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Verformung des Fussballs

Autor : Mathoman, Sonntag 11 Juli 2010 00:48 Uhr - Abseits - Tags

Heute ist das Endspiel der Fussballweltmeisterschaft, und aus diesem Anlass eine kleine Frage an meine Leser:

Wenn ein Spieler einen Ball mit dem Kopf empfängt, verformt sich dieser bevor er zurückprallt. Was schätzen Sie, in welcher Grössenordnung bewegt sich die maximale Verformung des Balls (in cm)?

Hier sind einige Angaben zu den wesentlichen Eigenschaften des Balls nach den Regeln der FIFA: er ist kugelrund, aus Leder oder ähnlichem Material, hat zu Beginn des Spiels einen Umfang zwischen 68 und 70 cm, ein Gewicht zwischen 410 und 450 g sowie einen Druck zwischen 1,6 und 2,1 atm (1600 - 2100 g/cm²).

Kommentare

1. Montag 2 August 2010 12:15 Uhr, Matheblog sagt :

Hallo MathOMan, ich bitte um die Auflösung. ;) Grüße NorMan

2. Sonntag 12 September 2010 10:55 Uhr, Mathoman sagt :

Ich übersetze hier einfach die Lösung, die ich auf der französischen Version des Blogs bekam. Alles Rechnungen können nach geeignetem Runden per Kopf gemacht werden.

Der Einfachheit halber nehme ich an:
m = 0,5 kg = Masse des Balls
v = 10 m/s = Geschwindigkeit
R = 0,1 m = Radius
$P_0 = 10^5$ Pa = Luftdruck der Umgebung
$P = 2 P_0$ = Luftdruck im Ball.

Erst berechnen wir die Energie, die zur Kompression von Gas nötig ist. Nehmen wir an, das Gas ist in einem Zylinder über der Basisfläche S, dessen Höhe h variiert. Um den Zylinder zu komprimieren braucht man die Kraft $F=(P-P_0)S$ , also $dE=-F.dh=-(P-P_0)dV$ . Mit $P=2P_0$ folgt $dE=P_0|dV|$ .

Nun gehen wir davon aus, dass die kinetische Energie des Balls $mv^2/2$ gänzlich zur Komprimierung aufgebraucht wird (Reibungsverluste und Elastizität des Balles vernachlässigt), d.h. $mv^2/2= P_0|\Delta V|$ . Die relative Volumenänderung des Balls ist somit durch folgenden Quotienten gegeben:
$|\Delta V|/V = \frac{mv^2}{2P_0V}=\frac{0,5.10^2}{2.10^5.(4/3)\pi.10^{-3}}\approx 1/16$ (wir haben $\pi$ durch 3 angenähert).

Die Schwierigkeit ist nun, dass wir nicht wissen wie genau der Ball verformt wird. Man kann sich aber in dem Zeitlupenvideo ein Bild davon machen; es sieht so aus, als ob der Ball einfach "abgeschnitten" wird. Daher nehmen wir an, dass bei einer Verformung von $\ell$ Zentimetern, das "verlorene" Volumen dem Volumen der Kugelkalotte $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\; x^2+y^2+z^2\le R^2,\; z\ge R-\ell\}$ entspricht.

Formeln (hier ohne Beweis): das Volumen der Kugel ist $V = 4\pi R^3/4$ und das der Kalotte $|\Delta V| = \pi \ell^2(3R-\ell)/4\,.$

Oben haben wir gezeigt, dass der Quotient $|\Delta V|/V$ gleich 1/16 ist, und damit bekommen wir nach kurzer Rechnung $\left(3-\frac \ell R\right)\left(\frac \ell R\right)^2 = \frac14$ . Das ist eine Gleichung dritten Grades, die aber für kleine Verformungen ( $\ell/R$ klein) die einfache Lösung $\frac \ell R\approx \frac1{\sqrt{12}}$ besitzt.

Schliesslich, $\ell\approx 0,1/\sqrt{12}\approx 0,1/(10/3)\approx 0,03$ .

Also wird der Ball ungefähr 3 cm verformt, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s aufprallt. Bei einer anderen Geschwindigkeit müsste nach obigen Rechnungen die Verformung proportionell sein.

Hier ein Photo von der WM 2010 welches zeigt, dass unsere Rechnungen nicht allzu weit von der Wirklichkeit entfernt lagen; bei einem Freistoss kann der Ball gut 30 m/s (= 108 km/h) schnell sein, also dreimal soviel wie oben angenommen.

3. Freitag 17 September 2010 15:15 Uhr, Matheblog sagt :

Danke für die Lösung, Bernhard! Sehr gutes Foto! Glaubt man garnicht, dass solch ein Ball, der, wenn man ihn anfasst, doch ziemlich hart erscheint, sich so verformen kann. Und natürlich anschließend auch wieder seine ursprüngliche Form annimmt.

4. Mittwoch 26 Januar 2011 16:41 Uhr, frank sagt :

Danke auch von mir für die Lösung.

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