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Eine Übung aus der Gruppentheorie

Autor : Mathoman, Sonntag 30 Oktober 2011 11:57 Uhr - Mathe für Mathematiker - Tags

Die Theorie der endlichen Gruppen ist voller kniffliger Fragestellungen. Hier ist eine kleine Übungsaufgabe.

Man zeige, dass jeder Gruppenautomorphismus einer endlichen Gruppe, der mindestens die Hälfte der Elemente auf ihr Inverses abbildet, eine Involution ist.
Man zeige auch, dass jeder Gruppenendomorphismus einer endlichen Gruppe, der mehr als die Hälfte der Elemente auf ihr Inverses abbildet, eine Involution ist.

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Anfrage eines Lesers und Exponentialfunktion

Autor : Mathoman, Montag 16 Mai 2011 20:56 Uhr - Mathe für alle - Tags

Heute habe ich per email folgende Nachricht eines Lesers dieses Blogs bekommen:

Frage: "Habe folgende Formel selbst entwickelt, die für alle n ab 1 exakt, bzw. mit einem maximalen Fehler von kleiner 2,6% gilt:
$(*)\qquad\qquad(2n-1)^n + (2n)^n \approx (2n+1)^n$
Die Formel gilt exakt noch für n=1 oder 2. Für n=125 z.B. ergibt sich demnach "8,88E+299" = "9,10E+299" also liegt der Fehler bei 2,567%, der Grenzwert des Fehlers liegt wohl bei 2,6% ?? Oberhalb n=125 versagte Excel. Freue mich über eine Kommentierung...
Mit freundlichen Grüssen
Joachim Eul"

Antwort: Diese hübsche Annäherungsformel ist keine Überraschung. Man braucht allerdings mathematisch geübte Augen um es zu erkennen, und Joachim Eul ist ja kein Mathematiker. Es geht nämlich um eine asymptotische Entwicklung, die man im vorliegenden Fall sehr schnell hinschreiben kann. Wir möchten den relativen Fehler der Annäherung (*) für grosses n finden. Dazu dividieren wir die rechte Seite durch die linke und bilden den Grenzwert; ausserdem vereinfachen wir den Bruch, indem wir Zähler und Nenner durch (2n)ⁿ dividieren:

$G=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^n}{(2n-1)^n + (2n)^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac1{2n}\right)^n}{\left(1-\frac1{2n}\right)^n + 1}$

Nun verwenden wir folgenden Grenzwert, der jedem Mathe-LK Schüler bekannt sein dürfte (ein Beweis folgt weiter unten):

$(**)\qquad\qquad\forall x\in\mathbb{R}\quad:\qquad\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x.$

Nimmt man x=±½ in (**) ergibt sich für den gesuchten Grenzwert

$G=\frac{e^{\frac12}}{e^{-\frac12}+1}=\frac{e}{1+\sqrt e}\approx1,0263.$

Die prozentuale Abweichung für grosse n liegt demnach mit ungefähr 2,63% ein bisschen höher als von Herrn Eul vermutet.

Resumé: Die linke Seite von (*) ist equivalent zu $(1+1/\sqrt{e})(2n)^n$ , die rechte Seite zu $\sqrt{e}(2n)^n$ , und die Zahlen $1+1/\sqrt{e}$ und $\sqrt{e}$ liegen zufälligerweise nah beieinander, nämlich mit einer relativen Abweichung von circa 2,63%. (Die absolute Abweichung der linken Seite von der rechten ist hingegen gewaltig sobald n gross ist.)
Auf diese Weise kann man noch andere ähnliche "Formeln" finden, z.B.

(n-3)ⁿ + 20nⁿ = (n+3)ⁿ (approximativ).

Hier gilt: Für sehr grosse n liegt die rechte Seite mit einem Fehler von weniger als 0,18% über der linken Seite; lange ist sie sogar kleiner als die linke Seite, erst ab n=2518 überholt sie. Wie oben findet man den Grenzwertfehler durch Dividieren. Man erhält: e³/(e^-3+20) = 1,001783054..., daher weniger als 0,18%.

Zusatz: Wie versprochen gebe ich jetzt den Beweis der Formel (**) zur Berechnung der Exponentialfunktion. (Natürlich könnte man die Exponentialfunktion durch ebendiese Formel definieren, und dann gäbe es nichts zu beweisen. Aber meistens wird die Exponentialfunktion ja anders eingeführt, nämlich als diejenige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist und in 0 den Wert 1 annimmt. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus; er nimmt in 1 den Wert 0 an und seine Ableitung in 1 ist demzufolge das Umgekehrte der Ableitung der Exponentialfunktion in 0, also 1.)
Da die Formel (**) für x=0 klar ist nehmen wir x ungleich Null an. Nach der Definition der Ableitung gilt

$\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac xn\right)=x\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac xn\right)-\ln(1)}{\frac xn}=x\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}h=x\ln'(1)=x,$

und somit aus Stetigkeitsgründen

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=\lim_{n\to\infty}\exp\left(n\ln\left(1+\frac xn\right)\right)=\exp\left(\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac xn\right)\right)=e^x\,.$

Anwendung: Zuguterletzt sei noch auf eine Anwendung der Formel (**) in der Finanzrechnung hingewiesen. Nehmen wir an wir haben ein Sparkonte mit 5% Jahreszinsen. Am 1. Januar zahlen wir 10000€ ein. Der Banquier lässt uns zwischen verschiedenen Zinsauszahlungsformen wählen: entweder am Ende des Jahres (zu 5 Prozent), oder am Ende jeden Monats (zu 5/12 Prozent), oder täglich (zu 5/365 Prozent), oder stündlich (zu 5/(365·24) Prozent), etc. Was bringt uns am meisten ein?
Bezeichnen wir mit S den Betrag in Euro, der am Jahresende auf dem Konto steht. Dann bekommen wir:

Mit jährlichen Zinsen: $\quad S=1.05\times10000=10500$
Mit monatlichen Zinsen: $\quad S=\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12}\cdot10000=10511,62$
Mit täglichen Zinsen: $\quad S=\left(1+\frac{0.05}{365}\right)^{365}\cdot10000=10512,67$
Mit stündlichen Zinsen: $\quad S=\left(1+\frac{0.05}{8760}\right)^{8760}\cdot10000=10512,71$

Wie man sieht, bekommt man mehr Zinsen je kleiner das Berechnungsintervall ist; das ist der sogenannte Zinseszinseffekt. Aber die Zinsen im Jahr können nicht beliebig hoch werden, denn für eine kontinuierliche Verzinsung bekommt man den Grenzwert,

$\quad S=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{0.05}n\right)^n\cdot10000=e^{0.05}\cdot10000\approx10512,71\text{ Euro}$

und mehr ist nicht drin! Die e-Funktion erscheint somit auf natürliche Weise als Grenzwert bei Wachstumsprozessen wie der Zinsrechnung.

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Metermass

Autor : Mathoman, Sonntag 6 Februar 2011 10:21 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Ich nehme ein ein Metermass der Länge 1m und breche es an einem beliebig gewählten Punkt in zwei Stücke. Das Stück in meiner linken Hand behalte ich und das Stück in meiner rechten Hand werfe ich ins Feuer. Dann mache ich das gleiche mit einem zweiten Metermass, dann mit einem dritten Metermass, usw. Wie viele Metermasse muss ich durchschnittlich zerbrechen, damit die zusammengestzte Länge der behaltenen Stücke einen Meter überschreitet?

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Eine konvergente Reihe

Autor : Mathoman, Freitag 29 Oktober 2010 10:30 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Um rauszufinden für welche $\alpha>0$ die Reihe $\sum_{k=1}^\infty\,\frac1{k^\alpha}$ konvergiert, kann man folgende Abschätzung benutzen, die für alle $n\in\llbracket2,\infty\llbracket$ gilt,

$\int_2^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\;<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\int_1^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\:.$

Sie ist leicht zu beweisen (zum Beispiel anhand einer Zeichnung) und hat zur Folge, dass

$\begin{align*} \frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-\frac1{2^{\alpha-1}}\right)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-1\right)\qquad\text{ wenn }\alpha\neq1\:,\\ \ln (n) - \ln (2)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k}\;<\;\ln (n) - \ln (1)\:. \end{align*}$

Wenn man nun n gegen unendlich laufen lässt, sieht man, dass die Reihe für $\alpha>1$ konvergiert und für $\alpha\leq1$ gegen unendlich divergiert. In dieser Hinsicht drängt sich folgende Frage auf.

Eine Übungsaufgabe:

Sei $\sum_{k=1}^\infty\,u_k$ eine konvergente Reihe. Ist dann $\sum_{k=1}^\infty\,u_k^3$ ebenfalls konvergent?

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Verformung des Fussballs

Autor : Mathoman, Sonntag 11 Juli 2010 00:48 Uhr - Abseits - Tags

Heute ist das Endspiel der Fussballweltmeisterschaft, und aus diesem Anlass eine kleine Frage an meine Leser:

Wenn ein Spieler einen Ball mit dem Kopf empfängt, verformt sich dieser bevor er zurückprallt. Was schätzen Sie, in welcher Grössenordnung bewegt sich die maximale Verformung des Balls (in cm)?

Hier sind einige Angaben zu den wesentlichen Eigenschaften des Balls nach den Regeln der FIFA: er ist kugelrund, aus Leder oder ähnlichem Material, hat zu Beginn des Spiels einen Umfang zwischen 68 und 70 cm, ein Gewicht zwischen 410 und 450 g sowie einen Druck zwischen 1,6 und 2,1 atm (1600 - 2100 g/cm²).

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Näherungswert eines Integrals

Autor : Mathoman, Mittwoch 16 Juni 2010 20:28 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Ein Freund hat mir neulich eine Liste mit interessanten Übungsaufgaben geschickt, über die ich demnächst mehr berichten werde. Eine der Fragen lautet ganz einfach:

Berechne den Mittelwert von sin¹⁰⁰(x) mit einer Genauigkeit von 10%.

Ich nehme an, dass man das so verstehen soll: Berechne den Mittelwert auf einem Intervall der Länge einer Periode (zum Beispiel zwischen 0 und pi).
Dem Autor der Aufgabensammlung zufolge würde ein Student, der diese Frage nicht innerhalb fünf Minuten beantworten kann, keine Ahnung von Mathematik haben... Und wie steht es mit Ihnen? :-)

Zum Abschluss noch zwei nette Mathesätze:

To speak algebraically, Mr. M. is execrable, but Mr. G. is (x+1)ecrable. — Edgar Alan Poe

Auch die stärkste Zahl braucht die Unterstüzung der Nullen: 100000000.
— Zarko Petan

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Verschiedene Sehnen in einem Kreis

Autor : Mathoman, Freitag 29 Januar 2010 13:11 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Hier eine nette Aufgabe aus der ebenen Geometrie. Wie oft in der Mathematik ist die Aussage eher einfach — der Beweis ist es aber keineswegs!

Es seien $\scr{C}$ ein Kreis, A,B zwei verschiedene Punkte auf $\scr{C}$ und M die Mitte der Sehne [AB]. Man nehme zwei andere Sehnen [PQ] und [SR], die beide durch M gehen. Es sei C (bzw. D) der Schnittpunkt von [AB] mit [PS] (bzw. [RQ]).
Man zeige, dass M auch die Mitte von [CD] ist.

Sehen, Schmetterlingssatz, Satz vom Schmetterling, Sehen in einem Kreis

Erstaunlich! Wenn M die Mitte von [AB] ist, dann auch von [CD].

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Eine Aufgabe über topologische Gruppen

Autor : Mathoman, Freitag 25 Dezember 2009 14:12 Uhr - Mathe für Mathematiker - Tags

Eine topologische Gruppe ist eine Menge G mit einer Gruppenstruktur und einer Topologie, so dass die innere Verknüpfung

$G \times G \rightarrow G ,\;\; (x,y) \rightarrow xy,$

und die Inversenabblidung

$G \rightarrow G ,\;\; x \rightarrow x^{-1},$

stetig sind. Beide Strukturen, die algebraische und die topologische, sind also auf natürliche Weise verbunden. Somit ist folgende Frage erlaubt.

Frage

Gibt es topologische Gruppen die isomorph als Gruppen und homeomorph als topologische Räume, aber nicht isomorph als topologische Gruppen sind?

Antwort

Ja. Der Beweis geht in drei Teilen:

Seien G und H dichte Teimmengen von $\mathbb{R}$ und $f: \, G \rightarrow H$ eine monotone Bijektion. Dann ist f ein Homeomorphismus.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen, dass f wachsend ist. Zeigen wir die Stetigkeit von f. Sei $x_0\in G$ und $\epsilon>0$ . Da H dicht in $\mathbb{R}$ ist, hat man $H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,\neq\emptyset$ . Also gibt es $y_1\in H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,$ . Und ebenso existiert $y_2\in H\cap\,]f(x_0),f(x_0)+\epsilon[\,$ . Da f surjektiv ist, können wir schreiben $y_k=f(x_k)$ mit $x_k\in G, k=1,2$ . Sei $\delta=\min(x_0-x_1,x_2-x_0)$ . Dann gilt für jedes x in G
$\begin{align*} x_0-\delta<x<x_0+\delta \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;& f(x_0-\delta)<f(x)<f(x_0+\delta)\\ \Longrightarrow\;\;\;&y_1=f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)=y_2\\ \Longrightarrow\;\;\;&f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon\,, \end{align*}$
was die Steitigkeit von f in $x_0$ beweist. Der Beweis der Stetigkeit der Umkehrfunktion $f^{-1}$ verläuft ganz genauso.
Seien G und H abzählbare dichte Teilmengen von $\mathbb{R}$ . Dann sind sie homeomorph.

Zunächst schreiben wir
$\begin{align*} G&=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\;\;\;\;\;(*)\,,&H&=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}\;\;\;\;(**)\,. \end{align*}$
Wir werden nun G und H auf neue Weise abzählen, und Ziel ist es, die Abbilung monoton und bijektiv zu machen (dann ist sie automatisch ein Homeomorphismus). Dazu gehen wir wie folgt vor.
- k=0. Wir nehmen $x'_0=x_0,\;y'_0=y_0$
- k=1. Wir nehmen $x'_1=x_1$ . Um $y'_1$ zu wählen, vergleichen wir $x'_0$ und $x_1'$ .
  Im Falle $x'_1<x'_0$ nehmen wir als $y'_1$ ein beliebiges Element in H, welches kleiner ist als $y'_0$ .
  Im Falle $x'_1>x'_0$ nehmen wir als $y'_1$ ein beliebiges Element in H, welches grösser ist als $y'_0$ .
- k=2. Wir nehmen als $y'_2$ das erste Element von $H\setminus\{y'_0,y'_1\}$ in der Liste (**). Um $x'_2$ zu wählen, vergleichen wir $y'_0,y'_1,y'_2$ .
  Wenn $y'_2$ kleiner als $y'_0$ und $y'_1$ ist, nehmen wir als $x'_2$ ein beliebiges Element in G, das kleiner als $x'_0$ und $x'_1$ ist.
  Wenn $y'_2$ grösser als $y'_0$ und $y'_1$ ist, nehmen wir als $x'_2$ ein beliebiges Element in G, welches grösser als $x'_0$ und $x'_1$ ist.
  Wenn $y'_2$ zwischen $y'_0$ und $y'_1$ liegt, nehmen wir als $x'_2$ ein beliebiges Element in G, welches zwischen $x'_0$ und $x'_1$ liegt.
- k=3. Wir nehmen als $x'_3$ das erste Element von $G\setminus\{x'_0,x'_1,x'_2\}$ in der Liste (*). Um $y'_3$ zu wählen, vergleichen wir $x'_0,x'_1,x'_2,x'_3$ . Es gibt 24 mögliche Anordnungen.
  Im Falle $x'_3<x'_0<x'_1<x'_2$ nehmen wir als $y'_3$ ein beliebiges Element in H, das kleiner als $y'_0,y'_1,y'_2$ ist.
  Im Falle $x'_2<x'_3<x'_0<x'_1$ nehmen wir als $y'_3$ ein beliebiges Element in H, das zwischen $y'_2$ und $y'_0$ liegt.
  Und so weiter.
Die topologischen Gruppen $G=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2$ und $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ erfüllen unsere Wüsnche.

Nach den obigen Überlegungen sind G und H homeomorph. Selbstverständlich sind sie auch isomorphe Gruppen. Sie sind jedoch keine isomorphe topologische Gruppen. Denn nehmen wir an, es gäbe einen Isomorphismus von topologischen Gruppen $f:\, G \to H$ . Dann zeigt man leicht durch vollständige Induktion, dass f(n)=nf(1) für jede ganze Zahl n, und daraufhin dass f(r)=rf(1) für jedes rationales r. Also wegen der Steitigkeit
$f(\sqrt2)=\sqrt2f(1),\;\;\;\;\;\lightning$
eine unmögliche Gleichung in $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ .

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Kleine Nuss für Weihnachten

Autor : Mathoman, Dienstag 22 Dezember 2009 13:38 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Weihnachten ist die Zeit, Nüsse zu knacken. Jedenfalls für Normalbürger. Mathematiker aber haben einen grossen Spass an besonders harten Nüssen. Wie wäre es mit dieser hier? Man soll zeigen, dass untenstehende Gleichung für jedes positive ganze Zahl gilt.

$\sum_{k=0}^n\left$\begin{array}{c}2n+1\\2k+1\end{array}\right$(2k+1)\:=\:2^{2n-1}(2n+1).$

Wie immer in der Mathematik gilt die Devise short is beautiful, d.h., man soll eine möglichst kurze und elegante Lösung finden — es gibt sogar eine ganz ohne Rechenaufwand. Man darf sich bei dieser Aufgabe vom Bild des Weihnachtsmannes inspirieren lassen, der Geschenke in Strümpfe verteilen soll...

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Die Temperaturverteilung auf der Erde

Autor : Mathoman, Freitag 23 Oktober 2009 14:25 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Heute mal ein bisschen Klimatologie! Die folgende ebenso amüsante wie unnütze Fragestellung sei meinem Studienfreund A. Wirth gewidmet, der die reine Mathematik verlassen hat, um seinen Geist so angewandten Dingen wie Ozeanographie und Meteorologie zuzuwenden ;-)

Aufgabe: Die Erde sei als Kugel angenommen und die Temperatur eine stetige Funktion auf der Erdoberfläche. Man zeige: es gibt unendlich viele paarweise disjunkte Mengen {A,B} mit A und B Punkten auf der Erdoberfläche, so dass in A und B die gleiche Temperatur herrscht und so dass der Abstand zwischen A und B 1000 km beträgt.

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Mix von Wein und Bier

Autor : Mathoman, Samstag 22 August 2009 11:23 Uhr - Abseits - Tags

Vor dem Sommer habe ich einen Blogeintrag geschrieben über die Mischung von Wein und Bier. Französische Freunde meinten, eine solche Mischung sei ein Sakrileg... man dürfe wohl Wein und Bier hintereinander trinken, aber keinesfalls gleichzeitig! In welcher Reihenfolge, darüber sind sich allerdings verschiedene Länder nicht einig:

Deutschland: Wein auf Bier das rat ich dir, Bier auf Wein das lasse sein.
Frankreich: Bière sur vin est venin, vin sur bière est belle manière.
England: Beer after wine, and you’ll feel fine, wine after beer and you’ll feel queer.

Umso überraschter war ich, als mich kürzlich brasilianische Freunde eines besseren belehrten und mir espanhola vorstellten, ein Getränk, das sie gerne selbst am Strand zusammenmischen. Es besteht genau aus Rotwein und hellem Bier. Der Geschmack hängt von den Proportionen ab (meistens mehr Bier), die Farbe sieht etwas dreckig aus, es formen sich viele Flocken drin...


Diese Brasilianer mischen...	...Wein mit Bier!

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Die Matrix der Kofaktoren

Autor : Mathoman, Dienstag 14 Juli 2009 13:07 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Die Komatrix com(M) einer n x n-Matrix M ist diejenige n x n-Matrix, deren Eintrag in (l,k) das Produkt von $\small{(-1)^{l+k}}$ mit der Determinante der Matrix ist, die aus M durch Entfernung der Zeile l und der Spalte k entsteht.
Es ist vor allem die Transponierte der Komatrix, die uns interessiert; sie heisst Adjunkte, und man zeigt in jeder Vorlesung über lineare Algebra, dass sie folgende fundamentale Eigenschaft besitzt:

$^t\text{com}(M)\:M\;=\;M\:^t\text{com}(M)\;=\;\det(M)\:I\:.$

Wenn man mit Matrixkoeffizienten aus einem Ring R arbeitet, folgt daraus insbesondere, dass die Matrix M genau dann invertierbar im Matrizenring ist, wenn der Skalar det(M) invertierbar im Ring R ist. Zum Beispiel sind über $\small\mathbb{Z}$ die invertierbaren Matrizen genau diejenigen, deren Determinante 1 oder -1 ist.

Übung: Zeige, dass com die Matrizenmultiplikation erhält, d.h., dass

com(I) = I et com(MN) = com(M) com(N).

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Dimension des Kommutatorraums

Autor : Mathoman, Donnerstag 9 Juli 2009 13:55 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Hier eine schöne Übungsaufgabe aus der Theorie der Matrizen.

Sei A eine n x n Matrix. Man zeige, dass ihr Kommutatorraum, also die Menge der Matrizen, die mit A kommutieren, mindestens die Dimension n besitzt.

Diese Aussage kann man über jedem Körper beweisen. Aber im rellen oder komplexen Fall gibt es alternative Beweismethoden.

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Geburtstag eines Sonntagskindes

Autor : Mathoman, Sonntag 5 Juli 2009 19:36 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Aus gegebenem Anlass kam mir heute die Idee zu einem mathematischen Geburtstagsgeschenk in Form eines Rätsels.

Heute, am Sonntag den 5. Juli 2009, hat mein Vater Geburtstag. Er wurde am einem Sonntag eines Schaltjahres geboren. Wie alt wird er heute?

Zum Lösen der Aufgabe darf man die Tatsache heranziehen, dass ich älter als dreiundzwanzig bin, dass mein Vater auch älter als dreiundzwanzig war, als er die Verantwortung auf sich nahm, mein Vater zu werden und schliesslich dass er noch keine hundert Jahre auf dem Buckel hat.

Jedenfalls wünsche ich dir alles Gute zum Geburtstag, Papa!

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Nachdenken als Nachtisch

Autor : Mathoman, Mittwoch 1 Juli 2009 11:12 Uhr - Denksport & Aufgaben - Tags

Alle kennen diese kleinen Aufgaben, die sich Mathematiker am Ende eines Mensabesuchs stellen. Hier ist so eine kleine Perle:

Man verbinde die folgenden neun Punkte mit vier geraden Linien ohne den Stift zu heben.

°             °             °

°             °             °

°             °             °

Leichter gesagt als getan. Die Lösung im folgenden Video zeigt, dass man dazu seine Denkgrenzen sprengen muss...

MathOMan verbindet 9 Punkte durch 4 Linien

Die lächelnde Bin stellt mir wiederum folgende Aufgabe, die jedem Spezialisten des Zusammenhangs in der Topologie zur Verzweiflung bringen muss.

Ohne den Stift abzusetzen zeichne man einen Kreis und seinen Mittelpunkt (aber nicht mehr).

Hier ist das Video mit ihrer trickreichen Lösung:

Bin zeichnet einen Kreis samt Mittelpunkt

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