Hier eine nette Aufgabe aus der ebenen Geometrie. Wie oft in der Mathematik ist die Aussage eher einfach — der Beweis ist es aber keineswegs!

Es seien ein Kreis, A,B zwei verschiedene Punkte auf und M die Mitte der Sehne [AB]. Man nehme zwei andere Sehnen [PQ] und [SR], die beide durch M gehen. Es sei C (bzw. D) der Schnittpunkt von [AB] mit [PS] (bzw. [RQ]).
Man zeige, dass M auch die Mitte von [CD] ist.

Erstaunlich! Wenn M die Mitte von [AB] ist, dann auch von [CD].

Eine topologische Gruppe ist eine Menge G mit einer Gruppenstruktur und einer Topologie, so dass die innere Verknüpfung

und die Inversenabblidung stetig sind. Beide Strukturen, die algebraische und die topologische, sind also auf natürliche Weise verbunden. Somit ist folgende Frage erlaubt.

Frage

Gibt es topologische Gruppen die isomorph als Gruppen und homeomorph als topologische Räume, aber nicht isomorph als topologische Gruppen sind?

Antwort

Ja. Der Beweis geht in drei Teilen:

1. Seien G und H dichte Teimmengen von und eine monotone Bijektion. Dann ist f ein Homeomorphismus.
   
   Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen, dass f wachsend ist. Zeigen wir die Stetigkeit von f. Sei und . Da H dicht in ist, hat man . Also gibt es . Und ebenso existiert . Da f surjektiv ist, können wir schreiben mit . Sei . Dann gilt für jedes x in G

   

   was die Steitigkeit von f in beweist. Der Beweis der Stetigkeit der Umkehrfunktion verläuft ganz genauso.
    
2. Seien G und H abzählbare dichte Teilmengen von . Dann sind sie homeomorph.
   
   Zunächst schreiben wir

   

   Wir werden nun G und H auf neue Weise abzählen, und Ziel ist es, die Abbilung monoton und bijektiv zu machen (dann ist sie automatisch ein Homeomorphismus). Dazu gehen wir wie folgt vor.
    
   • k=0. Wir nehmen
      
   • k=1. Wir nehmen . Um zu wählen, vergleichen wir und .
     Im Falle nehmen wir als ein beliebiges Element in H, welches kleiner ist als .
     Im Falle nehmen wir als ein beliebiges Element in H, welches grösser ist als .
      
   • k=2. Wir nehmen als das erste Element von in der Liste (**). Um zu wählen, vergleichen wir .
     Wenn kleiner als und ist, nehmen wir als ein beliebiges Element in G, das kleiner als und ist.
     Wenn grösser als und ist, nehmen wir als ein beliebiges Element in G, welches grösser als und ist.
     Wenn zwischen und liegt, nehmen wir als ein beliebiges Element in G, welches zwischen und liegt.
      
   • k=3. Wir nehmen als das erste Element von in der Liste (*). Um zu wählen, vergleichen wir . Es gibt 24 mögliche Anordnungen.
     Im Falle nehmen wir als ein beliebiges Element in H, das kleiner als ist.
     Im Falle nehmen wir als ein beliebiges Element in H, das zwischen und liegt.
     Und so weiter.
      
3. Die topologischen Gruppen und erfüllen unsere Wüsnche.
   
   Nach den obigen Überlegungen sind G und H homeomorph. Selbstverständlich sind sie auch isomorphe Gruppen. Sie sind jedoch keine isomorphe topologische Gruppen. Denn nehmen wir an, es gäbe einen Isomorphismus von topologischen Gruppen . Dann zeigt man leicht durch vollständige Induktion, dass f(n)=nf(1) für jede ganze Zahl n, und daraufhin dass f(r)=rf(1) für jedes rationales r. Also wegen der Steitigkeit

   

   eine unmögliche Gleichung in .

Weihnachten ist die Zeit, Nüsse zu knacken. Jedenfalls für Normalbürger. Mathematiker aber haben einen grossen Spass an besonders harten Nüssen. Wie wäre es mit dieser hier? Man soll zeigen, dass untenstehende Gleichung für jedes positive ganze Zahl gilt.

Wie immer in der Mathematik gilt die Devise short is beautiful, d.h., man soll eine möglichst kurze und elegante Lösung finden — es gibt sogar eine ganz ohne Rechenaufwand. Man darf sich bei dieser Aufgabe vom Bild des Weihnachtsmannes inspirieren lassen, der Geschenke in Strümpfe verteilen soll...

Heute mal ein bisschen Klimatologie! Die folgende ebenso amüsante wie unnütze Fragestellung sei meinem Studienfreund A. Wirth gewidmet, der die reine Mathematik verlassen hat, um seinen Geist so angewandten Dingen wie Ozeanographie und Meteorologie zuzuwenden ;-)

Aufgabe: Die Erde sei als Kugel angenommen und die Temperatur eine stetige Funktion auf der Erdoberfläche. Man zeige: es gibt unendlich viele paarweise disjunkte Mengen {A,B} mit A und B Punkten auf der Erdoberfläche, so dass in A und B die gleiche Temperatur herrscht und so dass der Abstand zwischen A und B 1000 km beträgt.

Vor dem Sommer habe ich einen Blogeintrag geschrieben über die Mischung von Wein und Bier. Französische Freunde meinten, eine solche Mischung sei ein Sakrileg... man dürfe wohl Wein und Bier hintereinander trinken, aber keinesfalls gleichzeitig! In welcher Reihenfolge, darüber sind sich allerdings verschiedene Länder nicht einig:

Deutschland: Wein auf Bier das rat ich dir, Bier auf Wein das lasse sein.
Frankreich: Bière sur vin est venin, vin sur bière est belle manière.
England: Beer after wine, and you’ll feel fine, wine after beer and you’ll feel queer.

Umso überraschter war ich, als mich kürzlich brasilianische Freunde eines besseren belehrten und mir espanhola vorstellten, ein Getränk, das sie gerne selbst am Strand zusammenmischen. Es besteht genau aus Rotwein und hellem Bier. Der Geschmack hängt von den Proportionen ab (meistens mehr Bier), die Farbe sieht etwas dreckig aus, es formen sich viele Flocken drin...

Diese Brasilianer mischen...	...Wein mit Bier!

Die Komatrix com(M) einer n x n-Matrix M ist diejenige n x n-Matrix, deren Eintrag in (l,k) das Produkt von mit der Determinante der Matrix ist, die aus M durch Entfernung der Zeile l und der Spalte k entsteht.
Es ist vor allem die Transponierte der Komatrix, die uns interessiert; sie heisst Adjunkte, und man zeigt in jeder Vorlesung über lineare Algebra, dass sie folgende fundamentale Eigenschaft besitzt:

Wenn man mit Matrixkoeffizienten aus einem Ring R arbeitet, folgt daraus insbesondere, dass die Matrix M genau dann invertierbar im Matrizenring ist, wenn der Skalar det(M) invertierbar im Ring R ist. Zum Beispiel sind über die invertierbaren Matrizen genau diejenigen, deren Determinante 1 oder -1 ist.

Übung:  Zeige, dass  com  die Matrizenmultiplikation erhält, d.h., dass

com(I) = I      et      com(MN) = com(M) com(N).

Hier eine schöne Übungsaufgabe aus der Theorie der Matrizen.

Sei A eine n x n Matrix. Man zeige, dass ihr Kommutatorraum, also die Menge der Matrizen, die mit A kommutieren, mindestens die Dimension n besitzt.

Diese Aussage kann man über jedem Körper beweisen. Aber im rellen oder komplexen Fall gibt es alternative Beweismethoden.

Aus gegebenem Anlass kam mir heute die Idee zu einem mathematischen Geburtstagsgeschenk in Form eines Rätsels.

Heute, am Sonntag den 5. Juli 2009, hat mein Vater Geburtstag. Er wurde am einem Sonntag eines Schaltjahres geboren. Wie alt wird er heute?

Zum Lösen der Aufgabe darf man die Tatsache heranziehen, dass ich älter als dreiundzwanzig bin, dass mein Vater auch älter als dreiundzwanzig war, als er die Verantwortung auf sich nahm, mein Vater zu werden und schliesslich dass er noch keine hundert Jahre auf dem Buckel hat.

Jedenfalls wünsche ich dir alles Gute zum Geburtstag, Papa!

Alle kennen diese kleinen Aufgaben, die sich Mathematiker am Ende eines Mensabesuchs stellen. Hier ist so eine kleine Perle:

Man verbinde die folgenden neun Punkte mit vier geraden Linien ohne den Stift zu heben.

°             °             °



°             °             °



°             °             °

Leichter gesagt als getan. Die Lösung im folgenden Video zeigt, dass man dazu seine Denkgrenzen sprengen muss...

MathOMan verbindet 9 Punkte durch 4 Linien

Die lächelnde Bin stellt mir wiederum folgende Aufgabe, die jedem Spezialisten des Zusammenhangs in der Topologie zur Verzweiflung bringen muss.

Ohne den Stift abzusetzen zeichne man einen Kreis und seinen Mittelpunkt (aber nicht mehr).

Hier ist das Video mit ihrer trickreichen Lösung:

Bin zeichnet einen Kreis samt Mittelpunkt

Wenn man bei jemandem sein gutes räumliches Vorstellungsvermögen bewundert, dann häufig deshalb weil er fähig ist, anhand von zweidimensionalen Informationen (beispielsweise auf einem Blatt Papier oder Computerbildschirm gegeben) die Lage eines Objekts im dreidimensionalen Raum wiederzugeben.

Was für manche einfach ist, fällt anderen schwer. Nicht jeder kommt mit einer guten räumlichen Vorstellungskraft uaf die Welt, aber mit etwas Übung kann mann sich darin steigern; und für manche Berufe ist sie sogar unentbehrlich, so für 3D-Graphiker und Architekten.

Jedesmal wenn man vom 3-dimensionalen Raum ein 2-dimensionales Abbild erstellt, verliert man etwas Information. Und dieser Verlust an Information verursacht dann Doppeldeutigkeiten. So lässt beispielsweise der oben links abgebildete durchsichtige Würfel zwei Interpretationen zu, die ich daneben mithilfe von zwei undurchsichtigen Würfeln dargestellt habe.
Um die zweite der beiden Sichtweisen noch klarer erscheinen zu lassen, habe ich sie unten nochmals gezeichnet mit zwei Männchen; das eine steht auf dem Würfel und das andere trägt ihn.

Oft verwendet man auch punktierte Linien, um verdeckte Kanten anzudeuten:

Hier ein anderes Beispiel. Es basiert auf dem gleichen Problem des Informationsverlustes, ist aber etwas schwieriger.

Man kann die Silhouette der Tänzerin auf zweierlei Weisen verstehen:

• Das Mädchen ist uns mit dem Rücken zugewandt. Dann ist ihr Kopf leicht nach rechts geneigt, und ihr rechtes Bein ist angehoben.
• Das Mädchen zeigt uns ihr Gesicht. Dann ist ihr Kopf leicht nach links geneigt, und ihr linkes Bein ist angehoben.

Versuchen Sie jetzt mal, zwischen beiden Sichtweisen hin und her zu wechseln. Das ist schon schwieriger als mit den Würfeln! Und es wird noch schwerer, wenn sich die Tänzerin dreht.

• Entweder sie dreht sich auf ihrem linken Standbein; ein über ihr fliegender Vogel würde sie dann im Uhrzeigersinn drehen sehen.
• Oder aber sie dreht sich auf ihrem rechten Standbein; ein über ihr fliegender Vogel würde sie dann gegen den Uhrzeigersinn drehen sehen.

Was mich betrifft, so sehe ich mühelos die erste der beiden Möglichkeiten. Manchmal schaffe ich es, den zweiten Blickwinkel anzunehmen; aber ich muss mich dafür anstrengen und bleibe dann drauf hängen, d.h. ich kann nicht mehr auf die andere Sichtweise zurückkommen.

Es ist auch aufschlussreich ein Detail in diese Betrachtungen hineinzubeziehen: den Schatten, den das gehobene Bein wirft. Da es sich um eine Silhouette handelt, kann man folgern, dass sich die Lichtquelle hinter der Tänzerin befindet (Gegenlichteffekt). Daraus folgt, dass in dem Moment, in dem der Schatten des gehobenen Fußes am unteren Bildrand erscheint, dieser Fuß weiter weg vom Betrachter ist als in der Zeitspanne, wo dieser Fußschatten nicht zu sehen ist. Die einzige richtige Sichtweise ist also die zweite!

Am Ende meines Artikels Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p.303–331, stelle ich folgende Vermutung auf:

Eine Vermutung um eine Singularität herum
Es sei D die offene Einheitkreisscheibe in der komplexen Ebene und eine offene Überdeckung der punktierten Scheibe D*= D\{0}. Auf jeder der offenen Mengen sei eine schlichte (d.h., holomorphe und injektive) Fonktion gegeben, so dass auf jedem Durchschnitt gilt. Dann definieren diese Differenziale eine meromorphe 1-Form auf D.

Es ist unmittelbar klar, dass die 1-Form holomorph im Gebiet D* ist. Falls ihr Residuum im Nullpunkt verschwindet, folgt die Vermutung denn die Singularität im Nullpunkt kann höchstens ein Pol sein, wie leicht aus dem großen Satz von Picard folgt, der weiter unten zitiert wird. Aber für den Fall, in dem das Residuum ungleich Null ist, weiß ich nicht weiter.
Ich wäre für jeden Beweis oder jedes Gegenbeispiel dankbar — aber ehrlich gesagt für Gegenbeispiele weniger, denn ich glaube ja, geleitet von meiner geometrischen Intuition über Riemannsche Flächen, dass die Vermutung stimmt...

1880 bewies Charles Emile Picard (1856-1941) folgenden nach ihm bennanten Satz.

Großer Satz von Picard
Eine holomorphe Funktion mit eine wesentlichen Singularität nimmt in jeder punktierten Umgebung dieser Singularität alle komplexen Werte, mit Ausnahme von höchstens einem, unendlich oft an.

Ein typisches Beispiel für den Picardschen Satz

Die durch

gegebene Funktion ist holomorph auf mit einer wesentlichen Singularität in . Spart das Bild von f einen Wert aus (Picard spricht von "höchstens einer Ausnahme")? Ja, denn es ist für alle , also muss dieser Ausnahmewert Null sein; dem Satz von Picard zufolge gibt es dann für jeden komplexen Wert und für jedes unendlich viele komplexe Zahlen mit und .

Direktes Ausrechnen mit diesem Beispiel

Für das obige Beispiel benötigt man eigentlich gar nicht den Satz von Picard, denn man kann auch direkt ausrechnen und sehen, was passiert: sei ein komplexer Wert ungleich Null und sei Es existieren zwei reelle Zahlen und , so dass

Für setzen wir und Somit hat man
Daher ist

Indem man hinreichend groß: wählt, sieht man, dass unendlich viele Urbilder in der punktierten Umgebung besitzt.

Ein weniger einfaches Beispiel

Sei P die Menge aller Primzahlen. Wir betrachten folgende Funktion
 
Da eine wesentliche Singularität vorliegt, kann man den Picardschen Satz anwenden.
Allerdings scheint mir ein direktes Ausrechnen im vorliegenden Falle unmöglich...

Kleine Musikpause — oder eher gesagt Maschinenpause denn diese Burschen gleichen motorisierten Zinnsoldaten und spielen die vertracktesten Rhythmen mit der Präzision eines schweizer Uhrwerks! Das Top Secret Drum Corps aus Basel hat die perfekte Koordination im lokalen wie im globalen.

Hier zum Vergleich, die brasilianische Batucada oder Bateria Batala, in der ich ein paar Jahre lang die Caixa (kleine Trommel) spielte. Wir haben zwar nicht die gleiche Präzision wie die Schweizer, aber trotzdem viel Spass dabei ;-) Es lebe die Samba in Paris!

Am Anfang des Videos hört man nur die Repiniques und die Caixas, die Mädchen in der ersten Reihe spielen dann später auf ihren grossen Trommeln (Surdos) einen anderen Rhythmus dazu.

Klassifikation

• Es gibt drei Sorten Menschen: die, die zählen können, und die, die es nicht können.
• Es gibt zwei Sorten Menschen: die, die glauben, dass man die Menschheit in zwei Sorten Menschen aufteilen kann, und die, die glauben, dass das nicht möglich ist.
• Es gibt 10 Sorten Menschen: die, die das Binärsystem verstehen, und die, die es nicht verstehen.

Wieviele Mathematiker sind nötig, um eine Glühlampe zu wechseln?
Keiner. Ein Mathematiker kann keine Birne wechseln, aber er kann beweisen, dass es machbar ist.

Wieviele Analytiker braucht man, um eine Glühbirne zu wechseln?
Drei. Einen für die Existenz, einen für die Eindeutigkeit und einen, der die Anfangsbedingungen bestimmt.

Wieviele Numeriker sind nötig, um eine Glühbirne zu wechseln?
3,9967 (nach sechs Itérationen).

Wieviele Konstruktivisten braucht man zum Wechseln einer Glühbirne?
Keinen. Sie glauben nicht an infinitesimale Drehungen.

Wieviele Algebraiker braucht man zum Wechseln einer Glühlampe?
Keinen, denn man kann diesen Job nicht mit Regel und Lineal erledigen.

Wie wechselt ein Bourbakist eine Glühbirne?
Das Wechseln von Glühbirnen ist ein Spezialfall eines allgemeineren Problems, nämlich das der Wartung und Instandhaltung eines elektrischen Systems. Um eine obere und untere Grenze der Anzahl der dazu notwendigen Personen zu bestimmen, müssen wir prüfen, ob die Bedingungen des Lemma 2.1 (Verfügbarkeit des Personals) und diejenigen des Korollars 2.3.55 (Leistungswille des Personals) erfüllt sind. Dann und nur dann, wenn alle Bedingungen erfüllt sind, erhält man das gewünschte Ergebnis nach Anwendung des Satzes aus dem Abschnitt 3.11.23. Wir erinnern daran, dass die obere Grenze selbstverständlich in einer messbaren Menge gilt, die mit der schwach-*-Topologie ausgestattet ist.

Eigentlich glaubt man, schon in der Grundschule alles über Grundrechenarten (addieren, substrahieren, multiplizieren, dividieren) gelernt zu haben. Aber es gibt da immer noch Überraschungen. Hier drei Methoden zum schriftlichen Multiplizieren von zwei ganzen Zahlen:

• Das klassische Malnehmen des Musterschülers





• Die Faulenzermethode (oder russische Bauernregel)
 
Der Faulenzer beherrscht nur die Multiplikation mit 2 und die Division durch 2.



Anleitung: In der linken Spalte immer halbieren und bei Bedarf nach unten abrunden. Rechts immer verdoppeln. Danach alle Zeilen streichen, die mit einer geraden Zahl anfangen (schwarz). Die übrigen Zeilen rechts addieren (rot).
 
 

• Methode von Karatsuba (1962 veröffentlicht)

Man trenne jeden Faktor in zwei gleich lange Teile

und berechne die folgenden Teilprodukte:

Das Endergebnis erhält man dann so:

Bemerkung
Hinter all dem steckt die Idee, das Multiplizieren auf Produkte von einstelligen Zahlen, also das Einmaleins, zurückzuführen. Auf einem Computer kann die Wahl eines guten Algorithmus die Rechenzeiten erheblich verkürzen — und zwar um einige Tage, wenn es sich um Zahlen mit mehreren Milliarden Stellen handelt! Und das Rechnen mit sehr hohen Zahlen beschäftigt nicht nur Theoretiker, sondern wird auch von Praktikern wie Kryptologen angewendet.
 
Übungsaufgabe

1. Erkläre, warum die Faulenzermethode funktioniert. Die beiden Faktoren spielen offenbar entgegengesetzte Rollen; welcher sollte am besten welche Rolle übernehmen?
2. Mithilfe der Karatsuba-Multiplikation berechne man das Produkt 3116 x 1014. Erkläre, warum die Karatsuba-Methode funktioniert.
3. Wieviele Produkte von einstelligen Zahlen berechnet man beim klassischen Malnehmen, wenn man zwei n-stellige Zahlen multipliziert?
4. Indem man die Methode von Karatsuba wiederholt (also die Zahlen in zwei, vier, acht, etc. Teile aufspaltet) erhält man einen Algorithmus, den sog. Karatsuba-Algorithmus. Wieviele Produkte von einstelligen Zahlen muss man dabei berechnen, wenn man zwei n-stellige Zahlen multipliziert? Man vergleiche den klassischen Algorithmus mit dem von Karastuba und zeige insbesondere, dass der Algorithmus von Karatsuba eine Laufzeitkomplexität von ungefähr hat.

Lösung
Hier sind die Lösungen dieser Übungsaufgaben im pdf-Format.

Zuguterletzt ein Video mit einer anderen Multiplikationsmethode, die nebenbei eine nette Kalligrafie erzeugt — deshalb heisst sie chinesische Multiplikation!

Die Grundidee der chinesischen Multiplikationsmethode ist folgende Tatsache: ein Bündel von n parallelen Geraden schneidet ein anderes Bündel von m parallelen Geraden in genau nxm Punkten.

Die Fotos meines vorhergehenden Posts über den Umfang eines Zylinders erinnern mich an eine andere Bierwette, die Sie bestimmt gewinnen, wenn Sie sie Ihren Saufkumpeln stellen:

Man hat zwei Gläser, eins ist mit Bier gefüllt und das andere mit der gleichen Menge Wein. Von dem Bierglas nimmt man einen Löffel voll und übertragt diese kleine Menge Bier ins Weinglas; dann macht man das gleiche in umgekehrter Richtung, d.h., man tut einen Löffel voll des Wein-Bier-Gemischs zurück ins Bierglas. Nun ist ein bisschen Bier im Wein und ein bisschen Wein im Bier.
Wo ist der Verunreinigungsgrad höher, im Bierglas oder im Weinglas?