Heute habe ich per email folgende Nachricht eines Lesers dieses Blogs bekommen:

Frage: "Habe folgende Formel selbst entwickelt, die für alle n ab 1 exakt, bzw. mit einem maximalen Fehler von kleiner 2,6% gilt:

Die Formel gilt exakt noch für n=1 oder 2. Für n=125 z.B. ergibt sich demnach "8,88E+299" = "9,10E+299" also liegt der Fehler bei 2,567%, der Grenzwert des Fehlers liegt wohl bei 2,6% ?? Oberhalb n=125 versagte Excel. Freue mich über eine Kommentierung...
Mit freundlichen Grüssen
Joachim Eul"

Antwort: Diese hübsche Annäherungsformel ist keine Überraschung. Man braucht allerdings mathematisch geübte Augen um es zu erkennen, und Joachim Eul ist ja kein Mathematiker. Es geht nämlich um eine asymptotische Entwicklung, die man im vorliegenden Fall sehr schnell hinschreiben kann. Wir möchten den relativen Fehler der Annäherung (*) für grosses n finden. Dazu dividieren wir die rechte Seite durch die linke und bilden den Grenzwert; ausserdem vereinfachen wir den Bruch, indem wir Zähler und Nenner durch (2n)ⁿ dividieren:

Nun verwenden wir folgenden Grenzwert, der jedem Mathe-LK Schüler bekannt sein dürfte (ein Beweis folgt weiter unten):

Nimmt man x=±½ in (**) ergibt sich für den gesuchten Grenzwert

Die prozentuale Abweichung für grosse n liegt demnach mit ungefähr 2,63% ein bisschen höher als von Herrn Eul vermutet.

Resumé: Die linke Seite von (*) ist equivalent zu , die rechte Seite zu , und die Zahlen und liegen zufälligerweise nah beieinander, nämlich mit einer relativen Abweichung von circa 2,63%. (Die absolute Abweichung der linken Seite von der rechten ist hingegen gewaltig sobald n gross ist.)
Auf diese Weise kann man noch andere ähnliche "Formeln" finden, z.B.

Hier gilt: Für sehr grosse n liegt die rechte Seite mit einem Fehler von weniger als 0,18% über der linken Seite; lange ist sie sogar kleiner als die linke Seite, erst ab n=2518 überholt sie. Wie oben findet man den Grenzwertfehler durch Dividieren. Man erhält: e³/(e^-3+20) = 1,001783054..., daher weniger als 0,18%.

Zusatz: Wie versprochen gebe ich jetzt den Beweis der Formel (**) zur Berechnung der Exponentialfunktion. (Natürlich könnte man die Exponentialfunktion durch ebendiese Formel definieren, und dann gäbe es nichts zu beweisen. Aber meistens wird die Exponentialfunktion ja anders eingeführt, nämlich als diejenige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist und in 0 den Wert 1 annimmt. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus; er nimmt in 1 den Wert 0 an und seine Ableitung in 1 ist demzufolge das Umgekehrte der Ableitung der Exponentialfunktion in 0, also 1.)
Da die Formel (**) für x=0 klar ist nehmen wir x ungleich Null an. Nach der Definition der Ableitung gilt

und somit aus Stetigkeitsgründen

Anwendung: Zuguterletzt sei noch auf eine Anwendung der Formel (**) in der Finanzrechnung hingewiesen. Nehmen wir an wir haben ein Sparkonte mit 5% Jahreszinsen. Am 1. Januar zahlen wir 10000€ ein. Der Banquier lässt uns zwischen verschiedenen Zinsauszahlungsformen wählen: entweder am Ende des Jahres (zu 5 Prozent), oder am Ende jeden Monats (zu 5/12 Prozent), oder täglich (zu 5/365 Prozent), oder stündlich (zu 5/(365·24) Prozent), etc. Was bringt uns am meisten ein?
Bezeichnen wir mit S den Betrag in Euro, der am Jahresende auf dem Konto steht. Dann bekommen wir:

• Mit jährlichen Zinsen:
   
• Mit monatlichen Zinsen:
   
• Mit täglichen Zinsen:
   
• Mit stündlichen Zinsen:

Wie man sieht, bekommt man mehr Zinsen je kleiner das Berechnungsintervall ist; das ist der sogenannte Zinseszinseffekt. Aber die Zinsen im Jahr können nicht beliebig hoch werden, denn für eine kontinuierliche Verzinsung bekommt man den Grenzwert,

und mehr ist nicht drin! Die e-Funktion erscheint somit auf natürliche Weise als Grenzwert bei Wachstumsprozessen wie der Zinsrechnung.

Wenn man bei jemandem sein gutes räumliches Vorstellungsvermögen bewundert, dann häufig deshalb weil er fähig ist, anhand von zweidimensionalen Informationen (beispielsweise auf einem Blatt Papier oder Computerbildschirm gegeben) die Lage eines Objekts im dreidimensionalen Raum wiederzugeben.

Was für manche einfach ist, fällt anderen schwer. Nicht jeder kommt mit einer guten räumlichen Vorstellungskraft uaf die Welt, aber mit etwas Übung kann mann sich darin steigern; und für manche Berufe ist sie sogar unentbehrlich, so für 3D-Graphiker und Architekten.

Jedesmal wenn man vom 3-dimensionalen Raum ein 2-dimensionales Abbild erstellt, verliert man etwas Information. Und dieser Verlust an Information verursacht dann Doppeldeutigkeiten. So lässt beispielsweise der oben links abgebildete durchsichtige Würfel zwei Interpretationen zu, die ich daneben mithilfe von zwei undurchsichtigen Würfeln dargestellt habe.
Um die zweite der beiden Sichtweisen noch klarer erscheinen zu lassen, habe ich sie unten nochmals gezeichnet mit zwei Männchen; das eine steht auf dem Würfel und das andere trägt ihn.

Oft verwendet man auch punktierte Linien, um verdeckte Kanten anzudeuten:

Hier ein anderes Beispiel. Es basiert auf dem gleichen Problem des Informationsverlustes, ist aber etwas schwieriger.

Man kann die Silhouette der Tänzerin auf zweierlei Weisen verstehen:

• Das Mädchen ist uns mit dem Rücken zugewandt. Dann ist ihr Kopf leicht nach rechts geneigt, und ihr rechtes Bein ist angehoben.
• Das Mädchen zeigt uns ihr Gesicht. Dann ist ihr Kopf leicht nach links geneigt, und ihr linkes Bein ist angehoben.

Versuchen Sie jetzt mal, zwischen beiden Sichtweisen hin und her zu wechseln. Das ist schon schwieriger als mit den Würfeln! Und es wird noch schwerer, wenn sich die Tänzerin dreht.

• Entweder sie dreht sich auf ihrem linken Standbein; ein über ihr fliegender Vogel würde sie dann im Uhrzeigersinn drehen sehen.
• Oder aber sie dreht sich auf ihrem rechten Standbein; ein über ihr fliegender Vogel würde sie dann gegen den Uhrzeigersinn drehen sehen.

Was mich betrifft, so sehe ich mühelos die erste der beiden Möglichkeiten. Manchmal schaffe ich es, den zweiten Blickwinkel anzunehmen; aber ich muss mich dafür anstrengen und bleibe dann drauf hängen, d.h. ich kann nicht mehr auf die andere Sichtweise zurückkommen.

Es ist auch aufschlussreich ein Detail in diese Betrachtungen hineinzubeziehen: den Schatten, den das gehobene Bein wirft. Da es sich um eine Silhouette handelt, kann man folgern, dass sich die Lichtquelle hinter der Tänzerin befindet (Gegenlichteffekt). Daraus folgt, dass in dem Moment, in dem der Schatten des gehobenen Fußes am unteren Bildrand erscheint, dieser Fuß weiter weg vom Betrachter ist als in der Zeitspanne, wo dieser Fußschatten nicht zu sehen ist. Die einzige richtige Sichtweise ist also die zweite!

Eigentlich glaubt man, schon in der Grundschule alles über Grundrechenarten (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren) gelernt zu haben. Aber es gibt da immer noch Überraschungen. Hier drei Methoden zum schriftlichen Multiplizieren von zwei ganzen Zahlen:

• Das klassische Malnehmen des Musterschülers





• Die Faulenzermethode (oder russische Bauernregel)
 
Der Faulenzer beherrscht nur die Multiplikation mit 2 und die Division durch 2.



Anleitung: In der linken Spalte immer halbieren und bei Bedarf nach unten abrunden. Rechts immer verdoppeln. Danach alle Zeilen streichen, die mit einer geraden Zahl anfangen (schwarz). Die übrigen Zeilen rechts addieren (rot).
 
 

• Methode von Karatsuba (1962 veröffentlicht)

Man trenne jeden Faktor in zwei gleich lange Teile

und berechne die folgenden Teilprodukte:

Das Endergebnis erhält man dann so:

Bemerkung
Hinter all dem steckt die Idee, das Multiplizieren auf Produkte von einstelligen Zahlen, also das Einmaleins, zurückzuführen. Auf einem Computer kann die Wahl eines guten Algorithmus die Rechenzeiten erheblich verkürzen — und zwar um einige Tage, wenn es sich um Zahlen mit mehreren Milliarden Stellen handelt! Und das Rechnen mit sehr hohen Zahlen beschäftigt nicht nur Theoretiker, sondern wird auch von Praktikern wie Kryptologen angewendet.
 
Übungsaufgabe

1. Erkläre, warum die Faulenzermethode funktioniert. Die beiden Faktoren spielen offenbar entgegengesetzte Rollen; welcher sollte am besten welche Rolle übernehmen?
2. Mithilfe der Karatsuba-Multiplikation berechne man das Produkt 3116 x 1014. Erkläre, warum die Karatsuba-Methode funktioniert.
3. Wieviele Produkte von einstelligen Zahlen berechnet man beim klassischen Malnehmen, wenn man zwei n-stellige Zahlen multipliziert?
4. Indem man die Methode von Karatsuba wiederholt (also die Zahlen in zwei, vier, acht, etc. Teile aufspaltet) erhält man einen Algorithmus, den sog. Karatsuba-Algorithmus. Wieviele Produkte von einstelligen Zahlen muss man dabei berechnen, wenn man zwei n-stellige Zahlen multipliziert? Man vergleiche den klassischen Algorithmus mit dem von Karastuba und zeige insbesondere, dass der Algorithmus von Karatsuba eine Laufzeitkomplexität von ungefähr hat.

Lösung
Hier sind die Lösungen dieser Übungsaufgaben im pdf-Format.

Zuguterletzt ein Video mit einer anderen Multiplikationsmethode, die nebenbei eine nette Kalligrafie erzeugt — deshalb heisst sie chinesische Multiplikation!

Die Grundidee der chinesischen Multiplikationsmethode ist folgende Tatsache: ein Bündel von n parallelen Geraden schneidet ein anderes Bündel von m parallelen Geraden in genau nxm Punkten.

In meiner Küche steht dieser zylindrische Salzstreuer. Was ist wohl länger, seine Höhe oder sein Umfang?

Auf den ersten Blick würde man sagen, dass es die Höhe ist. Vergleichen wir! Mit meiner Hand kann ich leicht die Höhe abfassen, aber ich schaffe es nicht, den Salzstreuer zu umschließen. Erstaunlich. Der Umfang dieses Zylinders beträgt also mehr als seine Höhe!

In der Schule haben wir alle gelernt, wie man den Umfang eines Kreises berechnet: man multipliziert den Durchmesser mit der berühmten Zahl , die scheinbar zu nichts anderem erfunden wurde als eben dazu und die annäherungsweise 22/7 ist. Und da 22/7 offensichtlich größer ist als 3, ist der Umfang länger als das Dreifache des Durchmessers. Wenn man das im Hinterkopf behält, ist unsere Messung oben nicht mehr so überraschend. In der Tat scheint der Salzstreuer nicht höher als dreimal so breit zu sein.

Natürlich verschätzen sich die meisten Leute bei dieser Frage. Am besten Sie probieren es mal in einer Kneipe und wetten mit Ihren Freunden, dass der Umfang eines Bierglases größer ist als seine Höhe. Mit einer Serviette können Sie dann beide Längen vergleichen. Sicher gewinnen Sie die Wette... Prost!

Die Höhe ist...	...kleiner als der Umfang.	Mathoman gewinnt ein Bier!