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Eine Aufgabe über topologische Gruppen

Autor : Mathoman, Freitag 25 Dezember 2009 14:12 Uhr - Mathe für Mathematiker - Tags

Eine topologische Gruppe ist eine Menge G mit einer Gruppenstruktur und einer Topologie, so dass die innere Verknüpfung

$G \times G \rightarrow G ,\;\; (x,y) \rightarrow xy,$

und die Inversenabblidung

$G \rightarrow G ,\;\; x \rightarrow x^{-1},$

stetig sind. Beide Strukturen, die algebraische und die topologische, sind also auf natürliche Weise verbunden. Somit ist folgende Frage erlaubt.

Frage

Gibt es topologische Gruppen die isomorph als Gruppen und homeomorph als topologische Räume, aber nicht isomorph als topologische Gruppen sind?

Antwort

Ja. Der Beweis geht in drei Teilen:

Seien G und H dichte Teimmengen von $\mathbb{R}$ und $f: \, G \rightarrow H$ eine monotone Bijektion. Dann ist f ein Homeomorphismus.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen, dass f wachsend ist. Zeigen wir die Stetigkeit von f. Sei $x_0\in G$ und $\epsilon>0$ . Da H dicht in $\mathbb{R}$ ist, hat man $H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,\neq\emptyset$ . Also gibt es $y_1\in H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,$ . Und ebenso existiert $y_2\in H\cap\,]f(x_0),f(x_0)+\epsilon[\,$ . Da f surjektiv ist, können wir schreiben $y_k=f(x_k)$ mit $x_k\in G, k=1,2$ . Sei $\delta=\min(x_0-x_1,x_2-x_0)$ . Dann gilt für jedes x in G
$\begin{align*} x_0-\delta<x<x_0+\delta \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;& f(x_0-\delta)<f(x)<f(x_0+\delta)\\ \Longrightarrow\;\;\;&y_1=f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)=y_2\\ \Longrightarrow\;\;\;&f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon\,, \end{align*}$
was die Steitigkeit von f in $x_0$ beweist. Der Beweis der Stetigkeit der Umkehrfunktion $f^{-1}$ verläuft ganz genauso.
Seien G und H abzählbare dichte Teilmengen von $\mathbb{R}$ . Dann sind sie homeomorph.

Zunächst schreiben wir
$\begin{align*} G&=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\;\;\;\;\;(*)\,,&H&=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}\;\;\;\;(**)\,. \end{align*}$
Wir werden nun G und H auf neue Weise abzählen, und Ziel ist es, die Abbilung monoton und bijektiv zu machen (dann ist sie automatisch ein Homeomorphismus). Dazu gehen wir wie folgt vor.
- k=0. Wir nehmen $x'_0=x_0,\;y'_0=y_0$
- k=1. Wir nehmen $x'_1=x_1$ . Um $y'_1$ zu wählen, vergleichen wir $x'_0$ und $x_1'$ .
  Im Falle $x'_1<x'_0$ nehmen wir als $y'_1$ ein beliebiges Element in H, welches kleiner ist als $y'_0$ .
  Im Falle $x'_1>x'_0$ nehmen wir als $y'_1$ ein beliebiges Element in H, welches grösser ist als $y'_0$ .
- k=2. Wir nehmen als $y'_2$ das erste Element von $H\setminus\{y'_0,y'_1\}$ in der Liste (**). Um $x'_2$ zu wählen, vergleichen wir $y'_0,y'_1,y'_2$ .
  Wenn $y'_2$ kleiner als $y'_0$ und $y'_1$ ist, nehmen wir als $x'_2$ ein beliebiges Element in G, das kleiner als $x'_0$ und $x'_1$ ist.
  Wenn $y'_2$ grösser als $y'_0$ und $y'_1$ ist, nehmen wir als $x'_2$ ein beliebiges Element in G, welches grösser als $x'_0$ und $x'_1$ ist.
  Wenn $y'_2$ zwischen $y'_0$ und $y'_1$ liegt, nehmen wir als $x'_2$ ein beliebiges Element in G, welches zwischen $x'_0$ und $x'_1$ liegt.
- k=3. Wir nehmen als $x'_3$ das erste Element von $G\setminus\{x'_0,x'_1,x'_2\}$ in der Liste (*). Um $y'_3$ zu wählen, vergleichen wir $x'_0,x'_1,x'_2,x'_3$ . Es gibt 24 mögliche Anordnungen.
  Im Falle $x'_3<x'_0<x'_1<x'_2$ nehmen wir als $y'_3$ ein beliebiges Element in H, das kleiner als $y'_0,y'_1,y'_2$ ist.
  Im Falle $x'_2<x'_3<x'_0<x'_1$ nehmen wir als $y'_3$ ein beliebiges Element in H, das zwischen $y'_2$ und $y'_0$ liegt.
  Und so weiter.
Die topologischen Gruppen $G=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2$ und $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ erfüllen unsere Wüsnche.

Nach den obigen Überlegungen sind G und H homeomorph. Selbstverständlich sind sie auch isomorphe Gruppen. Sie sind jedoch keine isomorphe topologische Gruppen. Denn nehmen wir an, es gäbe einen Isomorphismus von topologischen Gruppen $f:\, G \to H$ . Dann zeigt man leicht durch vollständige Induktion, dass f(n)=nf(1) für jede ganze Zahl n, und daraufhin dass f(r)=rf(1) für jedes rationales r. Also wegen der Steitigkeit
$f(\sqrt2)=\sqrt2f(1),\;\;\;\;\;\lightning$
eine unmögliche Gleichung in $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ .

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Kleine Nuss für Weihnachten

Autor : Mathoman, Dienstag 22 Dezember 2009 13:38 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Weihnachten ist die Zeit, Nüsse zu knacken. Jedenfalls für Normalbürger. Mathematiker aber haben einen grossen Spass an besonders harten Nüssen. Wie wäre es mit dieser hier? Man soll zeigen, dass untenstehende Gleichung für jedes positive ganze Zahl gilt.

$\sum_{k=0}^n\left\(\begin{array}{c}2n+1\\2k+1\end{array}\right\)(2k+1)\:=\:2^{2n-1}(2n+1).$

Wie immer in der Mathematik gilt die Devise short is beautiful, d.h., man soll eine möglichst kurze und elegante Lösung finden — es gibt sogar eine ganz ohne Rechenaufwand. Man darf sich bei dieser Aufgabe vom Bild des Weihnachtsmannes inspirieren lassen, der Geschenke in Strümpfe verteilen soll...

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