Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers.

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

Matthias Wandel est le fils d'un éleveur de vaches allemand qui a émigré au Canada en 1980 avec sa famille. Il construit des choses fabuleuses en bois (notamment la calculatrice binaire en bois), mais il programme également des jeux en ligne, comme par exemple The Eyeballing Game.


On peut y entraîner sa vision approximative en géométrie plane. Les huit épreuves proposées sont les suivantes.

• Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
• trouver le milieu entre deux points,
• trouver la bissectrice d'un angle,
• placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
• trouver le centre d'un cercle,
• former un angle droit,
• placer l'intersection de trois droites concourantes.

En principe, ce sont toutes des constructions géométriques qu'un élève de collège peut réaliser à la règle et au compas. Or ici il ne s'agit pas d'ancrer votre compas sur votre écran d'ordinateur LCD et y percer des trous, mais d'essaier de trouver à l'oeil nu le point demandé. Vous devez jouer trois tours pour obtenir un score final; vous allez voir que vous vous améliorez à chaque tour. Pensez à enfoncer la souris, puis à la relacher à l'endroit souhaité (vous ne pouvez plus corriger après).

Le score est mesuré en écarts (pixels) entre votre résultat et le vrai — donc plus bas mieux c'est. Mon score total des trois tours était de 5,05 (ma meilleure réponse était de 0,2). C'est un résultat très moyen... pas terrible pour un mathématicien! Ma seule excuse: je suis myope et astighmate ;-)

Pas si évident que ça!

Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).

Questions:

1. Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
2. La réciproque est-elle vraie?
3. Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?

Réponses:   Cliquez ici pour la solution.

Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que et

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de :

• la boule
  
• la sphère
  
• l'hémisphère nord
  

Le bord de la boule est la sphère . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire




Questions

1. Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule et son bord dans les cas n=1,2,3.
2. Démontrer que
   
3. Démontrer que
   
4. Démontrer que
   
5. Démontrer que
   

Cliquez pour lire la Solution.

Ci-dessous les questions avec corrigés pour mes élèves en colles de mathématiques en classe préparatoire MPSI du Lycée Fénelon Sainte-Marie à Paris. Si vous y trouvez des erreurs ou si vous avez des améliorations à proposer n’hésitez pas à me laisser un commentaire !

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Logique. Exponentielle et logarithme
2. Plan complexe. Fonctions hyperboliques et réciproques
3. Equations différentielles linéaires
4. Géométrie élémentaire dans le plan et dans l’espace
5. Courbes planes
6. Coniques
7. Applications. Théorie des ensembles
8. Relations
9. Ensembles. Dénombrements
10. Groupes
11. Groupes, anneaux, corps

Déroulement des colles et conseils pour les élèves en math sup :

• Il est indispensable d’avoir appris son cours.
• Chaque élève prépare pendant une demi-heure son exercice sur feuille. Pendant ce temps je vous guide si votre chemin ne semble pas aboutir.
• Puis vous avez dix minutes pour exposer, devant les autres élèves et moi, votre solution au tableau. N’y recopiez pas l’énoncé, on n’a pas le temps pour ça.
• Expliquez clairement l’idée de la preuve. Souvent il y a un point pivot dans une démonstration.
• Si je vous pose une question, ne répondez pas toute de suite au hasard ou par intuition, mais réfléchissez d’abord! Dans un examen oral personne ne vous demande de donner une réponse immédiatement. En revanche, on exige une réponse fondée. Et si vous n’en avez pas, avouez-le — le pire c’est de laisser à un jury d’examen oral l’impression que vous bluffez ou que vous jouez au loto…
• Quelques exercices sont en anglais ou en allemand. Cette idée d’initiation à l’expression scientifique en une langue étrangère m’est venue lorsqu’une fois un excellent élève en math sup souhaitait apprendre des choses sur les formes différentielles et le théorème de Stokes. Alors je lui ai prêté mon exemplaire de l’excellent livre Mathematical Methods of Classical Mechanics de Vladimir I. Arnol’d. Or il me l’a rendu le lendemain car “lire les maths en anglais serait trop fatiguant”! Or rien n’est plus simple à lire dans une langue étrangère que les maths — il faut seulement s’entrainer un peu… et c’est le but de ces questions. Vous pouvez néanmoins rédiger vos solutions en français.
  
  

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, ce qui me posait parfois des problèmes était parfois une simple question de formalisme. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne sont pas gatés par un programme riche en théorie d'ensembles...

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Considérons une application d'un ensemble X dans un ensemble Y.

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

Si vous venez de passer le bac, vous avez déjà une notion intuitive de ce que c'est une application. Mais les mathématiciens possèdent plusieurs autres points de vue pour concevoir cet objet — et chacun a sa raison d'être.

1. Point de vue y en fonction de x.
   C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
   Le schéma mental est le suivant.

   

   L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
   En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
    
2. Point de vue collection d'éléments de Y.
   On peut aussi écrire l'application f en forme de famille . On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
   En général, une famille dans Y n'est rien d'autre qu'une application
   

   

    
   où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
   Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire

   

   où est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement

   

   
    
3. Point de vue les fibres en fonction de y.
   Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté
    
   
   
   
    
   Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.
    

   

   
   L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.
    
   

Une conséquence naturelle du point de vue des fibres est la factorisation canonique, que nous allons expliquer ci-dessus et dont la quintessence se résume ainsi :

L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et est en bijection avec l'image de l'application.

Factorisation canonique

Nous nous proposons de montrer que toute application est la composée d'une surjection, d'une bijection et d'une injection. Soit donc f une application de X vers Y. On considère son image

et l'espace des fibres

Ainsi l'espace des fibres est le quotient de X par la relation d'équivalence  ~  qui est définie par  x ~ x'  si et seulement si f(x) = f(x'). Il est clair que et sont en bijection. Plus précisément il existe une surjection , une bijection et une injection tel que le diagramme suivant commute.

En effet, il suffit de prendre pour la projection canonique sur le quotient X/~, c'est-à-dire l'application qui à chaque x dans X associe la fibre de f en f(x) ; puis pour j l'injection naturelle, et enfin pour l'application qui envoie une fibre sur l'unique élément dans Y qui est son image par f. Il est alors évident que f est la composée

.

Un avant-goût de la suite

Concevoir une application comme la collection de ses fibres est très fréquent en topologie, géométrie algébriques et théorie des singularités. On fait varier un point dans l'espace d'arrivée pour observer, dans l'espace de départ, la manière dont varie la fibre au-dessus de ce point. Un exemple très basique est l'application

 
où a,b,c sont des réels fixés non tous nuls. La collection des fibres est constituée de plans parallèles. Il s'agit donc d'un feuilletage de l'espace par plans (comme un feuilleté). Les fibres se ressemblent toutes ; on a même ce qu'on appelle une fibration globalement triviale.

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).