Am Ende meines Artikels Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p.303–331, stelle ich folgende Vermutung auf:

Eine Vermutung um eine Singularität herum
Es sei D die offene Einheitkreisscheibe in der komplexen Ebene und U_1,U_2,\,\dots\,,U_n eine offene Überdeckung der punktierten Scheibe D*= D\{0}. Auf jeder der offenen Mengen U_j sei f_j eine schlichte (d.h., holomorphe und injektive) Fonktion gegeben, so dass df_j=df_k auf jedem Durchschnitt U_j\cap U_k gilt. Dann definieren diese Differenziale eine meromorphe 1-Form auf D.

Es ist unmittelbar klar, dass die 1-Form holomorph im Gebiet D* ist. Falls ihr Residuum im Nullpunkt verschwindet, folgt die Vermutung denn die Singularität im Nullpunkt kann höchstens ein Pol sein, wie leicht aus dem großen Satz von Picard folgt, der weiter unten zitiert wird. Aber für den Fall, in dem das Residuum ungleich Null ist, weiß ich nicht weiter.
Ich wäre für jeden Beweis oder jedes Gegenbeispiel dankbar — aber ehrlich gesagt für Gegenbeispiele weniger, denn ich glaube ja, geleitet von meiner geometrischen Intuition über Riemannsche Flächen, dass die Vermutung stimmt...

1880 bewies Charles Emile Picard (1856-1941) folgenden nach ihm bennanten Satz.

Großer Satz von Picard
Eine holomorphe Funktion mit eine wesentlichen Singularität nimmt in jeder punktierten Umgebung dieser Singularität alle komplexen Werte, mit Ausnahme von höchstens einem, unendlich oft an.


Ein typisches Beispiel für den Picardschen Satz

Die durch
\:f(z)=e^{1/z}=\sum_{k=0}^{\infty}\:\frac1{k!z^k}\;

gegebene Funktion ist holomorph auf \mathbb{C}\backslash0 mit einer wesentlichen Singularität in 0. Spart das Bild von f einen Wert aus (Picard spricht von "höchstens einer Ausnahme")? Ja, denn es ist f(z)\neq0 für alle z\in\mathbb{C}\backslash0, also muss dieser Ausnahmewert Null sein; dem Satz von Picard zufolge gibt es dann für jeden komplexen Wert w\neq0 und für jedes \epsilon>0 unendlich viele komplexe Zahlen z mit 0<|z|<\epsilon und f(z)=w.

Direktes Ausrechnen mit diesem Beispiel

Für das obige Beispiel benötigt man eigentlich gar nicht den Satz von Picard, denn man kann auch direkt ausrechnen und sehen, was passiert: sei w ein komplexer Wert ungleich Null und sei \epsilon>0. Es existieren zwei reelle Zahlen r>0 und \varphi, so dass
w=re^{i\varphi}.

Für n \in \mathbb{N} setzen wir u_n=\ln r+i(\varphi+2\pi n) und z_n=1/{u_n}. Somit hat man \lim_{n\to\infty}z_n=0.
Daher ist
f(z_n)=e^{u_n}=e^{\ln r+i(\varphi+2\pi n)}=re^{i \varphi}=w.

Indem man n hinreichend groß: wählt, sieht man, dass w unendlich viele Urbilder in der punktierten Umgebung 0<\,|z|\,<\epsilon besitzt.

Ein weniger einfaches Beispiel

Sei P die Menge aller Primzahlen. Wir betrachten folgende Funktion
 
g(z)=\sum_{p \in P}^{}\frac{1}{p!z^p}\;.

Da eine wesentliche Singularität vorliegt, kann man den Picardschen Satz anwenden.
Allerdings scheint mir ein direktes Ausrechnen im vorliegenden Falle unmöglich...