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Rationnel vs. irrationnel



Par MathOMan, samedi 25 avril 2009 à 09:30 - Exo, enigme, casse-tête - Tags - RSS

Existe-t-il des nombres rationnels x, y tels que y^x est irrationnel ?
Existe-t-il des nombres irrationnels x, y tels que y^x est rationnel ?



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Commentaires


1. Le samedi 25 avril 2009 à 13:15, par PB

2^{1/2} est, c'est bien connu, irrationnel.
Pour l'autre contre-exemple (très joli) : si y={\sqrt 2}^{\sqrt 2} est rationnel c'est gagné ; sinon considérer y^{\sqrt 2}, car

\left({\sqrt 2}^{\sqrt 2}\right)^{\sqrt 2}={\sqrt 2}^2=2

est rationnel.


2. Le samedi 25 avril 2009 à 13:37, par Mathoman

Oui, tout à fait, j'aurais dû t'interdire de répondre si vite ;o))


3. Le samedi 25 avril 2009 à 23:10, par PB

Désolé ;)
Peut-on accepter e^{i\pi} comme exemple plus explicite ?


4. Le dimanche 26 avril 2009 à 11:23, par Fabien Besnard

Ce qui est intéressant dans la preuve précédente c'est qu'elle est non constructive. C'est un exemple d'application du principe du tiers-exclu qui ne soit pas une simple contraposition.
En fait, on peut utiliser un gros théorème (Gelfond-Schneider) pour montrer que \sqrt{2}^{\sqrt{2}} est irrationnel (et même transcendant).


5. Le mardi 28 avril 2009 à 01:10, par Mathoman

@ Fabien : oui, Gelfond-Schneider est un grand canon qui marche... Et c'est vrai que ce type de preuve par le principe du tiers-exclu est très instructif au niveau pédagogique.

@ PB : bien sûr, j'accepte e^{i\pi} , c'est quand-même le logo du site !!


6. Le mardi 1 septembre 2009 à 14:05, par JLT

2 = e^{\ln 2}.

On sait que e est irrationnel (voir tout livre de classe prépa).

Si ln(2) était rationnel, il existerait des entiers a et b tels que 2^b=e^a ce qui contredit la transcendance de e (théorème de Hermite).


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8 commentaires

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