Weihnachten ist die Zeit, Nüsse zu knacken. Jedenfalls für Normalbürger. Mathematiker aber haben einen grossen Spass an besonders harten Nüssen. Wie wäre es mit dieser hier? Man soll zeigen, dass untenstehende Gleichung für jedes positive ganze Zahl gilt.

\sum_{k=0}^n\left\(\begin{array}{c}2n+1\\2k+1\end{array}\right\)(2k+1)\:=\:2^{2n-1}(2n+1).

Wie immer in der Mathematik gilt die Devise short is beautiful, d.h., man soll eine möglichst kurze und elegante Lösung finden — es gibt sogar eine ganz ohne Rechenaufwand. Man darf sich bei dieser Aufgabe vom Bild des Weihnachtsmannes inspirieren lassen, der Geschenke in Strümpfe verteilen soll...