Heute habe ich per email folgende Nachricht eines Lesers dieses Blogs bekommen:

Frage: "Habe folgende Formel selbst entwickelt, die für alle n ab 1 exakt, bzw. mit einem maximalen Fehler von kleiner 2,6% gilt:

(*)\qquad\qquad(2n-1)^n + (2n)^n \approx (2n+1)^n

Die Formel gilt exakt noch für n=1 oder 2. Für n=125 z.B. ergibt sich demnach "8,88E+299" = "9,10E+299" also liegt der Fehler bei 2,567%, der Grenzwert des Fehlers liegt wohl bei 2,6% ?? Oberhalb n=125 versagte Excel. Freue mich über eine Kommentierung...
Mit freundlichen Grüssen
Joachim Eul"

Antwort: Diese hübsche Annäherungsformel ist keine Überraschung. Man braucht allerdings mathematisch geübte Augen um es zu erkennen, und Joachim Eul ist ja kein Mathematiker. Es geht nämlich um eine asymptotische Entwicklung, die man im vorliegenden Fall sehr schnell hinschreiben kann. Wir möchten den relativen Fehler der Annäherung (*) für grosses n finden. Dazu dividieren wir die rechte Seite durch die linke und bilden den Grenzwert; ausserdem vereinfachen wir den Bruch, indem wir Zähler und Nenner durch (2n)n dividieren:


G=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^n}{(2n-1)^n + (2n)^n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac1{2n}\right)^n}{\left(1-\frac1{2n}\right)^n + 1}

Nun verwenden wir folgenden Grenzwert, der jedem Mathe-LK Schüler bekannt sein dürfte (ein Beweis folgt weiter unten):

(**)\qquad\qquad\forall x\in\mathbb{R}\quad:\qquad\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x.

Nimmt man x=±½ in (**) ergibt sich für den gesuchten Grenzwert

G=\frac{e^{\frac12}}{e^{-\frac12}+1}=\frac{e}{1+\sqrt e}\approx1,0263.

Die prozentuale Abweichung für grosse n liegt demnach mit ungefähr 2,63% ein bisschen höher als von Herrn Eul vermutet.

Resumé: Die linke Seite von (*) ist equivalent zu (1+1/\sqrt{e})(2n)^n, die rechte Seite zu \sqrt{e}(2n)^n, und die Zahlen 1+1/\sqrt{e} und \sqrt{e} liegen zufälligerweise nah beieinander, nämlich mit einer relativen Abweichung von circa 2,63%. (Die absolute Abweichung der linken Seite von der rechten ist hingegen gewaltig sobald n gross ist.)
Auf diese Weise kann man noch andere ähnliche "Formeln" finden, z.B.

(n-3)n + 20nn = (n+3)n (approximativ).

Hier gilt: Für sehr grosse n liegt die rechte Seite mit einem Fehler von weniger als 0,18% über der linken Seite; lange ist sie sogar kleiner als die linke Seite, erst ab n=2518 überholt sie. Wie oben findet man den Grenzwertfehler durch Dividieren. Man erhält: e3/(e-3+20) = 1,001783054..., daher weniger als 0,18%.

Zusatz: Wie versprochen gebe ich jetzt den Beweis der Formel (**) zur Berechnung der Exponentialfunktion. (Natürlich könnte man die Exponentialfunktion durch ebendiese Formel definieren, und dann gäbe es nichts zu beweisen. Aber meistens wird die Exponentialfunktion ja anders eingeführt, nämlich als diejenige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist und in 0 den Wert 1 annimmt. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus; er nimmt in 1 den Wert 0 an und seine Ableitung in 1 ist demzufolge das Umgekehrte der Ableitung der Exponentialfunktion in 0, also 1.)
Da die Formel (**) für x=0 klar ist nehmen wir x ungleich Null an. Nach der Definition der Ableitung gilt


\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac xn\right)=x\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac xn\right)-\ln(1)}{\frac xn}=x\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}h=x\ln'(1)=x,

und somit aus Stetigkeitsgründen

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=\lim_{n\to\infty}\exp\left(n\ln\left(1+\frac xn\right)\right)=\exp\left(\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac xn\right)\right)=e^x\,.

Anwendung: Zuguterletzt sei noch auf eine Anwendung der Formel (**) in der Finanzrechnung hingewiesen. Nehmen wir an wir haben ein Sparkonte mit 5% Jahreszinsen. Am 1. Januar zahlen wir 10000€ ein. Der Banquier lässt uns zwischen verschiedenen Zinsauszahlungsformen wählen: entweder am Ende des Jahres (zu 5 Prozent), oder am Ende jeden Monats (zu 5/12 Prozent), oder täglich (zu 5/365 Prozent), oder stündlich (zu 5/(365·24) Prozent), etc. Was bringt uns am meisten ein?
Bezeichnen wir mit S den Betrag in Euro, der am Jahresende auf dem Konto steht. Dann bekommen wir:

  • Mit jährlichen Zinsen: \quad S=1.05\times10000=10500
     
  • Mit monatlichen Zinsen: \quad S=\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12}\cdot10000=10511,62
     
  • Mit täglichen Zinsen: \quad S=\left(1+\frac{0.05}{365}\right)^{365}\cdot10000=10512,67
     
  • Mit stündlichen Zinsen: \quad S=\left(1+\frac{0.05}{8760}\right)^{8760}\cdot10000=10512,71

Wie man sieht, bekommt man mehr Zinsen je kleiner das Berechnungsintervall ist; das ist der sogenannte Zinseszinseffekt. Aber die Zinsen im Jahr können nicht beliebig hoch werden, denn für eine kontinuierliche Verzinsung bekommt man den Grenzwert,

\quad S=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{0.05}n\right)^n\cdot10000=e^{0.05}\cdot10000\approx10512,71\text{ Euro}

und mehr ist nicht drin! Die e-Funktion erscheint somit auf natürliche Weise als Grenzwert bei Wachstumsprozessen wie der Zinsrechnung.