Die Fotos meines vorhergehenden Posts über den Umfang eines Zylinders erinnern mich an eine andere Bierwette, die Sie bestimmt gewinnen, wenn Sie sie Ihren Saufkumpeln stellen:

Man hat zwei Gläser, eins ist mit Bier gefüllt und das andere mit der gleichen Menge Wein. Von dem Bierglas nimmt man einen Löffel voll und übertragt diese kleine Menge Bier ins Weinglas; dann macht man das gleiche in umgekehrter Richtung, d.h., man tut einen Löffel voll des Wein-Bier-Gemischs zurück ins Bierglas. Nun ist ein bisschen Bier im Wein und ein bisschen Wein im Bier.
Wo ist der Verunreinigungsgrad höher, im Bierglas oder im Weinglas?

In meiner Küche steht dieser zylindrische Salzstreuer. Was ist wohl länger, seine Höhe oder sein Umfang?

Auf den ersten Blick würde man sagen, dass es die Höhe ist. Vergleichen wir! Mit meiner Hand kann ich leicht die Höhe abfassen, aber ich schaffe es nicht, den Salzstreuer zu umschließen. Erstaunlich. Der Umfang dieses Zylinders beträgt also mehr als seine Höhe!

In der Schule haben wir alle gelernt, wie man den Umfang eines Kreises berechnet: man multipliziert den Durchmesser mit der berühmten Zahl , die scheinbar zu nichts anderem erfunden wurde als eben dazu und die annäherungsweise 22/7 ist. Und da 22/7 offensichtlich größer ist als 3, ist der Umfang länger als das Dreifache des Durchmessers. Wenn man das im Hinterkopf behält, ist unsere Messung oben nicht mehr so überraschend. In der Tat scheint der Salzstreuer nicht höher als dreimal so breit zu sein.

Natürlich verschätzen sich die meisten Leute bei dieser Frage. Am besten Sie probieren es mal in einer Kneipe und wetten mit Ihren Freunden, dass der Umfang eines Bierglases größer ist als seine Höhe. Mit einer Serviette können Sie dann beide Längen vergleichen. Sicher gewinnen Sie die Wette... Prost!

Die Höhe ist...	...kleiner als der Umfang.	Mathoman gewinnt ein Bier!

Ich bin immer auf der Suche nach interessanten Übungsaufgaben für Studenten der ersten Semester. Oft wirde man fündig in Büchern, auf dem Web oder auch in alten Vorlesungsmitschriften oder Blättern aus der eigenen Studienzeit... und manchmal erfindet man sogar eine neue Aufgabe. Die folgende Frage zur linearen Algebra ist mir letztes Wochenende eingefallen. Ich finde sie ganz schön, weil ihre Lösung kein tiefgreifendes Theorem verwendet sondern bloß grundlegende Kenntnisse, die man bei jedem Mathematik- oder Physikstudenten voraussetzen darf:

Welches ist die grösste ganze Zahl k, so dass jeder affine Unterraum der Kodimension k im Raum der nxn-Matrizen eine invertierbare Matrix enthält?

Erinnerung: Die Kodimension eines Unterraumes ist die Differenz zwischen der Dimension des umgebendes Raumes und der des Unterraumes. Sie stimmt also mit der Anzahl der (unabhängigen) Gleichungen überein, deren Nullstellengebilde der Unterraum ist; denn jede Gleichung unterdrückt einen Freiheitsgrad. Zum Beispiel ist in unserem gewöhnlichen 3-dimensionalen Anschauungsraum die Kodimension einer Geraden gleich 2 und die einer Ebene gleich 1.