Freund C. schickt mir folgende Aufgaben

Übungsaufgabe aus der Kombinatorik

und schreibt dazu:

Sophie hat keine Lösung für die Aufgabe 9b und ich kann ihr auch nicht helfen. Die Fliegen können wahrscheinlich einzeln, aber auch zu zweit oder dritt auf einem Kuchenstück sitzen. Die Lösung ist sicher nicht schwierig, aber wir kommen nicht drauf. Kannst du helfen?

Ich gebe hier die Lösungen zu allen drei Aufgaben an, damit die Unterschiede in den Fragestellungen klar werden.

a) Die Anwort ist 6×5×4=120.
Allgemeiner: Wenn k Personen auf n Stühle verteilen werden, dann gibt es dazu n(n-1)(n-2)...(n-k+1) Möglichkeiten. Denn für die erste Person gibt es n Stühle zur Auswahl, für die zweite Person bleiben nur noch n-1 freie Stühle übrig, für die dritte Person sind es n-2, usw. Die letzte, also die k-te, Person schließlich hat n-k+1 Stühle zur Auswahl. Man nennt diese Zahl übrigens A_n^k (für "Arrangements"). In unserem Fall ist es A_6^3.
Interessanterweise bleibt die Formel auch noch gültig wenn k>n. Dann ist nämlich n-k+1≤0 und somit ist in dem Produkt n(n-1)(n-2)...(n-k+1) einer der Faktoren gleich Null (unter der Annahme, dass n eine nichtnegative ganze Zahl ist). Also A_n^k=0 falls k>n. Und das ist richtig so, denn wie viele Möglichkeiten gibt es, dass zehn Personen sich auf acht Stühle verteilen? Gar keine!

b) Die Anwort ist 63=216.
Sophie's Papa hat ganz richtig bemerkt, dass ja mehrere Fliegen auf einem Kuchenstück Platz haben. Also gibt es 6 Möglichkeiten für die erste Fliege, immer noch 6 für die zweite und schließlich nochmal 6 für die dritte Fliege.
Allgemeiner: Wenn k Fliegen sich auf n Kuchenstücke verteilen, dann gibt es dazu nk Möglichkeiten, das ist nach dem Vorangegangenem klar. Man sollte auf keinen Fall folgendermaßen vorgehen: Auf dem ersten Kuchenstück können eine oder zwei oder drei oder gar keine Fliege landen; auf dem zweiten können dann landen gar keine oder eine (falls auf dem ersten nicht schon alle drei sind) oder zwei (falls auf dem ersten nicht schon mindestens zwei sind) oder drei (falls auf dem ersten keine ist), etc. Nein, das wäre furchtbar kompliziert! Man soll nicht den Gesichtspunkt der Kuchenstücke annehmen, sondern den der Fliegen: die erste kann auf sechs Stücken landen, die zweite und dritte auch, also 6×6×6.

b) Die Anwort ist 11×4×3×2=264.
Erst wählen sie einen von den 11 Tischen, dann gibt es 4×3×2 Sitzmöglichkeiten an diesem Tisch, siehe Frage a). Interessanterweise kommt man zum gleichen Ergebnis, wenn noch eine vierte Person in der Gruppe ist (denn sie muss sich dann automatisch auf den leeren Stuhl am Tich setzen).