Ich bin immer auf der Suche nach interessanten Übungsaufgaben für Studenten der ersten Semester. Oft wirde man fündig in Büchern, auf dem Web oder auch in alten Vorlesungsmitschriften oder Blättern aus der eigenen Studienzeit... und manchmal erfindet man sogar eine neue Aufgabe. Die folgende Frage zur linearen Algebra ist mir letztes Wochenende eingefallen. Ich finde sie ganz schön, weil ihre Lösung kein tiefgreifendes Theorem verwendet sondern bloß grundlegende Kenntnisse, die man bei jedem Mathematik- oder Physikstudenten voraussetzen darf:
Welches ist die grösste ganze Zahl k, so dass jeder affine Unterraum der Kodimension k im Raum der nxn-Matrizen eine invertierbare Matrix enthält?
Erinnerung: Die Kodimension eines Unterraumes ist die Differenz zwischen der Dimension des umgebendes Raumes und der des Unterraumes. Sie stimmt also mit der Anzahl der (unabhängigen) Gleichungen überein, deren Nullstellengebilde der Unterraum ist; denn jede Gleichung unterdrückt einen Freiheitsgrad. Zum Beispiel ist in unserem gewöhnlichen 3-dimensionalen Anschauungsraum die Kodimension einer Geraden gleich 2 und die einer Ebene gleich 1.