Ich nehme ein ein Metermass der Länge 1m und breche es an einem beliebig gewählten Punkt in zwei Stücke. Das Stück in meiner linken Hand behalte ich und das Stück in meiner rechten Hand werfe ich ins Feuer. Dann mache ich das gleiche mit einem zweiten Metermass, dann mit einem dritten Metermass, usw. Wie viele Metermasse muss ich durchschnittlich zerbrechen, damit die zusammengestzte Länge der behaltenen Stücke einen Meter überschreitet?

Um rauszufinden für welche die Reihe konvergiert, kann man folgende Abschätzung benutzen, die für alle gilt,

Sie ist leicht zu beweisen (zum Beispiel anhand einer Zeichnung) und hat zur Folge, dass

Wenn man nun n gegen unendlich laufen lässt, sieht man, dass die Reihe für konvergiert und für gegen unendlich divergiert. In dieser Hinsicht drängt sich folgende Frage auf.

Eine Übungsaufgabe:

Sei eine konvergente Reihe. Ist dann ebenfalls konvergent?

Ein Freund hat mir neulich eine Liste mit interessanten Übungsaufgaben geschickt, über die ich demnächst mehr berichten werde. Eine der Fragen lautet ganz einfach:

Berechne den Mittelwert von sin¹⁰⁰(x) mit einer Genauigkeit von 10%.

Ich nehme an, dass man das so verstehen soll: Berechne den Mittelwert auf einem Intervall der Länge einer Periode (zum Beispiel zwischen 0 und pi).
Dem Autor der Aufgabensammlung zufolge würde ein Student, der diese Frage nicht innerhalb fünf Minuten beantworten kann, keine Ahnung von Mathematik haben... Und wie steht es mit Ihnen? :-)

Zum Abschluss noch zwei nette Mathesätze:

To speak algebraically, Mr. M. is execrable, but Mr. G. is (x+1)ecrable. — Edgar Alan Poe

Auch die stärkste Zahl braucht die Unterstüzung der Nullen: 100000000.
— Zarko Petan

Hier eine nette Aufgabe aus der ebenen Geometrie. Wie oft in der Mathematik ist die Aussage eher einfach — der Beweis ist es aber keineswegs!

Es seien ein Kreis, A,B zwei verschiedene Punkte auf und M die Mitte der Sehne [AB]. Man nehme zwei andere Sehnen [PQ] und [SR], die beide durch M gehen. Es sei C (bzw. D) der Schnittpunkt von [AB] mit [PS] (bzw. [RQ]).
Man zeige, dass M auch die Mitte von [CD] ist.

Erstaunlich! Wenn M die Mitte von [AB] ist, dann auch von [CD].

Weihnachten ist die Zeit, Nüsse zu knacken. Jedenfalls für Normalbürger. Mathematiker aber haben einen grossen Spass an besonders harten Nüssen. Wie wäre es mit dieser hier? Man soll zeigen, dass untenstehende Gleichung für jedes positive ganze Zahl gilt.

Wie immer in der Mathematik gilt die Devise short is beautiful, d.h., man soll eine möglichst kurze und elegante Lösung finden — es gibt sogar eine ganz ohne Rechenaufwand. Man darf sich bei dieser Aufgabe vom Bild des Weihnachtsmannes inspirieren lassen, der Geschenke in Strümpfe verteilen soll...

Heute mal ein bisschen Klimatologie! Die folgende ebenso amüsante wie unnütze Fragestellung sei meinem Studienfreund A. Wirth gewidmet, der die reine Mathematik verlassen hat, um seinen Geist so angewandten Dingen wie Ozeanographie und Meteorologie zuzuwenden ;-)

Aufgabe: Die Erde sei als Kugel angenommen und die Temperatur eine stetige Funktion auf der Erdoberfläche. Man zeige: es gibt unendlich viele paarweise disjunkte Mengen {A,B} mit A und B Punkten auf der Erdoberfläche, so dass in A und B die gleiche Temperatur herrscht und so dass der Abstand zwischen A und B 1000 km beträgt.

Die Komatrix com(M) einer n x n-Matrix M ist diejenige n x n-Matrix, deren Eintrag in (l,k) das Produkt von mit der Determinante der Matrix ist, die aus M durch Entfernung der Zeile l und der Spalte k entsteht.
Es ist vor allem die Transponierte der Komatrix, die uns interessiert; sie heisst Adjunkte, und man zeigt in jeder Vorlesung über lineare Algebra, dass sie folgende fundamentale Eigenschaft besitzt:

Wenn man mit Matrixkoeffizienten aus einem Ring R arbeitet, folgt daraus insbesondere, dass die Matrix M genau dann invertierbar im Matrizenring ist, wenn der Skalar det(M) invertierbar im Ring R ist. Zum Beispiel sind über die invertierbaren Matrizen genau diejenigen, deren Determinante 1 oder -1 ist.

Übung:  Zeige, dass  com  die Matrizenmultiplikation erhält, d.h., dass

com(I) = I      et      com(MN) = com(M) com(N).

Hier eine schöne Übungsaufgabe aus der Theorie der Matrizen.

Sei A eine n x n Matrix. Man zeige, dass ihr Kommutatorraum, also die Menge der Matrizen, die mit A kommutieren, mindestens die Dimension n besitzt.

Diese Aussage kann man über jedem Körper beweisen. Aber im rellen oder komplexen Fall gibt es alternative Beweismethoden.

Aus gegebenem Anlass kam mir heute die Idee zu einem mathematischen Geburtstagsgeschenk in Form eines Rätsels.

Heute, am Sonntag den 5. Juli 2009, hat mein Vater Geburtstag. Er wurde am einem Sonntag eines Schaltjahres geboren. Wie alt wird er heute?

Zum Lösen der Aufgabe darf man die Tatsache heranziehen, dass ich älter als dreiundzwanzig bin, dass mein Vater auch älter als dreiundzwanzig war, als er die Verantwortung auf sich nahm, mein Vater zu werden und schliesslich dass er noch keine hundert Jahre auf dem Buckel hat.

Jedenfalls wünsche ich dir alles Gute zum Geburtstag, Papa!

Alle kennen diese kleinen Aufgaben, die sich Mathematiker am Ende eines Mensabesuchs stellen. Hier ist so eine kleine Perle:

Man verbinde die folgenden neun Punkte mit vier geraden Linien ohne den Stift zu heben.

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°             °             °

Leichter gesagt als getan. Die Lösung im folgenden Video zeigt, dass man dazu seine Denkgrenzen sprengen muss...

MathOMan verbindet 9 Punkte durch 4 Linien

Die lächelnde Bin stellt mir wiederum folgende Aufgabe, die jedem Spezialisten des Zusammenhangs in der Topologie zur Verzweiflung bringen muss.

Ohne den Stift abzusetzen zeichne man einen Kreis und seinen Mittelpunkt (aber nicht mehr).

Hier ist das Video mit ihrer trickreichen Lösung:

Bin zeichnet einen Kreis samt Mittelpunkt

Die Fotos meines vorhergehenden Posts über den Umfang eines Zylinders erinnern mich an eine andere Bierwette, die Sie bestimmt gewinnen, wenn Sie sie Ihren Saufkumpeln stellen:

Man hat zwei Gläser, eins ist mit Bier gefüllt und das andere mit der gleichen Menge Wein. Von dem Bierglas nimmt man einen Löffel voll und übertragt diese kleine Menge Bier ins Weinglas; dann macht man das gleiche in umgekehrter Richtung, d.h., man tut einen Löffel voll des Wein-Bier-Gemischs zurück ins Bierglas. Nun ist ein bisschen Bier im Wein und ein bisschen Wein im Bier.
Wo ist der Verunreinigungsgrad höher, im Bierglas oder im Weinglas?

Ich bin immer auf der Suche nach interessanten Übungsaufgaben für Studenten der ersten Semester. Oft wirde man fündig in Büchern, auf dem Web oder auch in alten Vorlesungsmitschriften oder Blättern aus der eigenen Studienzeit... und manchmal erfindet man sogar eine neue Aufgabe. Die folgende Frage zur linearen Algebra ist mir letztes Wochenende eingefallen. Ich finde sie ganz schön, weil ihre Lösung kein tiefgreifendes Theorem verwendet sondern bloß grundlegende Kenntnisse, die man bei jedem Mathematik- oder Physikstudenten voraussetzen darf:

Welches ist die grösste ganze Zahl k, so dass jeder affine Unterraum der Kodimension k im Raum der nxn-Matrizen eine invertierbare Matrix enthält?

Erinnerung: Die Kodimension eines Unterraumes ist die Differenz zwischen der Dimension des umgebendes Raumes und der des Unterraumes. Sie stimmt also mit der Anzahl der (unabhängigen) Gleichungen überein, deren Nullstellengebilde der Unterraum ist; denn jede Gleichung unterdrückt einen Freiheitsgrad. Zum Beispiel ist in unserem gewöhnlichen 3-dimensionalen Anschauungsraum die Kodimension einer Geraden gleich 2 und die einer Ebene gleich 1.

Gibt es rationale Zahlen so dass irrational ist?
Gibt es irrationale Zahlen so dass rational ist?

Thomas Mann und Bauschan spazieren durch die Isarauen. Sie beschliessen heimzukehren als sie 10 km von zu Hause entfernt sind. Thomas Mann geht 5 km/h. Aber der Hund Bauschan läuft doppelt so schnell und kommt also schon an der Villa an, als Thomas Mann erst den halben Weg zurückgelegt hat; sofort kehrt er um, läuft bis zu seinem Herrchen, dann wieder zur Villa, dann wieder zum Herrchen, usw.
Dieses Hin und Zurück nimmt schliesslich ein Ende, sobald Thomas Mann heimgekehrt ist. Wieviele Kilometer ist der Hund dann gelaufen?