Die Komatrix com(M) einer n x n-Matrix M ist diejenige n x n-Matrix, deren Eintrag in (l,k) das Produkt von mit der Determinante der Matrix ist, die aus M durch Entfernung der Zeile l und der Spalte k entsteht.
Es ist vor allem die Transponierte der Komatrix, die uns interessiert; sie heisst Adjunkte, und man zeigt in jeder Vorlesung über lineare Algebra, dass sie folgende fundamentale Eigenschaft besitzt:

Wenn man mit Matrixkoeffizienten aus einem Ring R arbeitet, folgt daraus insbesondere, dass die Matrix M genau dann invertierbar im Matrizenring ist, wenn der Skalar det(M) invertierbar im Ring R ist. Zum Beispiel sind über die invertierbaren Matrizen genau diejenigen, deren Determinante 1 oder -1 ist.

Übung:  Zeige, dass  com  die Matrizenmultiplikation erhält, d.h., dass

com(I) = I      et      com(MN) = com(M) com(N).

Hier eine schöne Übungsaufgabe aus der Theorie der Matrizen.

Sei A eine n x n Matrix. Man zeige, dass ihr Kommutatorraum, also die Menge der Matrizen, die mit A kommutieren, mindestens die Dimension n besitzt.

Diese Aussage kann man über jedem Körper beweisen. Aber im rellen oder komplexen Fall gibt es alternative Beweismethoden.

Aus gegebenem Anlass kam mir heute die Idee zu einem mathematischen Geburtstagsgeschenk in Form eines Rätsels.

Heute, am Sonntag den 5. Juli 2009, hat mein Vater Geburtstag. Er wurde am einem Sonntag eines Schaltjahres geboren. Wie alt wird er heute?

Zum Lösen der Aufgabe darf man die Tatsache heranziehen, dass ich älter als dreiundzwanzig bin, dass mein Vater auch älter als dreiundzwanzig war, als er die Verantwortung auf sich nahm, mein Vater zu werden und schliesslich dass er noch keine hundert Jahre auf dem Buckel hat.

Jedenfalls wünsche ich dir alles Gute zum Geburtstag, Papa!

Alle kennen diese kleinen Aufgaben, die sich Mathematiker am Ende eines Mensabesuchs stellen. Hier ist so eine kleine Perle:

Man verbinde die folgenden neun Punkte mit vier geraden Linien ohne den Stift zu heben.

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Leichter gesagt als getan. Die Lösung im folgenden Video zeigt, dass man dazu seine Denkgrenzen sprengen muss...

MathOMan verbindet 9 Punkte durch 4 Linien

Die lächelnde Bin stellt mir wiederum folgende Aufgabe, die jedem Spezialisten des Zusammenhangs in der Topologie zur Verzweiflung bringen muss.

Ohne den Stift abzusetzen zeichne man einen Kreis und seinen Mittelpunkt (aber nicht mehr).

Hier ist das Video mit ihrer trickreichen Lösung:

Bin zeichnet einen Kreis samt Mittelpunkt