Petite question sur les groupes


Voilà un beau petit problème de colle : quels sont les groupes possédant un automorphisme non-trivial ?

Il y a une solution élégante, pas très longue...

Qui peut m'expliquer ce jeu?


J'ai besoin de votre aide. Cette fois ce n'est pas pour résoudre un problème mathématique que je pose, mais plutôt le contraire. Il y a dix mois, Fafa m'a offert pour mon anniversaire cette sorte de puzzle tridimensionnel en bois.
 
jeu mathématique jeux math
Pièces en cube
Pièces du jeu décomposées

Le problème c'est que ce jeu est vendu sans règles écrites et que le jour de mon anniversaire, elle avait déjà oublié les explications du vendeur. Et comme ça ne s'est pas passé dans un magasin mais dans un marché de Noël, impossible de le retrouver... Alors que faut-il faire avec ces pièces en bois? Si quelqu'un le sait, s'il vous plaît, manifestez-vous!

Einstein a écrit


Le Musée de l'histoire de la science à Oxford possède une collection de tableaux noirs qu'on a oublié d'effacer. Comme par exemple celui-ci d'Albert Einstein :

einstein, manuscript

Je suis touché par l'écriture un peu infantil de ce grand génie. Malheureusement je ne comprends pas grande chose de ce qu'il a noté... Et pourquoi d'une ligne à l'autre la fraction \frac{P_0-P}{P} change-t-elle en \frac{P_0-P}{P_0} ? Peut-être un physicien peut nous éclairer !